文档内容
课时跟踪检测（五十） 全析高考常考的 6 大题型
1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B
两点，过A，B分别作抛物线C的切线l，l，l 与l 交于点M.
1 2 1 2
(1)求p的值；
(2)若l⊥l，求△MAB面积的最小值．
1 2
解：(1)由题意知，抛物线焦点为，
准线方程为：y＝－.
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝x2，所以y′＝x，
设A，B，
则l：y－＝，l：y－＝.
1 2
由于l⊥l，所以·＝－1，即xx＝－4，
1 2 1 2
设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得
所以x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16k2＋16m>0，x＋x＝4k，xx＝－4m＝－4，
1 2 1 2
所以m＝1，
即l：y＝kx＋1，
联立方程得即M.
M点到直线l的距离d＝＝，
|AB|＝＝4，
所以S＝×4×＝4≥4，
当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.
2．(2020·浙江高考)如图，已知椭圆C ：＋y2＝1，抛物线C ：y2＝
1 2
2px(p>0)，点A是椭圆C 与抛物线C 的交点，过点A的直线l交椭圆C
1 2 1
于点B，交抛物线C 于点M(B，M不同于A)．
2
(1)若p＝，求抛物线C 的焦点坐标；
2
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
解：(1)由p＝得C 的焦点坐标是.
2
(2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，
点A(x，y)．
0 0
将直线l的方程代入椭圆C ：＋y2＝1，消去x，
1
得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
所以点M的纵坐标y ＝－.
M
将直线l的方程代入抛物线C ：y2＝2px，消去x，
2
得y2－2pmy－2pt＝0，所以yy ＝－2pt，解得y＝，
0 M 0
因此x＝.
0
由＋y＝1，得＝42＋24≥160，
所以当m＝，t＝时，p取到最大值.
3．过点M(2,0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，
OA⊥OB.
(1)求p的值；
(2)若l与坐标轴不平行，且A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点．
解：(1)当直线l⊥x轴时，可得A(2,2)，B(2，－2)，
由AO⊥BO得4－4p＝0，可得p＝1，
当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)，代入y2＝2px得ky2－2py－4pk＝
0(k≠0)，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则yy＝－4p，xx＝＝4，
1 2 1 2
由OA⊥OB得xx＋yy＝0，即4－4p＝0，可得p＝1，
1 2 1 2
综上所述，p＝1.
(2)证明：由(1)知抛物线方程为y2＝2x，
由于A，D关于x轴对称，故D的坐标为(x，－y)，
1 1
所以直线BD的方程为y＋y＝(x－x)＝
1 1
，即2x＋(y－y)y－yy＝0，
1 2 1 2
又yy＝－4p＝－4，所以2x＋(y－y)y＋4＝0，
1 2 1 2
可得直线BD恒过点(－2,0)．
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与y2＝8x的焦点重合且点A(2，)为椭圆上一点．
(1)求椭圆方程；
(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x＝2对称的直线，与椭圆C分别交于P，Q两
点，求证：直线PQ的斜率是定值．
解：(1)抛物线y2＝8x的焦点为F，
则椭圆C的一个焦点为F，故a2＝b2＋4，
把点A(2，)代入椭圆方程得＋＝1，
解得所以椭圆C方程为＋＝1.
(2)证明：由题意，
可设直线AP的方程为y＝k＋，
则直线AQ的方程为y＝－k＋，
设P，Q，则y＝k＋，
1
y＝－k＋，
2
把直线AP的方程与椭圆C方程联立得：x2＋(4k－8k2)x＋(8k2－8k－4)＝0，
所以2x＝，故x＝，
1 1
同理可得x＝，
2
所以k ＝＝＝＝k·
PQ
＝k·＝，
所以直线PQ的斜率是定值.
5．(2021·重庆模拟)已知点E(－2,0)，F(2,0)，P(x，y)是平面内一动点，P可以与点E，F重
合．当P不与E，F重合时，直线PE与PF的斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围．
解：(1)当P与点E，F不重合时，
k ·k ＝－，得·＝－，
PE PF
即＋y2＝1，
当P与点E，F重合时，P或P.
综上，动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S＝8.当矩形各边均不与坐标轴
平行时，
根据对称性，设其中一边所在直线方程为y＝kx＋m，则对边方程为y＝kx－m，
另一边所在的直线为y＝－x＋n，
则对边方程为y＝－x－n，
联立得x2＋8kmx＋4＝0，
则Δ＝0，即4k2＋1＝m2.
矩形的一边长为d＝，
1
同理＋1＝n2，矩形的另一边长为d＝，
2
S＝d·d＝·＝
1 2
＝4 ＝4
＝4 ＝4 ∈，
综上S∈.
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＋y－1＝0被圆x2＋y2＝b2截得的弦长
为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得PA·PB为定
值？若存在，求出点P的坐标和PA·PB的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵椭圆C的离心率为，∴a＝b，
∵圆x2＋y2＝b2的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，
∴直线x＋y－1＝0被圆x2＋y2＝b2截得的弦长为2＝2 ＝.解得b＝1，故a＝b＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P，A，B，
当直线l与x轴不重合时，设l的方程：x＝my＋1.
由得y2＋2my－1＝0，
则∴x＋x＝，xx＝＋1，
1 2 1 2
PA·PB＝·
＝xx－t＋t2＋yy
1 2 1 2
＝＋t2＋1＝－＋t2＋1，
当＝2，即t＝时，PA·PB的值与m无关，
此时PA·PB＝－.
当直线l与x轴重合且t＝时，
PA·PB＝·＝－2＝－.
∴存在点P，使得PA·PB为定值－.
