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专题 02 数列
数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质
考察题型一般为：
1 错位相减求和
2 裂项相消求和
3 （并项）分组求和
4 数列插项问题
5 不良结构问题
6 数列与其他知识点交叉问题
在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视
题型一：数列错位错位相减求和
1．已知 为首项 的等比数列，且 ， ， 成等差数列；又 为首项 的单调递增的
等差数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)分别求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
1．若等差数列 的前n项和为 ，数列 是等比数列，并且 ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求数列 的前n项和
题型二：裂项相消求和
1 已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
1．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 是等差数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，若满足不等式 的正整数 的个数为3，求 的取值范围.
题型三：（并项）分组求和
设 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列：数列 各项均为正数， 为其前n项和，
且满足 ，则
(1)求数列 和 的通项公式；(2)记 为数列 的前n项的和，证明： ；
(3)任意 ，求数列 的前 项的和．
1．已知数列 满足 , .
(1)记 ,写出 , , , ,并猜想数列 的通项公式;
(2)证明（1）中你的猜想;
(3)若数列 的前n项和为 ,求 .
题型四：数列插项问题
1．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a＝3.
2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak ，则在ak和ak 两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的
＋1 ＋1
前40项和.
1．已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证： 是等比数列；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前n项和.题型五 不良结构问题
1．已知数列 是公差不为零的等差数列， 且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，在① ， ；② ， ；③ ，
这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.
问题：若 ，且______，求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
1．在① ，② ，③ 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等
差数列 的前n项和为 ， ，___________，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
(3)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
题型六 数列与其他知识点交叉问题
1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别
能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的
游戏，方案如下：
游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡
片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小
朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指
令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听
到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．
最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完
成情况进行评分，至此游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成
则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若
甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位
比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能
正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ”，
一次游戏中甲小朋友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分， 表示“甲小朋友的当前累计得分
为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）根据 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概
率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
1．已知函数 ， .
(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；(2)设函数 （ ， ），若函数 和 都是奇函数，将满足条件的
按从小到大的顺序组成一个数列 ，求 的通项公式；
(3)求实数 与正整数 ，使得 在 内恰有147个零点.
一、解答题
1．已知数列 的前 项之积为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设公差不为0的等差数列 中， ，___________，求数列 的前 项和 .
请从① ； ② 这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.
2．已知数列 的前 项和为 .
(1)求 及 的通项公式；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的最
小值.3．在数列 中， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
4．已知正项等差数列 和正项等比数列 ， 为数列 的前n项和，且满足
．
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)将数列 中与数列 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前n项和为
，求 ．
5．已知 为首项 的等比数列，且 ， ， 成等差数列；又 为首项 的单调递增的
等差数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)分别求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
6．设数列 的前 项之积为 ，且满足 ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；(2)记 ，证明： ．
7．设 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列：数列 各项均为正数， 为其前n项
和，且满足 ，则
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项的和，证明： ；
(3)任意 ，求数列 的前 项的和．
一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
2．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
4．（2022·北京·统考高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
5．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；(3)求 ．
6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为
．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
