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专题 04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造 或 ( ，且 )型...........2
题型二：构造 或 ( ，且 )型...........5
题型三：构造 或 型.................................9
题型四：构造 或 型...............................11
三、专项训练.....................................................................................14
一、必备秘籍
1、两个基本还原
f' (x)g(x)−f(x)g' (x) f(x)
'
① ② =[ ]
f' (x)g(x)+f(x)g' (x)=[f(x)g(x)] ' [g(x)] 2 g(x)
2、类型一：构造可导积函数
①e nx [f' (x)+nf(x)]=[e nx f(x)] ' 高频考点1： ex [f' (x)+f(x)]=[exf(x)] '
②xn−1 [xf' (x)+nf(x)]=[xnf(x)] '
高频考点1：xf' (x)+f(x)=[xf(x)] ' 高频考点2 x[xf' (x)+2f(x)]=[x2f(x)] '
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
③ =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
④ =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2 =[ ]
x2 x x3 x2⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1 f' (x)g(x)+f(x)g' (x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f' (x)+f (x)<0 F(x)=exf(x)
3 f' (x)+nf(x)<0 F(x)=e nx f(x)
4 xf' (x)+f (x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf' (x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf' (x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f' (x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f' (x)cosx−f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3、类型二：构造可商函数
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
① =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
② =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2： =[ ]
x2 x x3 x2
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造 或 ( ，且 )型
1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数 为定义在 上的偶函数，当
时， ，则下列四个判断正确的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】由 结构特征可知 是函数 的导数
简单变形得到的，故构造函数并得到函数 的单调性，再结合函数奇偶性即可
判断选项中各函数值大小.
【详解】令 ，则 在 恒成
立，所以 在 单调递增，所以 ，即 ，
又因为函数 为定义在 上的偶函数，所以 ，即 ，
故选：D.
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知 的定义域为 是 的导函数，且
， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 构造函数 ，代入原式化简后得到
，再构造函数 ，讨论 的单调性即可得到
，最后根据 的单调性求解即可.
【详解】因为 ，即 ，
构造函数 ，则 ， .
将 代入 ，得 .
再构造函数 ，则 ，
易知，当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数
单调递减，所以 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递减，所以 在 单调递减.又根据单位圆可得三角不等式 ，又 ， ，所以
，故 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查构造函数，并利用导数比大小的问题.题中条件
可以构造函数 ，进一步构造函数 ，
然后讨论 的单调性，由 得到 ，再由三角不等式得到自变量的大小关
系，最后根据 的单调性求解.
3．（多选）（23-24高二下·山西太原·期中）已知 是定义在 上的奇函数，当
时， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
【答案】BC
【分析】构造函数 ，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】设 ，
由 是定义在 上的奇函数知，则 时， 为偶函数，
且 时， ，
故 在 单调递减，
由偶函数的对称性知， 在 单调递增，
故 ，即 ，故 ，B选项正确；
当 时， ，故 ，C选项正确；
当 时， ，故 ，D选项错误；
由B，D选项知， ，故 ，A选项错误.
故选：BC4．（多选）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数 的导函数为 ，对任意的
正数x，都满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】设 ，利用导数求出 的单调性，据此即可判断A和B选
项，设 ，根据导数求出 的单调性，据此即可求解C和D选项.
【详解】设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
由 得 ，故A项错误；
由 得 ，故B项正确；
设 ，则
，
所以 在 上单调递减，
由 得 ，故C项正确：
由 得 ，故D项错误.
故选：BC.题型二：构造 或 ( ，且 )型
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数 是定义在 上的奇函数，对任意实数 恒有
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先构造函数 ， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判
断.
【详解】设 ，则 ，
由条件可知， ，所以 ，则函数 在 上单调递增，
因为函数 是定义在 上的奇函数，则 ，即 ，故A错误；
由函数的单调性可知， ，得 ，故B正确；
由 ，得 ，故C错误；
由 ，得 ，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，从而可以根据函数的单调
性，判断选项.
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数 及其导函数 满足
恒成立，且 时 ，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】构造函数 ，利用 的单调性可得结果.
【详解】设 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 在R上为增函数，
选项A：因为 ，即 ，化简得 ，故A成立；
选项B：因为 ，即 ，化简得 ，故B成立；
选项C：因为 ，即 ，化简得 ，故C成立；
选项D：因为 ，即 ，化简得 ，而
故D不一定成立；
故选：D.
【点睛】本题关键是构造函数 ，利用函数的单调性判断结果.
3．（2020·广东梅州·模拟预测）设 是 的导函数，定义在 上的函数
满足（1） ；（2） ，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造 ，求导得到单调性，根据 得到 ，构造
，求导得到单调性，根据 得到 ，得到答案.
【详解】设 ，则 ， 在 上单调递增，
则 ，即 ， ；设 ，则 ， 在 上单调递减，
则 ，即 ， ；
综上所述： .
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定单调性，再根据单调性确定不等关系，意在
考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造 和
，求导确定单调区间是解题的关键，构造法是常考的数学方法，需要熟练掌握.
4．（多选）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数为
，且对任意的 ，都有 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】令 ，可得 在 上单调递增，取自变量的值可得结果.
【详解】令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故A错误，B正确；
又 ，所以 ，
即 ，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数 ．
(3)利用导数研究 的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的连续可导函数 ， ， 的
导函数为 ，若 ， 是指数函数， ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增C． ， D．
【答案】AC
【分析】由 及 可得函数 的解析式，结合导数即可判断B；由
是指数函数及 可得 的解析式，可判断A；由解析式计算可判断C；D选项
代入后为比较 与 的大小关系，可转化为比较 与 的大小关系，构造函数
，结合导数研究即可得.
【详解】由 ，即 ，
即有 ，可得 （ 为常数），
又 ，故 ，所以 ，
对于选项A， （ 且 ），由 ，得 ，
故 ，故A正确；
对于选项B， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，故B错误；
对于选项C， ，而 ，
故 ，故 ，故C正确；
对于选项D， ， ，
设 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
故 ，故D错误，
故选：AC．题型三：构造 或 型
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，其导函
数为 ，且 ，当 时， ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数 ，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可
判断 的正负情况，结合 ，即可求得答案.
【详解】令 ，则 ，
由于当 时， ，故此时 ，
则 在 上单调递减，
由于函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，即 为 上的偶函数，
则 在 上单调递增，
而 ，故 ，
故当 或 时， ，当 或 时， ，
由 可得 或 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 ，
故选：B【点睛】关键点点睛：关键是构造函数 ，并得出其单调性、奇偶性，由此即
可顺利得解.
2．（23-24高二下·重庆）设 是函数 的导函数，当 时，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数公式化简已知，再构造函数 ，利用函数单调性依次判断选
项.
【详解】 ，
设 在 单调递增，
，所以A错误；
，
所以 ，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数 的定义域是 ，其导函数是 ，若
，则关于 的不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)＝f(x)sinx， ，根据已知条
件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式.
【详解】 变形为 ，
变形为 ，
故可令g(x)＝f(x)sinx， ，
则 ，
∴g(x)在 单调递减，
不等式 即为g(x)＜g( )，
则 ，
故答案为： .
题型四：构造 或 型
1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·）定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒
有 成立．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数 ，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选
项，即得到结论．
【详解】
当 ，则不等式 等价为 ，
即 ，
设 ， ，
则 ，
即函数 在 上单调递增，
则 ， ， ， ，
即 ， ，
， ，
则 ，故A正确；
，得不出 ，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
2．（多选）（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在 上的函数 ，已知
是它的导函数，且恒有 成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】构造函数 ，结合题目所给性质可得 在 上单调递减，结合函
数单调性计算即可得.【详解】令 ，则 ，
由已知可得 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
故 ，即C､D选项正确.
故选：CD.
3．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数 ， ， 是其导函数，
恒有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由题设得 ，构造 并应用导数研究单调性，
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
构造函数 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，故A正
确；
因为 ，所以 ，即 ，故 ，故B
错误；
因为 ，所以 ，即 ，故 ，故C错误；因为 ，所以 ，即 ，故 ，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为 ，进而构造
研究单调性为关键.
三、专项训练
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知 为函数 的导函数，当 时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导确定其单调性，根据单调性确定建立
的不等关系，以及 的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令 ，则 ，
因为当 时，有 恒成立，
所以当 时， ，
即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，A 错误，B正确，
，即 ，即 ，CD错误.
故选：B.2．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意令 ，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为
，即 ，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即
可.
【详解】令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
不等式 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以不等式 的解集是 .
故选：C
3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函
数为 ．若 ，且 ，则使不等式 成立的x的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数 ，要求解的不等式可化为 ，
判断 单调性即可求解．
【详解】设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 在定义域R上单调递减．
∵ ，∴ ，
∴不等式 等价于 ，即 ，解得 ，
故选：D．4．（21-22高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数 是奇函数 的导函数，
，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】观察 ，可考虑构造函数 ，求得 的奇偶性，再
由 时， 的单调性确定整个 增减性，由 与 的正负反推 正负即可
求解.
【详解】设 ，则 ，∵当 时， ，
∴当 时， ，即 在 上单调递减.
由于 是奇函数，所以 ， 是偶函数，
所以 在 上单调递增.
又 ，
当 或 时， ；
当 或 时， ，
所以当 或 时， .
即不等式 的解集为 .
故选：B.
5．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，其导函数为 ，
且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即
可求出不等式的解集.
【详解】由题意，
在函数 中， ，导函数为 ， ，设 ，则 .
∵ ，
∴ ，则 是 上的增函数.
不等式 等价于
，
即 ，
则
解得： ，
故选：D.
6．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，求出函数的导数，问题转化为 ，利用单
调性解出即可．
【详解】令 ，则 ，
∵ ，∴ 在 上递减，
∵ ，∴ ，
∵不等式 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
故不等式 的解集是 ．
故选：B．
7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】令 ，求导分析，可得 在 上单调递减，不等式
可等价转化为 ，根据单调性可得答案．
【详解】令 ，
，
，
在 上单调递减，
又 ，
，
不等式 可化为 ，
，
故选：B.
8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定义在 上的可导函数 满足
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式 构造函数 ，利用导数
判断其单调性，利用单调性比较大小可得答案.
【详解】因为 ，所以构造函数 ，
所以
，则 在 上单调递减，
又 ，
所以 ，即 ，故A错误；
，即 ，故B正确；
，即 ，故C错误；
，即 ，故D错误.
故选： .【点睛】关键点点睛：根据不等式 构造函数
，利用函数的单调性比较大小是解题关键.
二、多选题
9．（2024·浙江温州·一模）定义在 上的函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，
都有 ，且满足 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．不等式 的解集为
C．若方程 有两个根 ， ，则
D． 在 处的切线方程为
【答案】AC
【分析】
根据奇函数的定义即可判定 A，根据导数的运算可得 进而可求解
，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.
【详解】
对 于 A ， ， 由 可 得
，所以 ，且定义域为 ，故 为奇函
数，A正确，
由 于 ， 所 以
为常数，则
又在 中，令 ，则 ，故 ，故 ，
所以 ，
对于B, 可得 ，又 ，故 ，则 ，
故B错误，
对于C， 为单调递增函数，而 为开口向上，且对称轴为
的二次函数， 且 是 的两个交点， 的两个交点设为 ，则 ，且 ，又 为单调递增函数，所
以 ，所以 ， C正确，
由 得 ，所以 在 处的切线方程为
，D错误，
故选：AC
10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且
， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
【答案】ABD
【分析】令 ，可得 ，得出函数 的单调性及 ，进
而判定A、B正确；由 ，得到 ，设
，利用导数求得函数 为单调递增函数，且 ，可判定D正确.
【详解】令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，可得 ，
由 ，即 ，可得 ，所以A正确；
又由 ，即 ，可得 ，所以B正确；
因为 ，可得 ，可得 ，
设 ，可得 ，
所以函数 为单调递增函数，又因为 ，
所以 ，所以 在 上是增函数，所以D正确.故选：ABD.
【点睛】知识方法：构造法求解 与 共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数 和 满足的条件，需要根据题设条件
构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
常见类型：（1） 型；（2） 型；（3）
为常数 型.
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）设 是定义在 上的偶函数， 为其导函数，
，当 时，有 恒成立，则不等式 的解集为
.
【答案】
【分析】设 ，求导得 ，根据题意得 在 上
单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集.
【详解】设 ,则
当 时,有 恒成立,
当 时, 在 上单调递增,
是定义在 上的偶函数,
，
即 是定义在 上的奇函数,
在 上也单调递增.
又 .
不等式 的解可等价于即 的解,
或 ,
不等式的解集为 .
故答案为： .
12．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）定义在 上的函数 的导函数为 ，
且 ，则不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】由条件结合导数的性质判断函数 的单调性，利用单调性解不等式
可得结论.
【详解】因为 ，故构造函数 ， ，
则当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，
又不等式 ，可化为 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
13．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数 的导数为 ，若 ，
，则不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】先将不等式 变形为 ，再构造函数
，讨论出函数 的单调性，即可求解．
【详解】不等式 变形为 ，
设函数 ，
则 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，则 ，
所以不等式 即为 ，
由 在 上单调递增，可得 ，
即不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：利用导数解不等式的基本步骤
(1)作差或变形；(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
14．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知 为定义域 上函数 的导函数，且
， ， 且 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据导数的对称性求得原函数的对称性，构造函数，通过不等式可得新函数导数
与零的大小，可得其单调性，解得答案.
【详解】由 ，整理可得 ，则函数 关于成中心对
称，
所以 关于直线 成轴对称，
当 时， ，由 ，则 ，
由函数 的导数为 ，
则函数 在 上单调递增，易知在 上单调递减，
当 时， ；当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【点睛】本题的接解题关键在于根据已知等式得到函数的对称性，利用构造函数的思想解
题.
