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解答题：新定义问题
题型一：集合的新定义问题
（24-25高三上·山东·期中）已知集合 ，集合 ，记 的元素个数为 .若集合
中存在三个元素 ， ， ，使得 ，则称 为“理想集”.
(1)若 ，分别判断集合 ， 是否为“理想集”（不需要说明理由）；
(2)若 ，写出所有的“理想集” 的个数并列举；
(3)若 ，证明：集合 必为“理想集”.
集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.1．（24-25高三上·广东·月考）已知集合 （ ），S是集合A的子集，若存在不大于n
的正整数m，使集合S中的任意一对元素 ， ，都有 ，则称集合S具有性质P.
(1)当 时，试判断集合 和 是否具有性质P？并说明理由；
(2)当 时，若集合S具有性质P，那么集合 是否具有性质P？并说明理由；
(3)当 ， 时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值 .
2．（24-25高三上·北京·期中）已知集合 ，其中 ， ， ，…， 是 的互不相同
的子集.记 的元素个数为 （ ）， 的元素个数为 （ ）.
(1)若 ， ， ， ， ，写出所有满足条件的集合 （结论不要求证
明）；
(2)若 ，且对任意的 ，都有 ，求 的最大值；
(3)若给定整数 ， （ ）且对任意 ，都有 ，求 的最大值.
题型二：函数与导数的新定义问题
（23-24高三上·北京·月考）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为
， ， ， ， ．指标 可用来刻画
X和Y的相似程度，其定义为 ．设 ．
(1)若 ，求 ；(2)若 ，求 的最小值；
(3)对任意与 有相同可能取值的随机变量 ，证明： ，并指出取等号的充要条件
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，
会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读
出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
1．（24-25高三上·湖北·期中）把满足任意 ， 总有 的函数称为
“类余弦型”函数.
(1)已知 为“类余弦型”函数 ， ，求f (1)的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列： ，求 的值；
(3)若 为“类余弦型”函数，且 ，对任意非零实数 ，总有 .设有理数 ， 满足
，判断 与 的大小关系，并给出证明.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ，若其定义域为 ，且满足 对一
切 恒成立，则称 为一个“逆构造函数”.
(1)设 ，判断 是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2)若函数 是“逆构造函数”，求 的取值范围；
(3)已知“逆构造函数” 满足对任意的 ，都有 ，且 . 求证：
对任意 ，关于 的方程 无解.题型三：复数与不等式的新定义问题
（24-25高三上·江苏泰州·月考）已知常数 ，设关于 的方程 ．
(1)在复数范围内求解该方程．
(2)当 时，设该方程的复根分别为 ，证明：
(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元 次 ）复系数多项式
方程 至少有一个复根．证明： 有 个复数根（重根按重数计）．
(4)将题设的常数“ ”改为“ ”，并证明：（2）仍然成立．
新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情
景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达
到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
1．（24-25高三上·山东枣庄·月考）对于四个正数m、n、p、q，若满足 ，则称有序数对 是
的“下位序列”．
(1)对于2、3、7、11，有序数对 是 的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(2)设a、b、c、d均为正数，且 是 的“下位序列”，试判断 、 、 之间的大小关系；(3)设正整数n满足条件：对集合 内的每个m，总存在正整数k，使得 是
的“下位序列”，且 是 的“下位序列”，求正整数n的最小值．
2．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式
为：设 ， ， 不全为0， 不全为0，则 ，当且仅当存在一个数
k，使得 时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为 的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为 ， ， ， ，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列 满足：
①存在 ，使得 ；
②对任意正整数i、 ，均有 .
求证：对任意 ， ，恒有 .
题型四：三角函数的新定义问题
（24-25高三上·全国·专题练习）对于集合 和常数 ，定义：
为集合A相对的 的“正弦标准差”．
(1)若集合 ， ，求A相对的 的“正弦标准差”；(2)若集合 ，是否存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是
一个与 无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
1．（24-25高三上·江西宜春·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为 ．
(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若 ，求满足要求的所有x的集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数 与直线 有且仅有四
个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知 ，若有序数对(a,b)的“跟随函数” 在 处取得最大值，当b在区间(0, ]变化时，
求 的取值范围．
2．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，
就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识
别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二
维空间有两个点 ， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值题型五：平面向量的新定义问题
（24-25高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成 的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为
“完美坐标系”.设 ， 分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量 ，则把实数对
叫做向量 的“完美坐标”.
(1)若向量 的“完美坐标”为 ，求 ；
(2)已知 ， 分别为向量 ， 的“完美坐标”，证明： ；
(3)若向量 ， 的“完美坐标”分别为 ， ，设函数 ，x∈R，求 的值域.
1．（24-25高三上·浙江绍兴·月考） 维向量是平面向量和空间向量的推广，对 维向量
，记 ，设集合 .
(1)求 ， ；
(2)（i）求 中元素的个数；
（ii）记 ，求使得 成立的最大正整数 .2．（24-25高三上·河南驻马店·月考）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点 ，如果对于
D上任意的点P， 为与P无关的定值，我们就称 为关于图形D的一组稳定向量基点.
(1)已知 为图形D，判断点 是不是关于图形D的一组稳定向量基点；
(2)若图形D是边长为2的正方形， 是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求
的取值范围；
(3)若给定单位圆 及其内接正2024边形 为该单位圆上的任意一点，证明 是关于
圆 的一组稳定向量基点，并求 的值.
题型六：数列的新定义问题
（24-25高三上·福建泉州·期中）若存在常数 ，使得数列 满足 ，则称
数列 为“ 数列”．
(1)判断数列：1，3，5，10，152是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)若数列 是首项为2的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
(3)若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ， ，证明： ．
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透
彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握
好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（24-25高三上·江西上饶·月考）数列 、 满足： 是等比数列， ， 且
．
(1)求 、 ．
(2)求集合 中所有元素的和．
(3)对数列 ，若存在互不相等的正整数 ，使得 也是数列 中的项，
则称数列 是“和稳定数列”．试别断数列 、 是否是“和稳定数列”，并说明理由．
2．（24-25高三上·山东青岛·期中）如果正项有穷数列 满足 ，即
，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3， ， 与数列3，2，1，
， 都是“1的对称数列”．
(1)设 是项数为8的“1的对称数列”，其中 是等差数列，且 ，请依次写出
的每一项；
(2)设数列 是13项的“1的对称数列”，其中 是等比数列， ，求数列
的所有项和 的最小值；
(3)设数列 是 项的“1的对称数列”，数列前 项的通项公式为 ，求数列 的前 项和
．（注： ）题型七：立体几何的新定义问题
（24-25高三上·广东广州·月）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义
多面体M在点P处的离散曲率为 ，其中
为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面
和平面 为多面体M的所有以P为公共点的面．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，三棱锥 在顶点C处
的离散曲率为 ．
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
1．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体 中，取其异面的两条棱的中点连线
称为 的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.(1)如左图，在四面体 中， 分别为所在棱的中点，证明： 的三条内棱交于
一点.
(2)同左图，若 为垂棱四面体， ，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中， 平面内有椭圆 ， 为其下焦点，经过 的直线
与 交于 两点， 为 平面下方一点，若 为垂棱四面体，则其外接球表面积 是
的函数 ，求 的定义域与最小值.
2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的
图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体
性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率 与球面三角形内角和 满足： ，其中 为常数，
（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三
角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.
球面三角形的总曲率等于 ， 为球面三角形面积， 为球的半径）.
(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为 ，求此球面三角形内角和；
(2)求 的值；
(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体 顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，试证明凸多面体欧拉示性数 为定值，
并求出 .
题型八：平面解析几何的新定义问题
（24-25高三上·浙江·月考）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点
(0,1)的直线族（不包括直线 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点
处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆 ： 是直线族 的包络曲线，求 ， 满足的关系式；
(2)若点 不在直线族 的任意一条直线上，求 的取值范围及直线族 的包络曲
线 的方程；
(3)在（1）（2）的条件下，过曲线 上动点 向圆 做两条切线 ， ，交曲线 于点 ， ，求
面积 的最小值.
1．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系 中，可以用两点之间距离公式
刻画 两点的距离 ，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定
某一实数 满足：① ，当且仅当 时等号成立； ② ； ③
.其中， 为平面直角坐标系内的三个点，我们就称 是关于
两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系 （ 为坐标原点）内两点 的“ 距
离” .(1)求证： 两点的“ 距离”是关于 两点的一个“度量”.
(2)设 为平面直角坐标系 内任意一点.
（ⅰ）若 ，请在下图中定性做出 点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与
其特征）.
（ⅱ）求证： .
(3)规定平面内两条平行直线的 距离 为在 上分别取的任意两个点 距离的最小值.已知
不重合的直线 ， ， ，求 的取值范围.
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系 中，定义：若曲线 和 上分别存在点 ，
关于原点 对称，则称点 和点 为 和 的一对“关联点”.
(1)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求点 所在的曲线方程.
(2)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求 的取值范围.
(3)若 和 有且仅有两对“关联点”，求实数 的取值范围.
题型九：概率统计的新定义问题（24-25高三上·湖北·月考）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称
为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量 的所有取值为
，定义信息熵：
(1)若 ，且 ，求随机变量 的信息熵；
(2)若 ，求随机变量 的信息熵；
(3)设 和 是两个独立的随机变量，求证： .
1．（23-24高三下·湖南·月考）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为 的群落
中，辛普森多样性指数 ，其中 为第 种生物的个体数， 为总个体数.当 越大时，表明
该群落的多样性越高.已知 两个实验水塘的构成如下：
绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻
6 6 6 6 6
12 4 3 6 5
(1)若从 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2)（i）比较 的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
2．（23-24高三下·浙江·开学考试）一般地， 元有序实数对 称为 维向量.对于两个 维向量，定义：两点间距离 ，利用 维
向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标
准点的距离 ，与哪个标准点的距离 最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得
到业务能力分值 ､管理能力分值 ､计算机能力分值 ､沟通能力分值 （分值
代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分
岗位
值
会计（1） 2 1 5 4 12
业务员
5 2 3 5 15
（2）
后勤（3） 2 3 5 3 13
管理员
4 5 4 4 17
（4）
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量
的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方 均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为 ，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业
的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业 的推荐率 分别为
，试求小明的各项能力分值.
题型十：高等数学背景下的新定义问题（24-25高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅
读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
，（其中 表示 的
次导数 ， ），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式，当 时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如 在 处的麦克劳林公式为： ，由此当
时，可以非常容易得到不等式 ， ， ， ，请利用上述公
式和所学知识写出 在 处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
(2)设 为正整数，数列 ， ， ， 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余
的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 ， ， ， 是 一可
分数列.请写出所有的 ， ，使数列 ， ， ， 是 —可分数列.
1．（24-25高三上·山东潍坊·月考）设数阵 ，其中 .设
，其中 且 .定义变换 为“对于数阵的每一列，
若其中有 或 ，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有 且没有 ，则这一列中每个数都乘以
”， 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，以
此类推，最后将 经过 变换得到 ”.记数阵 中四个数的和为 .
(1)若 ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
(2)若 ，求所有 取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵 ，证明：所有 取值的和不大于 ；(4)如果 ，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？
2．（24-25高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，
比如 ， 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．
在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有
5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数 ，我们将比 小且
与 互质的正整数的个数记为 ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以 ，同
理有 ．
(1)求 ， ；
(2)求所有 ， ，使得 是奇数；
(3)若正整数 ，其中 表示互不相同的质数．证明：
.
1．（24-25高三上·上海·期中）设函数 的定义域为R，其导函数为 ， ．若存在区间
及实数 满足：对任意 ，都有 恒成立，则称函数 为 上的“ 函数”．
(1)判断函数 是否为 上的 函数，并说明理由；
(2)已知实数 满足：函数 为 上的 函数，求 的取值范围；
(3)已知函数 存在最大值． 对于以下两个命题， ：对任意 ，都有 与 恒成
立； ：对任意正整数 ，满足函数 都是 上的 函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由．
2．（24-25高三上·湖南长沙·期中）设 ，集合 .
对于 ，记
.
(1)若 ，证明： ；
(2)若 和 都为奇数，证明： 为偶数；
(3)若 ，当 时，求所有 之和的最大值.
3．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量
为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数．
(1)记向量 的相伴函数为 ，若当 且 时，求 的值；
(2)设 ，试求函数 的相伴特征向量 ，并求出与 同向的单
位向量；
(3)已知 为函数 的相伴特征向量，若在△ 中， ， ，若点 为该△
的外心，求 的最大值．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，称向量 为 的特征向量，为 的特征函数.
(1)设 ，求 的特征向量；
(2)设向量 的特征函数为 ，求当 且 时， 的值；
(3)设向量 的特征函数为 ，记 ，若 在区间 上至少有40个零点，
求 的最小值.
5．（24-25高三上·河北邯郸·期中）对于无穷数列 ，“若存在 （ 、 ，且 ），
必有 ”，则称数列 具有 性质.
(1)若数列 满足 ，判断数列 是否具有 性质？数列 是否具有
性质？
(2)对于无穷数列 ，设 ，求证：若数列 具有 性质，则 必为
有限集
(3)已知 是各项均为正整数的数列，且 既具有 性质，又具有 性质，是否存在正整数 ，
使得 ， ， ，…， ，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
6．（24-25高三上·四川·模拟测试）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交
于点 ， ， 面积的最小值为 （ 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 ： 的坐标
为 ，直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴的交点为 ，设点 的横
坐标为 .
(1)求 的值；(2)求数列 的通项公式；
(3)数列 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不
存在，请说明理由.
7．（24-25高三上·广西来宾·模拟预测）已知：①定积分的定义：
设y=f (x)为定义在 上的连续非负函数，为求 轴围成的曲边梯形的面积，可采
取如下方法：
将区间 分为 个小区间，每个小区间长度为 ，每个区间即可表示为
，再分别过每个区间的左右端点作 轴的垂线与y=f (x)图象相交，
即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当 时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内
的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和
即为所求的由 轴围成的曲边梯形的面积，即 ，上式也
记为 ，即对y=f (x)在 上求定积分.
②定积分的计算： 其中 .
根据以上信息，回答以下问题：
(1)已知 ，求证： .
(2)将 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；(3)试证明： .
1．（2024·上海·高考真题）记
(1)若 ，求 和 ;
(2)若 ，求证:对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
(3)已知定义在 上 有最小值，求证" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.
2．（2024·全国·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项
和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
3．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
