文档内容
课时跟踪检测（五十八） 概率与统计的综合问题
1．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满
意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示
不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居
住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则
居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随
机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 1 2 3 4 5
(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) (1,2,1)
人员编号 6 7 8 9 10
(x，y，z) (1,2,2) (1,1,1) (1,2,2) (1,0,0) (1,1,1)
(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；
(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一
级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列
及其数学期望．
解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则
居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共
5名；居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名．
从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C＝45(种)，这2人的居住满意度指标z
相同的结果为C＋C＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满
意度指标z相同的概率为P(A)＝.
(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3
其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度
不是一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值
为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
2．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：
x 2 4 6 8 10
y 3 6 7 10 12
(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当x＝20时y
的值；
(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x
－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：b＝，a＝－b.
解：(1)散点图如图所示．
(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
y＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
i i
b＝＝＝1.1，
所以a＝7.6－1.1×6＝1，
所以线性回归方程为 y＝1.1x＋1，
故当x＝20时，y＝23.
(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0，
所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，
故ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
3．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来
了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5千
克，通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先
进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为
m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品
中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制频率分布直方图如图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不
是废品”为事件A，求事件A发生的概率．
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件
产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望．
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(10，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；
当t∈(ln 5,4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减．
所以当t＝ln 5时，y取得最大值，最大值为2.5×ln 5－0.5eln 5≈1.5.
所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值，约为
1.5元．
4．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可
以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为.为了简便描述
问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，
记甲登上第n个台阶的概率为P ，其中n∈N*，且n≤998.
n
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)证明：数列{P －P }是等比数列；
n＋1 n
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．
解：(1)由题意可得X的所有可能取值为3,4,5,6，
则P(X＝3)＝3＝，
P(X＝4)＝C××2＝，
P(X＝5)＝C×2×＝，P(X＝6)＝3＝，
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
所以X的数学期望
E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.
(2)证明：由题意可得P ＝P ＋P ，
n＋2 n＋1 n
所以P －P ＝－(P －P )．
n＋2 n＋1 n＋1 n
又P＝，P＝＋2＝，所以P－P＝≠0，
1 2 2 1
所以{P －P }是以为首项，－为公比的等比数列．
n＋1 n
(3)由(2)可得，
P ＝(P －P )＋(P －P )＋…＋(P－P)＋P
99 99 98 98 97 2 1 1
＝＋＝－×98.
