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课时跟踪检测（八） 二次函数与幂函数
一、基础练——练手感熟练度
1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
解析：选A ∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m
＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，
不满足条件．故选A.
2．已知幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝f(x)＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选A 设幂函数f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点，∴2α＝，解得α＝－2.
∴函数f(x)＝x－2，其中x≠0.
∴函数g(x)＝f(x)＋＝＋≥2 ＝1，
当且仅当x＝±时，g(x)取得最小值1.
3．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(
)
A．f(x)在区间上的最小值为1
B．f(x)在区间上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间上的最小值为1
解析：选BCD 函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，
因为f(x)在区间上单调递减，所以f(x)在上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为
f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝
2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间上单
调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当
01时，f(x)在区间上单调递减，在
上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(1)＝1，D正确，故选B、C、D.
4．设a，b满足0ab，
D错误；A中，指数函数y＝ax(0ab，A错误；B中，指数函数
y＝bx(0bb，B错误．故选C.
5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开
口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向下，故可排除D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴
在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
6．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(
)
A．{0，－3} B．[－3,0]
C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0,3}
解析：选A ∵函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[－2(m＋
3)]2－4×3×(m＋3)＝0，解得m＝－3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，－3}．故选A.
7．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x，x 是f(x)的两个零点，且|x－x|
1 2 1 2
＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝的最大值．
解：(1)∵二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，
∵x，x 是f(x)的两个零点，且|x－x|＝2，
1 2 1 2
∴或
设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．
由f(0)＝3a＝3得a＝1，∴f(x)＝x2＋4x＋3.
(2)由(1)得g(x)＝＝＝(x>0)，
∵x>0，∴≤＝1－，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．
∴g(x)的最大值是1－.
二、综合练——练思维敏锐度
3m－m2
1．幂函数y＝x|m－1|与y＝x (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m
的值为( )
A．0 B．1和2
C．2 D．0和3
解析：选C 由题意可得解得m＝2，故选C.
2．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能
是( )
A．f(x)＝x2－2x＋1 B．f(x)＝x2－1
C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1解析：选A 由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得
函数图象的对称轴为x＝≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，故选A.
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，
b的值分别是( )
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选C ∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴－ ＝1.①
又图象过点P(－1,7)，
∴a－b＋1＝7，即a－b＝6，②
联立①②解得a＝2，b＝－4，故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋ax－在区间上的最大值是，则实数a的值为( )
A．3 B．－6
C．－2 D.
解析：选BD 函数f(x)＝－x2＋ax－＝－2＋(a2－a)的图象开口向下，对称轴方程为x
＝，
①当0≤≤1，即0≤a≤2时，
f(x) ＝f＝(a2－a)，
max
则(a2－a)＝，解得a＝－2或a＝3，
与0≤a≤2矛盾，不符合题意，舍去；
②当<0，即a<0时，f(x)在上单调递减，f(x) ＝f(0)＝－，即－＝，解得a＝－6，符合题意，
max
B正确；
③当>1，即a>2时，f(x)在上单调递增，
f(x) ＝f(1)＝a－1，即a－1＝，
max
解得a＝，符合题意，D正确，故选B、D.
6.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则
m与n的取值情况为( )
A．－10时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴00在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是
________．
解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2) ，x∈(1,4)．
max
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤.又a>4，∴a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f＝－－a＋3≥0，
∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a的取值范围为[－7,2]．
12．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，
所以f(x)在[1，a]上为减函数，
所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]．
又已知值域为[1，a]，
所以
解得a＝2.
(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－＋≤a≤＋.(*)
令＝t，t∈[2,3]，
则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t.
记g(t)＝－t2＋t＝－2＋，
则g(t) ＝g＝，所以a≥；
max
记h(t)＝t2＋t＝2－，
则h(t) ＝h(2)＝7，所以a≤7，
min
综上所述，≤a≤7.
所以实数a的取值范围是.
三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得f(x)＝－10＋2，x∈，令t＝sin x，则f(x)＝g(t)＝－10(t＋)2＋2，令
g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－≤t≤0时，f(x)的值域为，所以－≤m≤0.
故选B.
2．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，
b，c的大小关系为( )
A．a1，c＝f＝2 ＝>a.故a，b，c的大小关系是a
