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专题12 统计概率（选填题10种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 特征数
【例1-1】（2023·广西玉林·统考模拟预测）（多选）为深人学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进
新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依
次是： ， .则下列说法正确的有（ ）
A．中位数为90，平均数为89
B． 分位数为93
C．极差为30，标准差为58
D．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意中位数为 ，
平均数为 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 分位数为 ，故B正确；
对于C，极差为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】方差
，
所以标准差 ，故C错误；
对于D，去掉一个最低分和一个最高分，
则平均数为 ，
方差为
，
所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D正确.
故选：ABD.
【例1-2】（2023·浙江·模拟预测）（多选）从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商
（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（ ）
A．
B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cm
C．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cm
D．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm
【答案】AB
【解析】由题意 ， ，A正确；
均值为 ，B正确；
设中位数是 ，由直方图可知其在第3三组，则 ， ，C错；
众数是115，D错；
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：AB．
【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）（多选）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大
值，则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【解析】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；
例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
【变式】
1．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的
数据，设剩下的8个样本数据的方差为 ，平均数 ；最大和最小两个数据的方差为 ，平均数 ；原样
本数据的方差为 ，平均数 ，若 ，则（ ）
A．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变
B．
C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数
D．
【答案】ABD
【解析】设10个样本数据从小到大排列分别为 ，则剩下的8个样本数据为 .
对A：原样本数据的中位数为 ，剩下的8个样本数据中位数为 ，故A正确；
对B，由题意 ， ， .
因为 ，故 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
故 ，
故 ，故 .故B正确；
对C，因为 ，故剩下8个数据的下四分位数为 ，
又 ，故原样本数据的下四分位数为 ，又 ，故 ，故C错误；
对D，因为 ，故 ， ， .
故 ， ，
故 ，故D正确.
故选：ABD
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）（多选）大连市教育局为了解二十四中学、第八中学、育
明中学三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为
120的样本.其中，从二十四中学抽取容量为35的样本，平均数为4，方差为9；从第八中学抽取容量为40
的样本，平均数为7，方差为15；从育明中学抽取容量为45的样本，平均数为8，方差为21，据此估计，
三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.3 B．均值为6.5
C．方差为17.52 D．方差为18.25
【答案】BD
【解析】设二十四中学、第八中学、育明中学三组数据中每个人的数据分别为
, , ，
均值 ，
方差
【淘宝店铺：向阳百分百】，
故选：BD
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）（多选）习近平总书记2021年10月22日在深入推动黄河
流域生态保护和高质量发展座谈会上的讲话中讲到：“要统筹发展和安全两件大事，提高风险防范和应对
能力．高度重视水安全风险，大力推动全社会节约用水，”节约用水对民生各个方面都有着积极影响，某
校为开展“节约用水一起行”活动，对20位同学进行了调查，调查了他们每户近9个月每个月的月用水量
的平均值y．其中某两个月的月用水量数据分别如下：
15.90 17.47 14.15 13.08 16.98 14.46 14.85 15.03 12.72 16.02
16.30 17.17 17.61 19.39 15.66 17.46 12.07 16.29 13.67 16.31
17.85 16.93 18.49 13.34 15.74 13.04 16.64 13.00 15.89 14.47
17.69 16.20 14.60 13.38 16.07 14.48 14.32 12.76 14.96 15.56
M月 N月（第九个月）
且根据近9个月每个月的月用水量，得到了月平均用水量的回归方程 ，其中x为月份序
数．则（ ）
A．月份M为第五个月． B．月份N的残差的平均值为0.54．
C．月份M的80百分位数为17.65． D．预报第12个月月平均用水量为14.52．
【答案】ACD
【解析】由题可得，月份M的平均用水量为(15.90 17.47 14.15 13.08 16.98 16.30 17.17 17.61
19.39 15.66 17.85 16.93 18.49 13.34 15.74 17.69 16.20 14.60 13.38 16.07) ，
令 ，解得 ，所以月份M为第五个月，A正确；
当 时， ，
所以月份N的残差的平均值为
【淘宝店铺：向阳百分百】，B错误；
因为 ，
月份M的数据从小到大排列后的第16,17个数为 ，
月份M的80百分位数为 17.65，C正确；
令 ，则 ，D正确，
故选:ACD.
4（2023·福建厦门·统考模拟预测）（多选）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众
望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成
为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球 日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
【答案】ABD
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球 日票房，所以《满江红》日票房平均数大于
《流浪地球2》日票房平均数，A正确;
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方
差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球 日票房极差，故C错误；
因为 ，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第 个数，
因为 ，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第 个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故选：ABD.
考法二 统计案例
【例2-1】（2023·重庆万州·统考模拟预测）（多选）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电
池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸
锂价格与月份的统计数据．
月份代码x 1 2 3 4 5
碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
若y关于x的经验回归方程为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．y与x的样本相关系数 B．
C．经验回归方程 经过点 D．由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为
1.84
【答案】BCD
【解析】由题意可得， ， ，
，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】，
则 与 的样本相关系数 .故A错误；
由 关于 的经验回归方程为 恒过样本中心点 ，则有 ，解得 ，故B
正确，C正确；
由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为 ，故D正确；
故选：BCD
【例2-2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）（多选）2022世界兵乓球团体锦标赛在成
都举办，中国女队､男队分别于10月8日和10月9日夺得团体赛冠军，国球运动又一次掀起热潮.为了解性
别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛的关联性，某体育台随机抽取了200名观众进行统计.得到如图所示的列
联表.
观看兵乓球比赛
性别
喜欢 不喜欢
男 60 40
女 20 80
则下列说法正确的是（ ）
参考公式： ，其中 .
附表：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为
B．男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为
C．依据小概率值 的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛无关
【淘宝店铺：向阳百分百】D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关
【答案】AD
【解析】由表中数据可知，喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为 ，所以A正确；
男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为 ，所以B错误；
由题意进行数据分析，得到 列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 60 40 100
女 20 80 100
合计 80 120 200
计算 ，
所以依据小概率值 的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以C错误；
所以在犯错误率不超过0.001的前提下认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以D正确；
故选：AD
【变式】
1．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育
锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经常锻炼 不经常锻炼
男 40 10
女 30 20
a 0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
经计算 ，则可以推断出（ ）
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【淘宝店铺：向阳百分百】D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【答案】BC
【解析】对选项A：该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 ，故A错误；
对选项B：经常体育锻炼的概率的估计值男生为 ，女生为 ，故B正确；
对选项C： ，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；
对选项D： ,故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误.
故选：BC
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 ，若 ， ， ，则
B．线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．根据分类变量 与 的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验（
），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为 与 独立
【答案】ACD
【解析】已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 ，
若 ， ， ，则 ，因此A正确；
线性相关系数 的范围在 到 之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
反之，线性相关性越弱，因此B错误；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此C正确；
由独立性检验 可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为 与 独立，因此D正确.
故选：ACD.
3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）某学校一同学研究温差 与本校当天新增
【淘宝店铺：向阳百分百】感冒人数 （人）的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 ，则（ ）
A．样本中心点为 B．
C． ，残差为 D．若去掉样本点 ，则样本的相关系数r增大
【答案】ABC
【解析】对于A项，因为 ， ，
所以样本中心点为 ，故A项正确；
对于B项，由回归直线必过样本中心可得： 解得： ，故B项正确；
对于C项，由B项知， ，令 ，则 ，
所以残差为 ，故C项正确；
对于D项，由相关系数公式可知，去掉样本点 后，x与y的样本相关系数r不变，故D项错误.
故选：ABC.
4（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）（多选）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的
温度有关.为了建立茶水温度 随时间 变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组
数据 ， ，…， （其中 ， ），绘制了如图所示的散点图.小明选择了
如下2个回归模型来拟合茶水温度 随时间 的变化情况，回归模型一： ；回归模型
二： ，下列说法正确的是（ ）.
【淘宝店铺：向阳百分百】A．茶水温度与时间这两个变量负相关
B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变
化情况
C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到 的图象一定经过点
D．当 时，通过回归模型二计算得 ，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为
【答案】AB
【解析】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，
即A、B正确；
根据非线性回归模型的拟合方法，先令 ，则 ，此时拟合为线性回归方程，
对应的回归直线过点 ，原曲线不一定经过 ，故C错误；
残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1，故D错误.
故选：AB.
考法三 正态分布
【例3-1】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量 ，则有如下结论：
（ ， ， ）,高三（1）班有40名同学，
一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
【答案】C
【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布 ， ，
∴ ，
【淘宝店铺：向阳百分百】根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为 ，
∴理论上说在130分以上人数约为 .
故选：C．
【例3-2】（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知随机变量X服从正态分布 ，下
列四个命题：
甲： ；乙： ；
丙： ；丁：
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】因为 、 均等价于 ，
由题意可得：乙、丙均为真命题，且 ，
对于甲：因为 ，故甲为真命题；
对于丁：因为 ，故丁为假命题；故选：D.
【变式】
1．（2023·广西北海·统考一模）（多选）已知变量 服从正态分布 ，当 从小变大时，则
（ ）
A． 变大 B． 变小
C．正态分布曲线的最高点上移 D．正态分布曲线的最高点下移
【答案】BD
【解析】当 变大时，方差变大，数据离散程度变大，所以 变小，故B正确，A错误；
且正态分布曲线的最高点下移，故C错误，D正确．
故选:BD．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（多选）已知某果园的每棵果树生长的果实个数为
【淘宝店铺：向阳百分百】X，且X服从正态分布 ，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在
的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意，
X服从正态分布 ，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，
∴ ，
∴ ，故选项A正确;
由题意可知 ，
∴ ，故选项B错误：
∵ ，
∴ ，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：AD．
3．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由题设可知， 服从均值为 ，标准差 的正态分布， 服从均值为 ，标准差 的
正态分布.
事件“ ”的概率仅与正数 有关，且 越大，该事件的概率越大，因此：
和 分别等价于 和 ，故后者的概率更大，A正确，B错误；
和 分别等价于 和 ，两者概率相同，C错误，D错误；
故选：A.
4．（2023·吉林白山·统考二模）（多选）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻
璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产
硼硅玻璃的膨胀系数 ，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 ，则下列选项
正确的是（ ）．（附：若 ，则 ，
， ）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在 的概率约为0.7685
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为 ，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为
乙生产线的2倍
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，故A错误．
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．
因为 ， ，
所以 ，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．
因为 ，
，所以D正确．故选：BD.
考法四 条件概率与全概率
【例4-1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从
①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件 ：甲和乙选择的活动各不同，事件 ：甲和
乙恰好一人选择①，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， ， ，所以 ，故选：B.
【例4-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二
箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽
样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记事件 “第一箱中取书”，事件 “从第二箱中取书”．事件 “第 次从箱中取到的书
是科技书”， ,
则由题意知， ， ,
【淘宝店铺：向阳百分百】,
所以
故选：C
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广
大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校
从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，
记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线
路不同”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有 个基本事件，
事件A含有的基本事件数是 ，则 ，
事件 含有的基本事件数为 ，则 ,
所以 .
故选：B
2．（2023·云南·校联考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，
大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三
次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，
则他出于某种特殊的原因说谎的概率为 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是 ．最初人们不知道这
个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是 ．已知第一次他说谎了，那么他是诚实
的小孩的概率是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件 表示“小孩诚实”，事件 表示“小孩说谎”，
则 ， ， ， ，
则 ，
，
故 ，
故 .
故选：D
3．（2023·福建龙岩·统考二模）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左
前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下
珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十
位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、
百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件 “表示的四位数为偶数”，事件
“表示的四位数大于5050”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】千位有1、5两种选择，百位、十位、个位有0、1、5三种选择，事件 “表示的四位数为偶
数”，要使得表示的四位数为偶数，则末位应该是0，可得 ，
事件 “表示的四位数大于5050”，要使得表示的四位数为偶数且四位数大于5050，则千位是5，百位应
【淘宝店铺：向阳百分百】该是1或5，个位是0，可得 ，
故 .
故选：A
考法五 独立事件与互斥事件
【例5-1】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取
2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【解析】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的
两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
【例5-2】（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件 “两次掷
出的点数之和是6”，事件 “第一次掷出的点数是奇数”，事件 “两次掷出的点数相同”，则
（ ）
A．A与 互斥 B． 与 相互独立
C． D．A与 互斥
【答案】B
【解析】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与
能够同时发生，所以A与 不互斥，故选项A错误；
对于选项B： ， ， ，所以 ，所以 与 相互
独立，即选项B正确；
对于选项C： ，故选项C错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时
发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；
故选：B.
【变式】
1．（2023·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，
事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的
点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【解析】由题可知，事件1可表示为： ,事件2可表示为： ,
事件3可表示为： ,事件4可表示为： ,
因为 ，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为 为不可能事件， 为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为 ，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为 为不可能事件， 不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
2．（2023·湖南·校联考二模）随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育．某市为
提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人
制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件 “甲乙
两人所选课程恰有一门相同”，事件 “甲乙两人所选课程完全不同”，事件 “甲乙两人均未选
择‘5人制’课程”，则（ ）
A．A与 为对立事件 B．A与 互斥 C．A与 相互独立 D． 与 相
互独立
【答案】C
【解析】依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同，故A
【淘宝店铺：向阳百分百】与 互斥不对立，A错误；
当甲乙两人均未选择“5人制”课程时，两人可能选的课程有一门相同，A与 不互斥，B错误；
所以 ， ， ，
且 ，所以 ，
，即A与 相互独立， 与 不相互独立，C正确，D错误，
故选：C．
3．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】一方面，考虑 含有等可能的样本点， .
则 ，故 两两独立，但 ，故此
时， 不成立.
另一方面，考虑 含有等可能的样本点， .
则
，故 不独立，也即 两两独立不成立.
综上，“ 两两独立”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
考法六 概率的性质
【例6-1】（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件 ， 和 为互斥事件，则
【答案】C
【解析】对于A，若在不同试验下，虽然有 ，但事件 和 不对立．若在同一
试验下，说明事件 和 对立．所以A错误；
对于B，若事件 和 都为不可能事件，则B错误；
对于C， 互斥，若 对立，则 ，若 不对立，则 ，C正确；
对于D，若事件A，B，C满足条件 ， 和 为互斥事件，则 ，则
D错误，
故选：C．
【例6-2】（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解析】于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则
，
【淘宝店铺：向阳百分百】，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
【例6-3】（2023·上海奉贤·统考一模）下列结论不正确的是（ ）
A．若事件 与 互斥，则
B．若事件 与 相互独立，则
C．如果 分别是两个独立的随机变量，那么
D．若随机变量 的方差 ，则
【答案】A
【解析】由已知，
选项A，若事件 与 互斥，则 ，故该选项错误；
选项B，若事件 与 相互独立，则 ，故该选项正确；
选项C，若 分别是两个独立的随机变量，那么 ，故该选项正确；
选项D，若随机变量 的方差 ，则 ，故该选项正确；
故选：A.
【变式】
1．（2023·河南·统考三模）设 ， 是两个随机事件，且 发生 必定发生， ， ，
给出下列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ， 是两个随机事件，且 发生 必定发生，知： ，即 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ， ，A、B、D错，C对；
故选：C
2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知事件A，B，C的概率均不为0，则 的
充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，由 ，
只能得到 ，并不能得到 ，故A错误；
对于B，由于不能确定 ， ， 是否相互独立，
若 ， ， 相互独立，则 ， ，
则由 可得 ，
故由 无法确定 ，故B错误；
对于C，因为 ，
，
由 ，只能得到 ，
由于不能确定 ， ， 是否相互独立，故无法确定 ，故C错误；
对于D，因为 ， ，
又 ，所以 ，故D正确；
故选：D.
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件 满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 与 互斥，则
C．若 与 相互独立，则
D．若 ，则 与 不相互独立
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则 ，所以A错误；
对于B，若 与 互斥，则 ，所以B正确；
对于C，若 与 相互独立，可得 与 相互独立，
所以 ，所以C错误；
对于D，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 与 相互独立，所以D错误.
故选：B.
考法七 概率最值
【例7】（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某人在 次射击中击中目标的次数为 ，
，其中 ，击中奇数次为事件 ，则（ ）
A．若 ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而增大
【淘宝店铺：向阳百分百】D．当 时， 随着 的增大而减小
【答案】C
【解析】对于选项A，在 次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，
因为 取最大值，所以 ，
即 ，
即 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，即 时概率 最大．故A不正确；
对于选项B， ，当 时， 取得最大值，故B不正确；
对于选项C、D，
，
，
，
当 时， 为正项且单调递增的数列，所以 随着 的增大而增大，故
C正确；
当 时， ， 为正负交替的摆动数列，所以 不会随着 的增大而减小，
故D不正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，
则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
2．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干
旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投
资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，
收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时
属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生
活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为 且相互独立，该单元有至
少两户人家月用水量严重超标的概率为 ，当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件 为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件 为：该单元有3户人家月用水量严重
超标，则 ，
即 ，
将各选项代入验证发现，唯有 满足要求，故A正确；
或者，令 ，整理为： ，
所以 或 ，因为 ，所以 .
故选：A.
3．（2023·河北·统考模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设 为样本空间，若 是一组
两两互斥的事件， ，则对任意的事件 ，有
．若甲盒中有 个红球、 个白球、 个黑球，乙
【淘宝店铺：向阳百分百】盒中有 个红球、 个白球、 个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个
球， “从乙盒中取出的球是红球”，若 ，则 的最大值为 ．
【答案】7
【解析】设 “从甲盒里取出的是红球”， “从甲盒里取出的是白球”， “从甲盒里取出的是
黑球”，故
根据全概率公式可得
，解得 ，所以 的最大值为 ．
故答案为：7
4．（2023·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取
不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当 最大时，
．
【答案】17.8/
【解析】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即 最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设
则
【淘宝店铺：向阳百分百】令
故当 时， 严格增加，
当 时， 严格下降，
即 时取最大值，
此题中 ，
根据超几何分布的期望公式可得 ，
故答案为：17.8
考法八 分布列中的期望与方差
【例8-1】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设 ，则随机变量 的分布列是
0 1
则当 在 内减小时，（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
【答案】C
【解析】根据题意可得， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 先减小后增大.
故选：C.
【例8-2】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）随机变量 的分布列如下表，且 ，
则 （ ）
0 2
A．10 B．15 C．40 D．45
【答案】D
【解析】由题意得 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以
故选：D.
【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】
1．（2023·河北·校联考模拟预测）已知随机变量X的分布列为（ ）
X t 6
P 0.3 0.2 0.2 0.3
若t在 内变化，当X的数学期望取得最小值时， （ ）
A． B． C．0.15 D．0.25
【答案】B
【解析】 ，
故当 时，X的数学期望取得最小值．
故选：B
2．（2023·四川巴中·统考一模）若一组样本数据 的期望和方差分别为 ，则数据
的期望和方差分别为（ ）
A．3,1 B．11,1 C． D．
【答案】B
【解析】由原样本数据集 中 ，而新数据集为 ，
所以新数据集中 ， .
故选：B
3．（2023·江苏苏州·苏州市第五中学校校考模拟预测） 、 两组各3人独立的破译某密码， 组每个人
译出该密码的概率均为 ， 组每个人译出该密码的概率均为 ，记 、 两组中译出密码的人数分别为
、 ，且 ，则（ ）
A． ， B． ，
【淘宝店铺：向阳百分百】C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由题意可知： 服从二项分布 ，所以 .
同理： 服从二项分布 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
对于二次函数 ，对称轴 ，所以在 上函数单调递减，
所以当 时，有 ，即 .
故选：B
考法九 图表信息读取
【例9】（2023·广东深圳·校考二模）（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全
校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人
数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【答案】ABD
【解析】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10
所以选取的总人数为 人，故选项A正确.
合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的 ，故选B正确.
【淘宝店铺：向阳百分百】则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为 人，故选项C不正确.
选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.
故选：ABD.
【变式】
1．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）（多选）为了研究某城市甲､乙两个 智能手机专卖店的销售状
况，统计了2023年4月到9月甲､乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法
正确的是（ ）
A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在 内
B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C．根据甲､乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小
D．根据甲､乙两店的营业额折线图可知， 月份的总营业额甲店比乙店少
【答案】ABD
【解析】对于A，甲店月营业额的平均值为 ， ，所以A正
确；
对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确；
对于C，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为 ，
乙店的月营业额极差为 ，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以C错误；
对于D，由营业额折线图可知，甲店的 月份的总营业额为 ，
乙店的 月份的总营业额为 ， ，所以D正确.
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ABD
2．（2023·广东梅州·统考三模）（多选）某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结
构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后的各产业
利润与总利润的占比如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．调整后传媒的利润增量小于杂志
B．调整后房地产的利润有所下降
C．调整后试卷的利润增加不到一倍
D．调整后图书的利润增长了一倍以上
【答案】ABC
【解析】设调整前的各产业利润的总和为 ，则调整后的各产业利润的总和为 .
对于选项A，调整前传媒的利润为 ，杂志的利润为 ，
调整后传媒的利润为 ，杂志的利润为 ，
则调整后传媒的利润增量为 ，杂志的利润增量为 ，故选项A不正确；
对于选项B，调整前房地产的利润为 ，调整后房地产的利润为 ，故选项B不正确；
对于选项C，调整前试卷的利润为 ，调整后试卷的利润为 ，且 ，故选项C不正确；
对于选项D，调整前图书的利润为 ，调整后图书的利润为 ，且 ，故选项D正确.
故选：ABC.
3．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）某地环保部门公布了该地 两个景区2016年至2022年各年的
全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的散点图，则由该图得出的下列结论中正确
的是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．景区A这7年的空气质量优良天数的中位数为254
B．景区 这7年的空气质量优良天数的第80百分位数为280
C．这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区 的空气质量优良天数的标准差大
D．这7年景区A的空气质量优良天数的平均数比景区 的空气质量优良天数的平均数大
【答案】AC
【解析】由图可得：景区A这7年的空气质量优良天数排序得：203，217，254，254，293，301，313；
景区B这7年的空气质量优良天数排序得：255，262，262，266，280，283，293；
对于选项A：景区A这7年的空气质量优良天数的中位数为254，故A正确；
对于选项B：因为 ，则第80百分位数为第6个数，为283，故B错误；
对于选项C：由图可知：景区A的空气质量优良天数的数据波动比景区 的空气质量优良天数的数据波动
大，
所以景区A的空气质量优良天数的标准差比景区 的空气质量优良天数的标准差大，故C正确；
对于选项D：景区A的空气质量优良天数的平均值 ，
景区B的空气质量优良天数的平均值 ，
因为 ，即 ，
所以这7年景区A的空气质量优良天数的平均数比景区 的空气质量优良天数的平均数小，故D错误；
故选：AC.
考法十 概率与其他知识综合
【例10-1】（2023·四川遂宁·统考三模）已知 ，从这四个数中任取一个数
【淘宝店铺：向阳百分百】，使函数 有两不相等的实数根的概率为 .
【答案】 /
【解析】函数 有两不相等的实数根，则 ，解得 或 .
， ， .
因为 ，所以 .
即从这四个数中任取一个数 ，使函数 有两不相等的实数根的概率为 .
故答案为：
【例10-2】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游
戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙
三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的
任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为 ．
【答案】
【解析】设第n次传球后球在甲手中的概率为 ， .则 ，得 ，
.
一次传球后，花不在甲手上，故 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以
.即 ，所以 ．故答案为：
【变式】
1．（2023·河南安阳·统考三模）半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3
个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /
【解析】若3个点中包含直径的两个端点，根据直径所对圆周角为直角，则此时为直角三角形，不合题意，
若3个点中，只有1个为直径的端点，此时有 种情况，
若3点没有点为直径的端点，则此时只有1种情况，
综上共有7种情况满足题意，
而总数共有 种，
则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为 .
故答案为： .
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 ，若从集合 中随机选取一
个元素 ，则函数 恰有7个零点的概率是 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，当 时， 的最小值为 ．
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ．而 ，
当 时，方程 的实数解的个数分别为3，3，2；
当 时，方程 的实数解的个数分别为3，2，2；
当 时，方程 ， 的实数解的个数均为2．
所以当 时，函数 恰有7个零点，故所求概率为 ．
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）“康威圆定理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一，
定理的内容是：如图， 的三条边长分别为a，b，c（即 ， ， ）．延长线段SR至
点A，使得 ，以此类推得到如图所示的点B，C，D，E，F，那么这六点共圆，此圆称为康威圆．若
， ， ，往此康威圆内投掷一点，该点落在 内的概率为 ．
【答案】
【解析】由 中 ， ， ，则 ，
由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，故 为直角三角形，其面积为6，
设 的内切圆半径为r，圆心为O，则 ，即 ，
由已知 ，所以O也为此康威圆的圆心，
设康威圆半径为R，结合图及圆的性质知： ，故此康威圆面积为
故往此康威圆内投掷一点，该点落在 内的概率为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
一、单选题
1．（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒
张压数据（单位： ）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别
编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组
共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】志愿者的总人数为 ＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12．故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，
随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲
座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
【淘宝店铺：向阳百分百】则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率
的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所
以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.
3．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，
其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3
个球中至少有1个黑球”，则 （ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】由题意知， ， ，所以
.故选：D.
4．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）有 张奖券，其中 张可以中奖，现有 个人从中不放回地依
次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件 “第 个人抽中中奖券”，则下列结论
正确的是（ ）
A．事件 与 互斥 B．
C． D．
【答案】C
【解析】事件 与 可以同时发生,根据互斥事件的定义,A错误;
由全概率公式得 ,故B错误;
由概率的乘法公式得 ,故C正确;
根据题意 ,
所以 ,故D错误.
故选:C.
5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）甲､乙两人组队去参加乒乓球比赛，每轮比赛甲､乙各比赛一场，已知每轮
比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，在每轮比赛中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不
影响，则甲､乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】甲乙共胜3次有如下两种情况：
甲胜1次，乙胜2次，其概率为 ，
甲胜2次，乙胜1次，其概率为 ，
故甲乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为 .
故选：B
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两
名才能出线，晋级到 决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的
概率为0.3；若获得小组第一，则 决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则 决赛获胜的概率为
0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其 决赛获胜的概率为（ ）
A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9
【答案】C
【解析】设该队小组出线为事件A，该队 决赛获胜为事件B，
则 ， ，
所以 ．
故选：C .
7．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测） ， 两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的
一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若 去甲城市的概率为 ， 去甲城市的概率为 ，则 ，
不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7
【答案】B
【解析】由题意知： 去甲城市的概率为 ， 去甲城市的概率为 ，
即 去乙城市的概率为0.4， 去乙城市的概率为0.8，
所以 ， 去同一城市上大学的概率 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以则 ， 不去同一城市上大学的概率 ，
故选：B.
8．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，
要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙
参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有 不同的安排方法，
事件 “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有 种方法；
若跳高比赛安排1人，则有 种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有 种，
则 ，同理 ，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有
种不同的安排方法，所以 ，
因为 ，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A
与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有 种，所以
，所以 ，故C正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于D， ，故D错误.
故选：C
9．（2023·山东烟台·统考三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，
毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【答案】C
【解析】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
共有 中分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有 种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为 ，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有 种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为 ，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为 或 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】当男生人数为 时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有 种分法；
当男生人数为 时，将4名女生按人数 分为3组，
人数 的2组分到男生人数为 的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有 种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有 种，
则每所学校都有男大学生的概率为 ，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有 种分法，
乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有 种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为 ，D错误，
故选：C
10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年
级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如
图所示，其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（ ）
A．参加社团的同学的总人数为600
B．参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%
C．参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人
D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35
【答案】D
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】A选项， ，故参加社团的同学的总人数为500，A错误；
B选项，参加脱口秀社团的有125名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的 ，
所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的 ，B错误；
C选项，参加朗诵社团的人数为 ，参加太极拳社团的人数为 ，故参加朗诵社
团的人数比参加太极拳社团的多 人，C错误；
D选项，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为 ，即
0.35，D正确.
故选：D
11．（2023·山东烟台·统考二模）已知集合 ，若从U的所有子集中，等可能
地抽取满足条件“ ， ”和“若 ，则 ”的两个非空集合A，B，则集合A
中至少有三个元素的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， 可得 中没有重复数字，
由 ，则 可得 不为空集，且可将 中10个数字分为5组，
分别为2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，
且每组数中的一个数如果在集合 中，另一个必在集合 中，所以集合 中元素的个数小于等于集合 中
元素的个数，所以集合 中元素的个数可能为1，2，3，4，5，
所以集合 的可能的个数为 ，
所以 .
故选：C.
12．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑
球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件 “从乙箱中取出
【淘宝店铺：向阳百分百】的两球都是白球”， “从乙箱中取出的两球都是黑球”， “从乙箱中取出的两球一个是白球一
个是黑球”，其对应的概率分别为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出两个白球，可得 ，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出两个白球，
可得 ，所以 ；
当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出两个黑球，可得 ，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出两个黑球，
可得 ，所以 ；
当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出一白一黑球，可得 ，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出一白一黑球，
可得 ，所以 ，
综上可得， .
故选：C.
13．（2023·四川内江·统考三模）一个人连续射击 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
【淘宝店铺：向阳百分百】C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D
【解析】一个人连续射击 次，其可能结果为击中 次，击中 次，击中 次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
14．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生
育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该
政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，
记事件 ：该家庭既有男孩又有女孩；事件 ：该家庭最多有一个男孩；事件 ：该家庭最多有一个女孩.
则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 互斥但不对立 B．事件 与事件 互斥且对立
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
【答案】D
【解析】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，
男)，(女，女，女)}，
事件 ={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件 ={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件 ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A， ,且 ，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B， {(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件 与事件 不互斥，故B不正确；
对于C，事件 有4个样本点，事件 有4个样本点，事件 有0个样本点，
，显然有 ，即事件 与事件 不相互独立，故C
【淘宝店铺：向阳百分百】不正确；
对于D，事件 有6个样本点，事件 有4个样本点，事件 有3个样本点，
，显然有 ，即事件 与事件 相互独立，故D正
确；
故选：D
15．（2023·重庆·校联考三模）对于一个古典概型的样本空间 和事件A，B，C，D，其中 ，
， ， ， ， ， ， ，则（ ）
A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥 D．A与C相互独立
【答案】D
【解析】由 ， ， ，即 ，故A、B互斥，A错误；
由 ，A、D互斥且对立，B错误；
又 ， ，则 ，C与D不互斥，C错误；
由 ， ， ，
所以 ，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
16．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．已知随机变量 服从二项分布 .则
B．“ 与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件
C．已知随机变量 的方差为 ，则
D．已知随机变量 服从正态分布 且 ，则
【答案】D
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A，已知随机变量 ，则 ，故A错误；
对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，
“ 与 是互斥事件”并不能推出“ 与 互为对立事件”，
相反“ 与 互为对立事件”必能推出“ 与 是互斥事件”，
故B错误；
对于C，根据方差的计算公式， ，故C错误；
对于D，根据正态分布的对称性，随机变量 ， ，
所以 ，所以 ，
故D正确；
故选：D.
17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知一个古典概型的样本空间 和事件 ， 如图
所示. 其中 则事件 与事件 （ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ， ， ，
所以事件 与事件 不是互斥事件，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
所以 ，所以事件 与事件 是独立事件.
故选：B.
二、多选题
19．（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概
率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 .
考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重
复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收
到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0
的概率
【答案】ABD
【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
20．（2023·吉林·统考一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2
个球，事件 “取出的两球同色”，事件 “第一次取出的是白球”，事件 “第二次取出的是白
球”，事件 “取出的两球不同色”，则（ ）
A． B． 与 互斥
C． 与 相互独立 D． 与 互为对立
【答案】ACD
【解析】设2个白球为 ，2个黑球为 ，
则样本空间为：
，共12个
基本事件.
事件 ，共4个基本事件；
事件 ，共6个基本事件；
事件 ，共6个基本事件；
事件 ，共8个基本事件，
对于A，由 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为 ， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为 ， ，所以事件A与D互为对立，故D正确．
故选：ACD．
21．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，
可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色
调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再
从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配， 表示事件“甲调配出红色”； 表示事件“甲调
配出绿色”； 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 是独立事件 B．事件 与事件 是互斥事件
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A， 调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出紫色需要一瓶红色和一瓶蓝色颜料，
，又 ， ，
， 事件 与事件 不是独立事件，A错误；
对于B， 调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出绿色需要一瓶黄色和一瓶蓝色颜料，
事件 与事件 不可能同时发生， 事件 与事件 为互斥事件，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，由A知： ， ，D正确.
故选：BCD.
22．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）甲、乙两个盒子中各装有4个相同的小球，甲盒子中小球
的编号依次为1，2，3，4，乙盒子中小球的编号依次为5，6，7，8，同时从两个盒子中各取出1个小球，
记下小球上的数字．记事件 为“取出的数字之和为偶数”，事件 为“取出的数字之和等于9”，事件
为“取出的数字之和大于9”，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 是互斥事件 B． 与 是对立事件
【淘宝店铺：向阳百分百】C． 与 不是相互独立事件 D． 与 是相互独立事件
【答案】AC
【解析】从两个盒子中取出的两个数字之和只有2种结果：偶数和奇数．而“数字之和为9”是结果为奇数
的其中一种情况，所以事件 与 是互斥事件而不是对立事件，选项A正确．
从两个盒子各取1个小球，共有 种结果，其中数字之和为偶数的有8种；数字之和等于9的有
这4种；数字之和大于9的有 这6种．
所以 ．因为 ，所以 与 不是对立事件，
选项B错误．
事件 为“取出的数字之和为偶数且大于9”，其结果有4种： ．所以
，显然 ，所以 与 不是相互独立事件，选项C正确．
因为当取出的数字之和为偶数时，不可能出现取出的数字之和等于9这种情况，所以 ，而
，所以 与 不是相互独立事件，选项D错误．
故选：AC.
23．（2023·浙江·统考模拟预测）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白
球，从袋中一次性取出2个球，记事件 “两球同色”，事件 “两球异色”，事件 “至少有一
红球”，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
【答案】BC
【解析】随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含 个样本点，
随机事件 包含的样本点的个数为 ，
所以 ，A错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】随机事件 包含的样本点的个数为 ，
所以 ，B正确，
事件 与事件 不可能同时发生，所以事件 与事件 为互斥事件，
又 ，即事件 为必然事件，
所以事件A与事件B是对立事件，C正确；
随机事件 包含的样本点的个数为 ，
所以 ，
随机事件 为不可能事件，所以 ，
所以 ，
所以事件A与事件B不是相互独立事件，D错误，
故选：BC.
24．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊
活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”，B 表示事件“医生乙派往①村庄”，
C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．
C．事件A与C相互独立 D．
【答案】BD
【解析】因为4名医生派去三个村庄，基本事件的总数为 ，它们是等可能的基本事件，
事件 含有的基本事件个数为 ，所以 ，同理 ，
事件 含有的基本事件的个数为 ， ，事件 含有的基本事件的个数为
， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，事件A与B不相互独立,A错误；
，事件A与C不相互独立，C错误；
，B正确；
，D正确．
故选：BD．
25．（2023·辽宁辽阳·统考二模）某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张
写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记 表示甲中奖， 表示乙中奖，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可知 ，则A正确；
，则B错误；
，则C正确；
，则D错误；
故选：AC.
26．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（
）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ；
【淘宝店铺：向阳百分百】B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则 ；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为 .
【答案】AD
【解析】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ,故A正确，
对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即
，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为 ，
故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为 ，没有取到白球的概率为 ，
所以取球3次没有取到白球的概率为 ，
.所以至少有一次取到白球的概率为 ，故D正确，
故选：AD
27．（2023·吉林长春·统考模拟预测）有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，
能发芽的占70％，则下列说法正确的有（ ）．
A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是
B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
【淘宝店铺：向阳百分百】D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
【答案】ACD
【解析】甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，
则甲批有 粒发芽，乙批有 粒发芽.
A：从甲批种子任取2粒，至少1粒能发芽的概率为 ，故A正确；
B：从乙批种子任取2粒，至多1粒能发芽的概率为 ，故B错误；
C：从甲、乙批两种种子中各取1粒，至少1粒能发芽的概率为 ，故C正确；
D：将两批种子混合后，随机抽取1粒能发芽的概率为 ，故D正确.
故选：ACD.
28．（2023·云南·校联考模拟预测）已知变量 ， 之间的经验回归方程为 ，且变量 ， 的
数据如图所示，则下列说法正确的是（ ）
2 3 5 9 11
12 10 7 3
A．该回归直线必过
B．变量 ， 之间呈正相关关系
C．当 时，变量 的值一定等于
D．相应于 的残差估计值为
【答案】AD
【解析】对于A，由表格数据得， ， ，所以该回归直线必过
，故A正确；
对于B，因为回归直线方程为 ， ，当变量 增加，变量 相应值减少两个变量之间呈
负相关关系，故B错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，当 时， ，变量 的值可能为 ，故C错误；
对于D，由残差定义知，观测值减去预测值为残差，当 时，得预测值 ，则相应于
的残差估计值为 ，故D正确.
故选：AD.
29．（2023·河北沧州·校考三模）医学上判断体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数
减去 所得差值即为该人的标准体重.比如身高 的人，其标准体重为 公斤，一个人实
际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了，现分析某班学生的身高和体重的相关性时，随机抽测
了8人的身高和体重，数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高
165 168 170 172 173 174 175 177
体重 55 89 61 65 67 70 75 75
由最小二乘法计算得到经验回归直线 的方程为 ，相关系数为 ，决定系数为 ；经过残差分
析确定有一个样本点为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的7组数据计算得到经验回归直
线 的方程为 ，相关系数为 ，决定系数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，
且由表可知，两个变量呈正相关，所以 ， .
故选：AD.
30．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）某研究小组采集了 组数据，作出如图所示的散点图．若去掉
后，下列说法正确的是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．相关系数 变小
B．决定系数 变大
C．残差平方和变大
D．解释变量 与预报变量 的相关性变强
【答案】BD
【解析】根据散点图可知，去掉点 后， 与 的线性相关性加强，且为正相关，
相关系数 变大，则A错D对，
去掉点 后，残差平方和变小，则 变大，B对C错.
故选：BD.
31．（2023·福建龙岩·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，相应变量 增加 个单位
C．数据 的方差为 ，则数据 的方差为
D．一个样本的方差 ，则这组样本数据的总和等于100
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，A正确；
由回归方程可知，当解释变量 每增加1个单位时，相应变量 减少 个单位，B错误；
选项C，由 ，可得 ，C正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，所以这组样本数据的总和等于 ，故D正确；
故选：ACD
32．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥， ， ，
B．若事件A，B相互独立， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】BC
【解析】
，∴ ，A错.
，B对.
令 ， ， ，∴ ，
，∴ ，
，∴ ，C对.
，D错，
故选：BC.
三、填空题
33．（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 / ．
【解析】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
34．（2023·山西吕梁·统考二模）某种红糖的袋装质量 服从正态分布 ，随机抽取5000袋，则
袋装质量在区间 的约有 袋．（质量单位： ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】4093
【解析】由题意知， ，
所以 ， ，得
，
所以袋装质量在区间 的约有 袋．
故答案为：4093
35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去四川省图
书馆与老师探讨作业试卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道 处，小明在街道 处，四川省图书馆位于
处.二人均选择最短路线并约定在天府广场汇合，记事件 ：小红经过 ，事件 ：小红经过 ，则
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【答案】 /
【解析】小红从 到 的最短路径条数为： ，
小红从 经过 到 的最短路径条数为： ，故 ，
小红经过 和 到 的最短路径条数为： ，故 ，
所以 .
故答案为： .
36．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品
率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第
1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件
是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ．
【答案】
【解析】记事件 ：车床加工的零件为次品，记事件 ：第 台车床加工的零件，
则 ， ， ， ， ， ，
任取一个零件是次品的概率为
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为
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故答案为： .
37．（2023·河北·统考模拟预测）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，
促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名
教师分配到新疆的 ， ， 共3所学校，每所学校至少1人，则在甲、乙两人不分配到同一所学校的前
提下，甲恰好分配到 学校的概率为 .
【答案】
【解析】将这5名教师分配到新疆的 ， ， 共3所学校，每所学校至少1人，
则先分组后排列，5名教师分成三组，可能为1，1，3或1，2，2.
若为1，1，3，则有 种情况；若为1，2，2，则有 种情况.
所以5名教师分配到新疆的 ， ， 共3所学校，每所学校至少1人，
共有 种情况.
设“甲、乙两人不分配到同一所学校”为事件 ，“甲恰好分配到 学校”为事件 .
若为1，1，3，则甲、乙两人分配到同一所学校有： 种；
若为1，2，2，则甲、乙两人分配到同一所学校有： 种；
所以甲、乙两人不分配到同一所学校共有： 种.
所以 .
若为1，1，3，甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到 学校有： 种；
若为1，2，2，甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到 学校有： 种；
所以甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到 学校总共有： 种.
所以 .
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故答案为： .
38．（2023·上海静安·统考一模） 、 分别是事件 、 的对立事件，如果 、 两个事件独立，那么以
下四个概率等式一定成立的是 ．（填写所有成立的等式序号）
①
②
③
④
【答案】②③
【解析】① ，故①不一定成立；
②③由事件的独立性定义可得 与 ， 与 相互独立，所以 ，
，故②③正确；
④ ，故④不一定成立.
故答案为：②③.
39．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉
在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．
小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下．当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收
集到小球．现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路
图，以此类推，小球所有的路线情况如下：
01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-
36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-
13-23-33，共16种情况，其中落入2号位置的有4种，
所以每个球落入2号位置的概率为 ，
所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为
，
故答案为：
40（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机
抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
【答案】 ， /
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
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