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课时跟踪检测（五十四） 二项式定理
一、基础练——练手感熟练度
1.6的展开式中x 的系数为( )
A．－12 B．12
C．－192 D．192
解析：选A 二项式6的展开式的通项公式为 T ＝C·(－2)r·x ，令3－＝，求得r＝
r＋1
1，可得展开式中x 的系数为－12，故选A.
2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为( )
A．50 B．55
C．45 D．60
解析：选B (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B.
3．已知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为( )
A．20 B．15
C．10 D．5
解析：选D 由题意知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝
5，则二项式(x＋1)5的展开式中x4的项为Cx4＝5x4，所以x4的系数为5，故选D.
4．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为( )
A．－5 B．－15
C．－25 D．25
解析：选B 因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，
含x4项的系数为5－2C＝－15.故选B.
5．(2020·天津高考)在5的展开式中，x2的系数是________．
解析：二项式5的展开式的通项为T ＝C·x5－r·r＝C·2r·x5－3r.令5－3r＝2得r＝1.因此，
r＋1
在5的展开式中，x2的系数是C·21＝10.
答案：10
6．已知m∈Z，二项式(m＋x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝________.
解析：由Cm2－Cm＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－，因为m∈Z，所以m
＝2.
答案：2
二、综合练——练思维敏锐度
1．二项式8的展开式中x2的系数是－7，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1解析：选B 由题意，二项式8的展开式中的通项公式T ＝C(－a)rx8－2r，
r＋1
令8－2r＝2，解得r＝3，
所以含x2项的系数为C(－a)3＝－7，解得a＝.
2．若6展开式的常数项为60，则a值为( )
A．4 B．±4
C．2 D．±2
解析：选D 因为6展开式的通项为T ＝Ca6－kx6－k(－1)kx ＝ Ca6－k(－
k＋1
1)kx ，令6－k＝0，则k＝4，所以常数项为Ca6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝±2.故选
D.
3．(2021年1月新高考八省联考卷)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数
是( )
A．60 B．80
C．84 D．120
解析：选D (1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝C
＋C＋…＋C＝C＝120.故选D.
4．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(
)
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
解析：选C ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，8的展开式的通项为
T ＝(－1)kCx (k＝0,1,2，…，8)，
k＋1
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相
应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和
第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
5．若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为( )
A．560 B．－560
C．280 D．－280
解析：选A 取x＝1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即 (1＋a)7
＝－1，解得a＝－2.二项式7的展开式的通项为T ＝C·(x2)7－r·r＝ C·(－2)r·x14－3r.令14－3r
r＋1
＝2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C·(－2)4＝560，故选A.
6．(2021·海口调研)(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )
A．1 B．20
C．21 D．31解析：选C 因为(＋x)5展开式的通项为T ＝C()5－kxk＝C2 xk，因此，要使系数为有
k＋1
理数，只需为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系数为有理数的项为C()3x2，x5，
故所求系数之和为20＋1＝21.
7．(2021·辽宁八市重点高中联考)已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数
之和为64，则m＝( )
A. B.
C．4 D．7
解析：选B 设(2m＋x)(1＋x)4＝a＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，
0 1 2 3 4 5
令x＝1，得(2m＋1)×24＝a＋a＋a＋a＋a＋a.①
0 1 2 3 4 5
令x＝－1，得0＝a－a＋a－a＋a－a.②
0 1 2 3 4 5
①－②，得16(2m＋1)＝2(a＋a＋a)＝2×64，解得m＝，故选B.
1 3 5
8．设(2－x)5＝a＋ax＋ax2＋…＋ax5，则的值为( )
0 1 2 5
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 由二项式定理，得a＝－C·24＝－80，a＝C·23＝80，a＝－C·22＝ －
1 2 3
40，a＝C·2＝10，所以＝－，故选C.
4
9．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B 5的展开式的通项
T ＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，
r＋1
令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，
展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为
C＝10，故选B.
10．(多选)若n的展开式中最中间的一项是－x，则( )
A．a＝
B．展开式中所有项的二项式系数之和为64
C．展开式中的所有项的系数和为
D．展开式中的常数项为
解析：选BCD 因为n的展开式中存在最中间的一项，所以n必然为偶数，且最中间的
一项为 ＝ ＝－x，所以 ·(－) ＝－，＝，解得n＝6，a
＝，故A错误；展开式中所有项的二项式系数之和为2n＝26＝64，故B正确；n＝6，令x＝1，得
展开式中所有项的系数和为6＝，故C正确；因为二项展开式的通项公式为T ＝Cx6－rr＝
r＋1Crx ，令6－＝0，得r＝4，所以展开式中的常数项为T＝C×4＝，故D正确．故选BCD.
5
11．已知10的展开式中含有x 的系数是－120，则a＝________.
解析：由二项式定理的展开式可得Cx10－rr＝Crx .
因为x 的系数是－120，所以x ＝x .
解得r＝3.
所以系数为C3＝－120.解得a＝1.
答案：1
12．若(1＋2 020x)2 020＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 020，则＋＋＋…＋＝__________.
0 1 2 2 020
解析：因为＝＝nC＝2 020C，
所以＋＋＋…＋
＝2 020(C＋C＋…＋C)＝2 020×
＝2 020×22 018.
答案：2 020×22 018
13．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a＋ax＋ax2＋…＋a xn(n∈N*)，若a＋a＋…
0 1 2 n 0 1
＋a ＝62，则log 25等于________．
n n
解析：令x＝1可得a＋a＋a＋…＋a ＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝62，解得n＝
0 1 2 n
5，所以log 25＝2.
n
答案：2
14．(2021·青岛模拟)已知(1＋x)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋a xn(n∈N*)，设S ＝a ＋a ＋a
0 1 2 n n 0 1 2
＋…＋a ，数列的前n项和为T ，当|T －1|≤时，n的最小整数值为________．
n n n
解析：因为(1＋x)n＝a＋ax＋ax2＋…＋a xn(n∈N*)，令x＝1，得S ＝a＋a＋a＋…＋
0 1 2 n n 0 1 2
a ＝2n，所以＝，所以T ＝＝1－，所以|T －1|≤即为≤，所以n≥11，即n的最小整数值为11.
n n n
答案：11
15．已知(1－2x)7＝a＋ax＋ax2＋…＋ax7，求：
0 1 2 7
(1)a＋a＋…＋a；
1 2 7
(2)a＋a＋a＋a；
1 3 5 7
(3)a＋a＋a＋a；
0 2 4 6
(4)|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|.
0 1 2 7
解：令x＝1，则a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＝－1.①
0 1 2 3 4 5 6 7
令x＝－1，则a－a＋a－a＋a－a＋a－a＝37.②
0 1 2 3 4 5 6 7
(1)∵a＝C＝1，
0
∴a＋a＋a＋…＋a＝－2.
1 2 3 7(2)(①－②)÷2，得a＋a＋a＋a＝＝－1 094.
1 3 5 7
(3)(①＋②)÷2，得a＋a＋a＋a＝＝1 093.
0 2 4 6
(4)∵(1－2x)7展开式中a，a，a，a 大于零，而a，a，a，a 小于零，
0 2 4 6 1 3 5 7
∴|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|
0 1 2 7
＝(a＋a＋a＋a)－(a＋a＋a＋a)
0 2 4 6 1 3 5 7
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
16．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)8的展开式的通项T ＝C()8－r·r＝2－rCx (r＝0,1，…，8)，
r＋1
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T＝x4，T＝x，T＝.
1 5 9
(3)设第r＋1项的系数a 最大，则a ＝2－rC，
r＋1 r＋1
则＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a＝2－2C＝7，当r＝3时，a＝2－3C＝7，
3 4
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T＝7x ，T＝7x .
3 4
