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课时跟踪检测（十七） “函数与导数”压轴大题的 3
大难点及破解策略
1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a
的取值范围．
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点，等价于方程a＝在
(0，＋∞)上有2个根，等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点．
g′(x)＝，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
g′(x) ＋ 0 －
g(x) 极大值
所以g(x)的最大值为g(1)＝1.
因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：
limg(x)＝lim ＝lim ＝0，
所以0<a<g(1)，所以0<a<1.
故实数a的取值范围为(0,1)．
2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝ln x＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范
围．
解：f(x)≥g(x)恒成立，即axex≥ln x＋x＋1恒成立．
因为x＞0，所以a≥.
令h(x)＝，则h′(x)＝.
令p(x)＝－ln x－x，则p′(x)＝－－1＜0，
故p(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又p＝1－＞0，p(1)＝－1＜0，
故存在x∈，使得p(x)＝－ln x－x＝0，
0 0 0 0
故ln x＋x＝0，即x＝e
－x0
.
0 0 0
当x∈(0，x)时，p(x)＞0，h′(x)＞0；
0
当x∈(x，＋∞)时，p(x)＜0，h′(x)＜0.
0
所以h(x)在(0，x)上单调递增，在(x，＋∞)上单调递减．
0 0
所以h(x) ＝h(x)＝＝1.
max 0
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)试用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝a－，
由得b＝a－1，c＝1－2a.
(2)题设即“a≥(x>1)，或a≥(x>1) 恒成立”．
设g(x)＝(x－1)2＋(x－1)－xln x(x≥1)，
则g′(x)＝x－ln x－1(x≥1)，
又g″(x)＝1－恒大于0(x>1)，
所以g′(x)单调递增(x>1)，所以g′(x)>g′(1)＝0，
所以g(x)单调递增(x>1)，
所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，
当且仅当x＝1时g(x)＝0，故<(x>1)，lim ＝.
所以若a≥(x>1)恒成立，则a≥，
即a的取值范围是.
4．已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零
点记为x，x.
1 2
(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；
(2)证明：ln x＋ln x>2.
1 2
解：(1)f′(x)＝＝(x>0)，
由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0<x<ea＋1时，f′(x)>0，
当x>ea＋1时，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，
所以ea＋1＝e，解得a＝0.
所以f(x)＝－m(x>0)，f′(x)＝，
函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(x) ＝f(e)＝－m.
max
又x→0(x>0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，由f(x)有两个零点x，x，得
1 2
解得0<m<.所以实数m的取值范围为.
(2)证明：不妨设x<x，由题意知
1 2
则ln xx＝m(x＋x)，ln＝m(x－x)⇒m＝.
1 2 1 2 2 1
欲证ln x＋ln x>2，只需证ln xx>2，
1 2 1 2
只需证m(x＋x)>2，即证ln>2.
1 2
即证ln>2，设t＝>1，
则只需证ln t>，即证ln t－>0.
记u(t)＝ln t－(t>1)，
则u′(t)＝－＝>0.
所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以u(t)>u(1)＝0，所以原不等式成立，
故ln x＋ln x>2.
1 25．已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．
(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；
(2)若函数f(x)有两个极值点x，x(x<x)，求k的取值范围，并证明：0<f(x)<1.
1 2 1 2 1
解：(1)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，
则f′(x)＝2ex－2x.
令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，
由于x∈(0，＋∞)，故h′(x)＝2ex－2>0，
于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)上为增函数，
所以h(x)＝2ex－2x>h(0)＝2>0.
即f′(x)＝2ex－2x>0在(0，＋∞)上恒成立，
从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝2ex－x2>f(0)＝2.
(2)函数f(x)有两个极值点x，x，
1 2
则x，x 是f′(x)＝kex－2x＝0的两个根，
1 2
即方程k＝有两个根．
设φ(x)＝，则φ′(x)＝，
当x＜0时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；
当0＜x＜1时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增且φ(x)>0；
当x>1时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.
作出函数φ(x)的图象如图所示，
要使方程k＝有两个根，只需0<k<φ(1)＝，
故实数k的取值范围是.
证明：由图可知函数f(x)的两个极值点x，x 满足0<x<1<x，
1 2 1 2
由f′(x)＝ke x1－2x＝0得k＝，
1 1
所以f(x)＝ke x1－x＝e x1－x＝－x＋2x＝－(x－1)2＋1.
1 1 1
由于x∈(0,1)，所以0<－(x－1)2＋1<1.
1 1
所以0<f(x)<1.
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