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课时跟踪检测（六） 函数的性质及其应用
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
解析：选B 对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝
－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，
f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－
1)＜f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f，
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论
正确的是( )
A．f(x)·g(x)是偶函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：选CD ∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．
对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．
对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．
对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
4．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
解析：选D 因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条
连续的曲线．
因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，
当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．
因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，
即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.
5．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B f(x)＝2|x－a|＋3＝
因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，
所以a>1.
所以a的取值范围是(1，＋∞)．
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(
)
A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)
解析：选D 因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函
数．又因为函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期
函数，且周期为8，因此f(－25)＝f(－1)<f(0)＝f(80)<f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．故选D.
7．已知函数f(x)＝2 020x＋log (＋x)－2 020－x＋3，则关于x的不等式f(1－2x)＋f(x)>6
2 020
的解集为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选A ∵函数y＝2 020x－2 020－x为奇函数，函数y＝log (＋x)为奇函数，∴函
1 2 2 020
数g(x)＝2 020x－2 020－x＋log (＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1－2x)＋f(x)>6，即
2 020
g(1－2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x－1)，∴x>2x－1，∴x<1，∴不等式f(1－2x)＋f(x)>6的
解集为(－∞，1)．
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
解析：选D 由函数f(x)为奇函数可知f(－x)＝－f(x)，因此<0可
化为不等式<0，故有或再由f(2)＝0，可得f(－2)＝0，由函数f(x)在(0，
＋∞)上为增函数，可得函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数，结合函数
f(x)的单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|－2<x<0 或
0<x<2}．
9．(多选)下列关于函数f(x)＝的性质描述正确的是( )
A．f(x)的定义域为∪
B．f(x)的值域为(－1,1)
C．f(x)在定义域上是增函数
D．f(x)的图象关于原点对称
解析：选ABD 由得－1≤x≤1且x≠0，
此时f(x)＝＝＝，因此A正确；
当0＜x≤1时，f(x)＝－∈，
当－1≤x<0时，f(x)＝∈，
故f(x)的值域为(－1,1)，B正确；
易知f(x)在定义域上不是增函数，选项C错误；
又f(－x)＝＝＝－f(x)，
则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，D正确，故选A、B、D.
10．(2021·唐山模拟)设函数 f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是
________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
11．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，解得
所以a∈.
答案：
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x<x<－2，
1 2
则f(x)－f(x)＝－＝.
1 2
因为(x＋2)(x＋2)>0，x－x<0，
1 2 1 2
所以f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x)，
1 2 1 2
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1<x<x，
1 2
则f(x)－f(x)＝－＝.
1 2
因为a>0，x－x>0，所以要使f(x)－f(x)>0，
2 1 1 2
只需(x－a)(x－a)>0恒成立，
1 2
所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．
13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝
当x∈[0,2)时，－1≤f(x)<0；当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x>2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4；
当－1<x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1，即a≤－2，
且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故a的取值范围为[－4，－2]．
14．(2021·河北名校联考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－
1)2≤0，∴a＝1.
从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
