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专题04 恒成立与存在性求参（选填题6种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 一元二次不等式在R
【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题 ： ， ，若p为假命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为命题 ： ， ，所以 ： ， ，
又因为 为假命题，所以 为真命题，即 ， 恒成立，
所以 ，即 ，解得 ，故选：D．
【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“ ”是“ ， 是假命题”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，命题“ ， 是假命题”
可得命题“ ， 是真命题”
当 时，即 时，不等式 恒成立；
当 时，即 时，则满足 ，解得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】综上可得，实数 ，
即命题“ ， 是假命题”时，实数 的取值范围是 ，
又由“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以“ ”是“ ， 是假命题”的必要不充分条件，
故选：B.
【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题 ，使得“ 成立”为真命题，则实
数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为命题 ，使得“ 成立”为真命题，
当 时， ，则 ，故成立；
当 时， ，解得： ；
当 时，总存在 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故答案为：
【变式】
1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“ ，使 ”是假命
题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：命题： ， .是真命题，
①当 时，结论显然成立；
②当 时，则 ，解得 ；
故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式 对任意实数 均成立，则
实数 的取值范围是
【答案】
【解析】因为不等式 对任意实数 均成立，
即不等式 对任意实数 均成立，
当 ，即 时，有 恒成立，满足题意；
当 ，即 时，则有 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .故选：B.
3．（2023·广东潮州）若命题：“ ，使 ”是真命题，则实数m的取值范
围为 ．
【答案】
【解析】当 时，易得m=1时命题成立；
当 时，
当 时，则命题等价于 ，
故答案为：
考法二 一元二次不等式在某区间
【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“ ， ”为
真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为命题“ ， ”为真命题，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以，命题“ ， ”为真命题，
所以， 时， ，
因为， ，
所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号.
所以， 时， ，即实数 的取值范围是
故选：C
【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“ ，使 成
立”的否定是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若“ ，使 成立”的否定是：
“ ，使 ”为真命题，即 ；令 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 ，故选：C.
【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p： ， ，则使p为真命题的一个必要不
充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】令 ，则 的图象开口向上，
若 ， ，则 ，解得 ，
对于A，当 时， 成立，而 时， 不一定成立，
所以 是p为真命题的一个必要不充分条件，所以A正确，
对于B， 是p为真命题的充要条件，所以B错误，
对于C，当 时， 成立，当 时， 不一定成立，
所以 是p为真命题的一个必要不充分条件，所以C正确，
对于D，当 时， 不一定成立，当 时， 成立，
所以 是p为真命题的一个充分不必要条件，所以D错误，
故选：AC
【例2-4】（2023秋·湖北宜昌）若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为不等式 （ ），
所以 或 （ ），
①当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
所以原不等式不可能对一切 恒成立，故 不符合题意；
②当 时， ，
所以不等式 的解集为 或 ，
又因为原不等式对一切 恒成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，
③当 时， ，
所以不等式 的解集为 或 ，
又因为原不等式对一切 恒成立，
所以 ，解得 ，
综述， .
故选：B.
【变式】
1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“ ”是假命题，则
实数 的最大值为______．
【答案】
【解析】由题知命题的否定“ ”是真命题．令 ，则
解得 ，故实数 的最大值为
故答案为：
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在 ，有 成立，则实数a的取值范
围是__________.
【答案】
【解析】将原不等式参数分离可得 ，设 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】已知存在 ，有 成立，则 ，
令 ，则 ， ，
由对勾函数知 在
上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，即 ，
故答案为： .
2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若 时， 恒
成立，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】解法1： 时， 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立.
令 （ ），则 ， ，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
故 ，即a的取值范围为 .
解法2：令 ，
则由题意知， ，在 时恒成立，即 时， .
①当 ，即 时， 在 单调递增，
【淘宝店铺：向阳百分百】此时， 成立，
所以， 恒成立；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
在 单调递增，所以 ，
此时只需， 即可，即
解得， ，∴ ，
综上所述，a的取值范围为 .
故答案为： .
3．（2023·全国·高三对口高考） 对于 总有 成立，则实数a的最小值为
．
【答案】4
【解析】由题意可得 ，
当 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，不合题意；
当 时， ，
由于 ，故 在 上恒成立，
仅当 时，等号成立，
则 在 上单调递减，则 ，不合题意；
当 时， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由于 ，故 在 上单调递增，
在 上单调递减，
故令 ，解得 ，
故实数a的最小值为4，故答案为：4
4．（2023秋·安徽铜陵·高三统考阶段练习）若命题“ ，使得 ”是假命题，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意原命题的否定“ ，使得 ”是真命题，
不妨设 ，其开口向上，对称轴方程为 ，
则只需 在 上的最大值 即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当 即 时， 在 上单调递增，
此时有 ，解得 ，
故此时满足题意的实数 不存在；
情形二：当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时有 ，只需 ，
解不等式组得 ，
故此时满足题意的实数 的范围为 ；
情形三：当 即 时， 在 上单调递减，
此时有 ，解得 ，故此时满足题意的实数 不存在；
【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述： 的取值范围是 .故答案为： .
考法三 单变量的恒成立或能成立
【例3-1】（2023·全国·高三对口高考）若存在负实数使得方程 成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
令 ，因为 ， 在 上均为增函数，
所以 在 为增函数，且 ， ， ，
所以 ，所以实数a的取值范围是 .
故选：C.
【例3-2】（2023·江苏南通·三模）若“ ”为假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意知命题“ ”为假命题，
则“ ”为真命题，
所以 ，则 ，
解得 ，所以 的取值范围为 .故选：A
【例3-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知命题 .若 为假命题，
则 的取值范围为 .
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 为假命题
为真命题，故 ，
令 ，则 ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 .
故答案为： .
【例3-4】（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若不等式 对任意
成立，则实数 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 对任意 成立，
不等式可变形为: ，即 ，
即 对任意 成立，
记 ，则 ，所以 在 上单调递增，
则 可写为 ，
根据 单调性可知，只需 对任意 成立即可，
即 成立，记 ，即只需 ，
因为 ，故在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以只需 即可，解得 .故答案为:
【变式】
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“ ，使得 ”为假命题，则a的
取值范围为 .
【答案】
【解析】若“ ，使得 ”为假命题，
可得当 时， 恒成立，只需 .
又函数 在 上单调递增，所以 .
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 ；若对任意的
，都有 成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 ,
对任意 ，都有 成立，即 |，
画出函数 的图象，如图所示
【淘宝店铺：向阳百分百】观察 的图象可知，当 时，函数 ，
所以 ，解得 或 ，
∴实数k的取值范围为 .答案： ； .
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“ ，使得 成立．”为假命题，则实数 的最大
值为?
【答案】
【解析】由题意得知命题“ ， 成立”.
（1）当 时，不等式 成立；
（2）当 时，由 ，则 ，
不等式两边取自然对数得 ，可得 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，则 ，
所以 ，因此实数 的最大值为 .
考法四 双变量的恒成立或能成立
【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-1】（2023·辽宁大连）已知 ，若存在 ，使对任意的 ，
有 成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】当 时, .当 时, .
若存在 ，使对任意的 ，有 成立,
等价于 ,可得 ，所以 .
故答案为：
【例4-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，
总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，函数值从 减小到0，
当 时， ，函数 在 上单调递增，函数值从0增大到 ，
令 ，显然函数 在 上单调递减，函数 的值域为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，得 ，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【变式】
1．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）已知 ， ，
，使 成立.则a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设 ，使 成立，
所以 在 上成立，
对于 ，有 ，
对于 ，有 ，
所以 ，即 ，可得 .故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且对 都有 成立，则
实数 的范围为
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意，函数 ，
要使得 ，即 ，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
设 ，则 在 上为增函数，
而 ， ，故 在 上存在零点 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
3（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知 ， ，若对 ， 使
成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，即 ，
所以 （ 为辅助角， ），
故 ，即 ，解得 .
【淘宝店铺：向阳百分百】由题可知， ， ，即对 ， .
令 ，令 ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，即 ，
则 ，即 ，
故答案为：
考法五 等式恒成立或能成立
【例5-1】（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知函数 ， ，设
为实数，若存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ．
令 ，由于 且 ，所以 或 ，所以
的取值范围是 ；
当 时， ， 的取值范围是 ， ；
综上可得 的取值范围是 ， ；
【淘宝店铺：向阳百分百】要存在实数 ，使得 成立，则函数 ，
即 ，即 ，解得： ．故选：D
【例5-2】（2023秋·江苏盐城·高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习）已知函数 ，
．若 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设函数 在 上的值域为 ，函数 在 上的值域为 ，
因为若 ， ，使得 成立，所以 ，
因为 ， ，所以 在 上的值域为 ，
因为 ，
当 时， 在 上单调递减，所以 在 上的值域为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，又 ，所以此时不符合题意，
当 时， 图像是将 下方的图像翻折到 轴上方，
【淘宝店铺：向阳百分百】令 得 ，即 ，
①当 时，即 时， 在 ， 上单调递减，
， ，所以 的值域 ，
又 ，所以 ，解得 ，
②当 时，即 时， 在 上单调递减，在
上单调递增，
， 或 ，
所以 的值域 或 ，又 ，所以 或 ，
当 时，解得 或 ，又 ，所以 ，
当 时，解得 或 ，又 ，所以 ，所以 的取值范围 ．
③当 时， 时， 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 在 上的值域 ，
又 ，所以 ，解得 ，综上所述， 的取值范围为 .
故选：C
【变式】
【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）已知函数 的表达式为
，若对于任意 ，都存在 ，使得 成立，则实数 的取
值范围是 .
【答案】
【解析】 在 上单调递增，
当 时， ， ，
， ，即 ，
故 是 值域的子集，故 ，解得 .
故答案为： .
2（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ，若 ，
，使得 成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】设 在 上的值域为 ，在 上的值域为 ，
若 ， ，使得 成立，则 .
1.当 时，则 ，
可知 开口向下，对称轴为 ，
则 在 上单调递增，可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上的值域为 ，所以 ；
2.当 时，则 ，
（1）若 ，则 在 内单调递减，
且当x趋近于0时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
所以 ，符合题意；
（2）若 ，则 ，即 ，不合题意；
（3）若 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
且当x趋近于0或 时， 均趋近于 ，所以 ，
又因为 ，则 ，
注意到 ，即 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
考法六 更换主元
【例6】（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）若 ，使得 成立，则实数 取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 ，使得 成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 ，
当 时， 成立，
当 时，令 ， 在 上单调递增，
即 ，则 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
当 时，令 ， 在 上单调递减，
即 ，则 ，解得： ，
因为 ，所以 ，综上：实数 取值范围是 .故选：B.
【变式】
1．（2023秋·广东珠海）若 ， 为真命题，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知， ， 恒成立，
设函数 ，
即 ， 恒成立.
则 ，即 ，
解得 ，或 .
故选：C.
2．（2023·北京）已知关于 的不等式 .若不等式对于 恒成立，求实数x的取值
范围
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】由题知，
设 ，
当 时， 恒成立.
当且仅当 ，即 ，
解得 且 ，
或 且 ，
则 .
所以 的取值范围是 .
一．单选题
7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“ ”为假命题，则命题成立的
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为命题“ ”为假命题，所以，对 ， 恒成立，
当 时， 在 上恒成立，所以 满足条件，
当 时，令 ，对称轴 ，且 ，所以，当 时，
恒成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，显然有 不恒成立，
故对 ， 恒成立时， ，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
2（2023·重庆·统考模拟预测）命题“ ”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若命题“ ”是真命题，则 ，
可知当 时， 取到最大值 ，解得 ，
所以命题“ ”是真命题等价于“ ”.
因为 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，故A正确；
因为 ，故“ ”是“ ”的充要条件，故B错误；
因为 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C错误；
因为 与 不存在包含关系，故“ ”是“ ”的即不充分也不必要条件，故D错
误；
故选：A.
3．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知 ．若p为假命题，
则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为p为假命题，所以 ， 为真命题，
故当 时， 恒成立．
因为当 时， 的最小值为 ，
所以 ，即a的取值范围为 ．
故选：A.
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）若“ ，使 成立”是假命题，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若“ ，使 成立”是假命题，则“ ，使 成立”是真
命题，即 ， ；
令 ，则 ，则 在 上单增， ，
则 .
故选：C.
5．（2023秋·广西河池·高三校考开学考试）若命题“ ，使得 成立”是假命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】命题“ ，使得 成立”的否定为： ， ，
依题意，命题“ ， ”为真命题，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取等号，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
6．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数 ，若存在
，使得 有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若存在 ，使得 有解，
由函数 ，即 ，即 在 有解，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，也为最大值 ，即 ，
所以 ，即实数a的取值范围是 .
故选：C.
7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量 、 满足 ， 与 的夹角为 ，若存在实数 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】有解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对不等式 两边同时平方，
得 ，即 ，
因为 ,
所以 ，
整理得 有解，
所以 得 ，
解得 ，又因为 ，所以 ，
故选:C.
8．（2023·全国·模拟预测）已知 .若存在 ，使不等式
有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【淘宝店铺：向阳百分百】，
若存在 ，使不等式 有解，
则问题转化为在 上
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得： 或
即实数m的取值范围为： ，
故选：B.
9．（2020·黑龙江绥化·统考模拟预测）已知函数 ，存在 ，使得不等式
有解，则实数m的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】 .
由 ，得 ，设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，从而 在 上递增，在 上递减，∴
【淘宝店铺：向阳百分百】，
当 时， ，即 ，
在 上， ， . 递减；在 上， ， ， 递增，
，设 ，
∴ ， ，∴ 在 上递减， ，∴m
的最小值为0.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （其中 为自然对数的底数），若存在
实数a使得 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，所以 ，
令 ，
由题意知，函数 和函数 的图象，一个在直线 上方，一个在直 下方，等价于一
个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由 ，得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ， 没有最小值，
由 ，得 ，
当 时，在 上 单调递增，
在 上 单调递减，
所以 有最大值，无最小值，不合题意，
当 时，在 上 单调递减，
在 上 单调递增，
所以 ，
所以 即 ，
所以 ，即m的取值范围为 ．
故选：A．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得
)恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 存在 ，使得 恒成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】是函数 的最小值点，
若 ，当 时， ；当 时， ，此时不存在 ，使得 ，不合题意；
若 ， 的对称轴为 ，函数 在 ， 上单调递增， ；
在 上， ，则 没有最小值，不符合题意；
若 ， 的对称轴为 ，函数 在 ， 上 ；
函数 在 上， ，要使存在 ，使得 恒成立，
则 ，即 ，解得 或 ，
又 ， ，即实数 的取值范围是 ， ．
故选：A．
12．（2023·安徽滁州）若存在实数 ，对任意实数 ，使不等式 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B．m＜1 C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
时，不等式不可能对 恒成立，∴ ．
作函数 和 的图象，如图，
【淘宝店铺：向阳百分百】时，不等式对 不可能恒成立，
在 不全为0时，对 ， 的图象是一条线段，这条线段只能是 或在其下方（其中
），线段 的方程是 ，
要使得原命题成立，只要函数 的图象在线段 下方即可，即 ，
，
当 时， ，∴ ．故选：D．
二、多选题
13．（2023·重庆九龙坡）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．则下列结
论正确的是（ ）
A．当 时， B．函数 有四个零点
C．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 D．对 ，
恒成立
【答案】AD
【解析】对于A选项：当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x（﹣x+2）＝e﹣x（x﹣2），故A正确；
对于B选项：当x＜0时，f（x）＝ex（x+2），令f（x）＝0 x＝﹣2，即小于0的零点只有1个，根据奇
函数对称性可知大于0的零点也只有一个， ⇒
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，故0也是函数f（x）的零点，于是函数f（x）的零点共有3个，故B
不正确；
对于C选项：当x＜0时，f′（x）＝ex（x+3），
∴x＜﹣3时，f′（x）＜0，﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，0）上单调递增，
∴x＝﹣3时，f（x）取最小值﹣e﹣3，且x＜﹣3时，f（x）＜0，
﹣3＜x＜0时，f（x）＜2，即﹣e﹣3≤f（x）＜2；
【淘宝店铺：向阳百分百】当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（3﹣x），
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
x＝3时，f（x）取最大值e﹣3，且x＞3时，f（x）＞0，
0＜x＜3时，f（x）＞﹣2，∴﹣2＜f（x）≤e﹣3，且f（0）＝0，
∴﹣2＜f（x）＜2，∴f（x）的值域为（﹣2，2），故C不正确；
对于D选项：结合C的结论可知∴ x，x R，都有|f（x）﹣f（x）|＜4，故D正确．
1 2 1 2
故选：AD． ∀ ∈
14．（2023·湖北武汉 ）定义在 上的函数 满足： ， ，则关于不等式
的表述正确的为（ ）
A．解集为 B．解集为
C．在 上有解 D．在 上恒成立
【答案】AC
【解析】令 ， ，则 ，
∵ ，
∴ 恒成立，即 在 上单调递增.
∵ ，
∴ .
不等式 可化为 ，等价于 ，
∴ ，即不等式式 的解集为 ，
则在 上有解，故选项AC正确.
故选：AC.
【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023·广东惠州）函数 为定义在R上的奇函数，当 时， ，下列结论正确的
有（ ）
A．当 时，
B．函数 有且仅有2个零点
C．若 ，则方程 在 上有解
D． ， 恒成立
【答案】AD
【解析】A．函数 为定义在R上的奇函数，当 时， ， ，
A正确；
B．当 时， ，解得 ， 时， ，解得 ，又 ，
所以 有 和0三个零点，B错误；
C．当 时， ， ，当 时， ， 递减， 时，
， 递增，
∴ 时， ＝ ，
极小值
时， ， ， ，
由 是奇函数，∴ 时， ＝ ， ， 的值域是 ，若 时，方程
极大值
在 时无解，C错误；
D．由C的讨论知 ，因此对任意的实数 有 ， ，∴
，即 ．D正确．
故选：AD．
【淘宝店铺：向阳百分百】16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数 ，则存在 （其中
，且 ），使下列式子对任意的 恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】 ，当 时， ，则 在 上单调递增，又 ，
∴ ，∴A正确；此时， ，则 ，
∴ ，∴B正确；
由 ，则
当 时C式子成立，∴C正确；
若任意 满足 ，则函数 关于点 对称，但是 的唯一对称中心为 ，
∴D错误，
故选：ABC
17．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知函数 ， ，若存
在 ，使得对任意 ， 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意 ，
B．存在 ，使得
【淘宝店铺：向阳百分百】C．存在 ，使得 在 上有且仅有1个零点
D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】AD
【解析】 ，其中 ， ， 为锐角，
恒成立，则 是 的最大值， 是其函数图象的一条对称轴，因此
，A正确；
的周期是 ，因此 是最小值点，B错；
，则 时， ， 时， ，
所以 时， ， ， 在 上恒为0，有无数个零点，C错；
由 的定义知其在 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，D正确．
故选：AD．
三、填空题
18．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“ 使 ”为假命题，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【解析】因为“ 使 ”为假命题，
所以“ ， ”为真命题，
【淘宝店铺：向阳百分百】其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围
是 .
【答案】
【解析】“ ， ”是假命题，
则它的否定命题：“ ， ”是真命题；
所以 , ， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】命题“ ”的否定为：“ ， ”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当 时显然不成立；当 时， 恒成立；当 时，只需
，解得： .综上有 故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】21．（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若存在 ，使得不等式
有解，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
又 ，所以 ，显然存在.
所以， 最小值 为9.
要使不等式 有解，只需要 即可，即 ，去绝对值可得
或 ，所以 或 .
故答案为： .
22．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）设 ，若存在唯一的m使得关于x的不等式组
有解，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意， ，由不等式 有解知， ，而 ，因此 ，
因存在唯一的m使得关于x的不等式组 有解，
则当且仅当 时，不等式组 有解，且当 时不等式组 无解，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 有解得 有解，于是得 ，解得 ，
由 无解得 无解，于是得 ，解得 ，因此 ，
所以a的取值范围是 .故答案为：
23．（2022秋·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知 ，若存在常数 ，
使 恒成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】使 恒成立，则 ，
化简整理得 ，
由于存在常数 ，使 恒成立，
可知 ，
因此 ，解得 .
故答案为：
24．（2022秋·河南·高三校联考开学考试）已知数列 的首项 ，且满足 .若
对于任意的正整数 ，存在 ，使得 恒成立，则 的最小值是 .
【答案】3
【解析】 数列 满足 ，且 ，即 ，
当 时， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
以上各式相加，得
又 ， ，
， ，
若对于任意的正整数 ，存在 ，使得 恒成立，则有 ，
的最小值是3.
故答案为： .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式 对于一切实数x恒成立，又存
在实数 ，使得 成立，则 最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 对于一切实数 恒成立，
所以 ，且 ，所以 ；
再由 ，使 成立，
可得 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
26．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知 ，函数 若存在实数
，使得 恒成立，则 的最大值是 ．
【答案】 /0.625
【解析】由题意得： ，①当 ，即 时，
；
②当 ，即 时，
，
当 即 时， ；
当 即 时， ，
当 即时， ；
【淘宝店铺：向阳百分百】③当 时， ，此时 .
则当 时， ；
当 时， ，画出 在
的图象，
令 ，解得 ，此时 相切，可得
；
当 时， ；则 ，
即当 时， ，又 ，则 ；
当 时， ，又 ，则 ；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，又 ，则 ；
综上可得 ，即 的最大值是 .
故答案为： .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意 ，
存在 使得 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意可得只需 即可，由题可知a为对数底数且 或
.当 时，此时 在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知 在 上单
调递减， 在 上单调递减，所以 ， ，所以
，即 ，可得 ；当 时，由复合函数单调
性可知 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 ，
，所以 ，即 ，可得 .综上：
.
故答案为： .
28．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知 ，若存在 ，
使不等式 ，对于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】 时，不等式 可化为 ，
因为存在 使不等式恒成立，
所以只需 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 在 上为增函数，
所以 ，所以 ， ，
所以 整理可得 ，
设 ，
所以 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 在 上单调递增，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即实数 的取值范围是
293．（2022春·安徽淮南·高三寿县第一中学校考阶段练习）对 ，存在实数 使得不等式
恒成立，则 的取值范围为
【答案】
【解析】由题意可知，对 ，存在实数 使得不等式 恒成立，转化为
在 恒成立，
即 ， 即可.
设 ，则 .
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， 取得极大值，也为函数 的最大值，
.
设 ，则 .
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， 取得极小值，也为函数 的最小值，
.
即 ，解得
所以 的取值范围为 .
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习）已知任意 ，若存在实数b使不等式 对任意的
恒成立，则b的最小值为 .
【答案】6
【解析】由题意 ，
设 ， ，其图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 ，即 时， ， ；
当 ，即 时， ， ；
若要 对于任意 ， 均成立，则 即 ，所以b的最小值为6.
故答案为：6
31．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数 ，若存在实数x使不等式
对任意 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为存在实数x使不等式 对任意 恒成立，
所以 ，
而 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以 时， ，即 ，故 单调递减； 时， ，即 ，故
单调递增；所以 在 处取得极小值也是最小值，故
，
因为不等式 对任意 恒成立，
时，不等式 恒成立；
时，不等式 等价于 ；令 ，则 ，故 在
上单调递增，故 ，所以 ，因此实数a的取值范围为 .
故答案为： .
32．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，存在实数 ， ，使得 恒成立，则 的最
大值与 的最小值的积为 ．
【答案】
【解析】如图 过点 时， 最大，即
与 相切时， 最小，即
故
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 ，对任意的实数 ，总存在实
数 使不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，即 ，即 恒成立.
即 ，设 ，则 .
当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减，故 ，
故 .
故答案为： .
34．（2022·全国·高三专题练习）存在 使 对任意的 恒成立，则 的最小值
为 .
【答案】
【解析】存在 使 对任意的 恒成立，
则等价于等价于存在 ， ， 在 的上方.
直线 过定点 ，即定点在直线 上，
【淘宝店铺：向阳百分百】设直线 与 相切于点 ，
，所以 ，
由 得 ，
化简得 ，故 .
构造函数 ，
则 ，
所以当 时， ，函数 递减，
当 时， ，函数 递增，
所以 .所以 的最小值为 .
故答案为：
35．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，若存在常数 ，使得 恒
成立，则 的最小值是 .
【答案】-2
【解析】由题意 即可，
,
若 ,则 且 ,即该数列单增，且 ,
此时若存在常数 ,使得 恒成立，则必有 .
若 ,则 ,该数列为常数列,即 .
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，显然有
综上所述, .
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】
