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专题 05 三角函数
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2023真题展现
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
真题考查解读
近年真题对比
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 同角三角函数间的基本关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角函数的图象与性质
1
1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f（x）＝sin（ x+ ），如图，A，B是直线y= 与曲线y＝f（x）
2
π ω φ
的两个交点，若|AB|= ，则f（ ）＝ ．
6
π
√3
【答案】−
2
1 1 π
解：由题意：设A（x， ），B（x， ），则x﹣x = ，
1 2 2 2 2 1 6
由y＝Asin（ x+ ）的图象可知：
5π π 2π 2π
x+ ﹣（ ω x+ φ）= − = ，即 （x﹣x）= ，
2 1 6 6 3 2 1 3
ω∴ ＝φ 4， ω φ ω
ω
学科网（北京）股份有限公司 12π 8π 8π
又f（ ）＝sin（ + ）＝0，∴ + ＝k ，k Z，
3 3 3
8π φ φ π ∈
即 =− +k ，k Z，
3
φ π ∈ 2π
观察图象，可知当k＝2时， =− 满足条件，
3
φ
2π √3
∴f（ ）＝sin（4 − ）=− ．
3 2
π π
√3
故答案为：− ．
2
2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f（x）＝cos x﹣1（ ＞0）在区间[0，2 ]有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
ω ω π
【答案】[2，3）
ω
2π
【解答】解：x [0，2 ]，函数的周期为 （ ＞0），cos x﹣1＝0，可得cos x＝1，
ω
函数f（x）＝co ∈ s x﹣π 1（ ＞0）在区间[0，2 ω ]有且仅有3个ω零点， ω
2π 2π
可得2⋅ ≤2 ＜ω3⋅ ω， π
ω ω
所以2≤ ＜3．π
考向二 三角恒等变换
ω
1+√5 α
3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知 为锐角，cos = ，则sin =（ ）
4 2
α α
3−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A． B． C． D．
8 8 4 4
【答案】D
1+√5
解：cos = ，
4
α
α
则cos
=1−2sin2
，
2
α α 3−√5 α 3−√5 (√5) 2+12−2√5 (√5−1) 2
故2sin2 = 1﹣cos = ，即sin2 = = = ，
2 4 2 8 16 16
α
∵ 为锐角，
α
∴ αsin ＞0，
2
α −1+√5
∴sin = ．
2 4
1 1
4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin（ ﹣ ）= ，cos sin = ，则cos（2 +2 ）＝（ ）
3 6
α β α β α β
学科网（北京）股份有限公司 27 1 1 7
A． B． C．− D．−
9 9 9 9
【答案】B
1 1
解：因为sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣sin cos = ，cos sin = ，
3 6
α1 β α β β α α β
所以sin cos = ，
2
α β 1 1 2
所以sin（ + ）＝sin cos +sin cos = + = ，
2 6 3
α β α β β α 4 1
则cos（2 +2 ）＝1﹣2sin2（ + ）＝1﹣2× = ．
9 9
α β α β
【命题意图】
考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=Asin（wx+
）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．
【考查要点】
三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助
角公式等．常考查y=Asin（wx+ ）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
【得分要点】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2 +cos2 ＝1．
sinα
（2）商数关系： α =t α an ．
cosα
2．诱导公式 α
公式一：sin（ +2k ）＝sin ，cos（ +2k ）＝cos_ ，其中k Z．
公式二：sin（ + ）＝﹣sin_ ，cos（ + ）＝﹣cos_ ，tan（ + ）＝tan ．
α π α α π α ∈
公式三：sin（﹣ ）＝﹣sin_ ，cos（﹣ ）＝cos_ ．
πα α πα α πα α
公式四：sin（ ﹣ ）＝sin ，cos（ ﹣ ）＝﹣cos_ ．
α α α α
π π
公式五：sin（πα− ）＝co α s ，cos（πα− ）＝sin ．α
2 2
π α α π α α
公式六：sin（ + ）＝cos ，cos（ + ）＝﹣sin ．
2 2
3．两角和与差的正弦α、余弦α、正切公式 α α
（1）C ：cos （ ﹣ ）＝cos cos +sin sin ．
（ ﹣ ）
（2）C α β ：cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin ．
（ + ） α β α β α β
（3）S α β ：sin（ + ）＝sin cos +cos sin ．
（ + ） α β α β α β
（4）S α β ：sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣cos sin ．
（ ﹣ ） α β α β α β
α β
α β α β α β
学科网（北京）股份有限公司 3tanα+tanβ
（5）T ：tan（ + ）= ．
（ + ） 1−tanαtanβ
α β
α β tanα−tanβ
（6）T ：tan（ ﹣ ）= ．
（ ﹣ ） 1+tanαtanβ
α β
4．二倍角的正弦、余弦α、β正切公式
（1）S ：sin 2 ＝2sin cos ．
2
（2）Cα ：cos 2 ＝cos2 ﹣sin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ．
2 α α α
α 2tanα
（3）T ：tan α 2 = α α ． α α
2 1−tan2α
α
α
5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
π π （2k ﹣ ，2k ） π π
（2k − ，2k + ） （k − ，k + ）
2 2 2 2
（k Z）；
π π π
π（k Z）；π π （k Z）π
递减区间：
∈
递减 ∈ 区间： （2k ，2k + ） ∈
π 3π
（2k + ，2k + ） （ π k Z π ） π
2 2
∈
π （k Z）π
最 值 π ∈ x＝2k （k Z）时，y ＝ 无最值
x＝2k + （k Z）时，y max
2 max
1；
π ∈
π ＝1 ∈；
x＝2k + （k Z） 时，
π
x＝2k − （k Z）时， π y πmin ＝ ∈ ﹣1
2
π
y
＝﹣∈
1
min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0） π kπ
对称中心：（k + ，0） 对称中心：（ ，0）
2 2
（k Z）
π
（k Z π） （k Z）
∈
∈ ∈
学科网（北京）股份有限公司 4π 对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
对称轴：x＝k + ，k Z
2
π ∈
π ∈
周期 2 2
6．函数y＝Asin（ x+ ）的 π 图象变换 π π
y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象的步骤
ω φ
ω φ ω
7．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式
M−m M+m
在由图象求三角函 ω 数 φ 解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A= ，k= ， 由周期T确定，
2 2
2π ω
即由 =T求出， 由特殊点确定．
ω
φ
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T．若 ＜T＜ ，且y
ω ω π
＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
【解答】解：函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T，
ω ω
则T＝ ，由 ＜T＜ ，得 ＜ ＜ ，∴2＜ ＜3，
π π ω
∵y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（ + ）＝0，则 + ＝k ，k Z．
π ∈
∴ ，k Z，取k＝4，可得 ．
∈
学科网（北京）股份有限公司 5∴f（x）＝sin（ x+ ）+2，则f（ ）＝sin（ × + ）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图像关于点（ ，0）中心
对称，则（ ）
φ φ π
A．f（x）在区间（0， ）单调递减
B．f（x）在区间（﹣ ， ）有两个极值点
C．直线x＝ 是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝ ﹣x是曲线y＝f（x）的切线
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图象关于点（ ，0）对称，
φ φ π
所以 + ＝k ，k Z，
φ π ∈
所以 ＝k ﹣ ，
因为0＜ ＜ ，
φ π
φ π
所以 ＝ ，
φ
故f（x）＝sin（2x+ ），
令 2x+ ，解得﹣ ＜x＜ ，
故f（x）在（0， ）单调递减，A正确；
x （﹣ ， ），2x+ （ ， ），
∈ ∈
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣ ， ）只有一个极值点，故B错误；
令2x+ ＝k + ，k Z，得x＝ ﹣ ，k Z，C显然错误；
π ∈ ∈
f（x）＝sin（2x+ ），
求导可得，f'（x）＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 6令f'（x）＝﹣1，即 ，解得x＝k 或 （k Z），
π ∈
故函数y＝f（x）在点（0， ）处的切线斜率为k＝ ，
故切线方程为y﹣ ，即y＝ ，故D正确．
故选：AD．
3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣ ）单调递增的区间是（ ）
A．（0， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ，2 ）
π π π
【解答】解：令 ，k Z．
∈
则 ，k Z．
∈
当k＝0时，x [ ， ]，
∈
（0， ） [ ， ]，
故选：A．
⊆
考向二 三角恒等变换
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，则（ ）
A．tan（ ﹣ ）＝1 B．tan（ + ）＝1
α β α β α β
C．tan（ ﹣ ）＝﹣1 D．tan（ + ）＝﹣1
α β α β
α β α β
【解答】解：解法一：因为sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，
α β α β α β
所以 sin（ ）＝2 cos（ + ）sin ，
α β
即sin（ ）＝2cos（ + ）sin ，
α β
所以sin（ ）cos +sin cos（ ）＝2cos（ + ）sin ，
β β α β
所以sin（ ）cos ﹣sin cos（ ）＝0，
β β
所以sin（ ）＝0，
所以 ＝k ，k Z，
π ∈
学科网（北京）股份有限公司 7所以 ﹣ ＝k ，
所以tan（ ﹣ ）＝﹣1．
α β
解法二：由题意可得，sin cos +cos sin +cos cos ﹣sin sin ＝2（cos ﹣sin ）sin ，
α β
即sin cos ﹣cos sin +cos cos +sin sin ＝0，
α β α β α β α β α α β
所以sin（ ﹣ ）+cos（ ﹣ ）＝0，
α β α β α β α β
故tan（ ﹣ ）＝﹣1．
α β α β
故选：C．
α β
考向三 同角三角函数间的基本关系
5．（2021•新高考Ⅰ）若tan ＝﹣2，则 ＝（ ）
θ
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：由题意可得：
＝
＝
＝ ．
故选：C．
结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定
函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5~10分。
一．三角函数的周期性（共3小题）
1．（2023•江西模拟）已知函数 ，则（ ）
A．f（x）的最小正周期是
π
B．f（x）在 上单调递增
C．f（x）的图象关于点 对称
D．f（x）在 上的值域是
学科网（北京）股份有限公司 8【解答】解：
＝ ，
对于A，f（x）的最小正周期 ，A错误；
对于B，当 时， ，此时y＝sin（4x+ ）单调递减，
∴f（x）在 上单调递增，B正确；
对于C，令 ，解得 ，此时f（x）＝0，
∴f（x）的图象关于点 对称，C错误；
对于D，当 时， ，则 ，
∴f（x）在 上的值域为 ，D错误．
故选：B．
2．（2023•河东区一模）已知函数 ，下列说法错误的为（ ）
A．最小正周期为 B．f（x）为偶函数
C．在 单调递减 D．
【解答】解：因为函数 为奇函数，故B错误；
最小正周期为 ，故A正确；
令 ，k Z，解得 ，k Z，
∈ ∈
即函数f（x）的单调减区间为 ，k Z，
∈
当k＝0时，即为 ，k Z，故C正确；
∈
且 ，故D正确．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 93．（2023•商洛三模）记函数 的最小正周期为T，且f
（T）＝﹣1，若f（x）在[0， ]上恰有3个零点，则 的取值范围为（ ）
π ω
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 的最小正周期为T＝ ，
且f（T）＝2sin（ × + ）＝﹣1，所以sin ＝﹣ ，所以 ＝﹣ ．
ω φ φ φ
x [0， ]，则 x﹣ [﹣ ， ﹣ ]，
若f（x）在[0， ]上恰有3个零点，
∈ π ω ∈ ωπ
π
则2 ≤ ﹣ ＜3 ，所以 ≤ ＜ ，
π ωπ π ω
所以 的取值范围为 ．
故选：A．
ω
二．运用诱导公式化简求值（共4小题）
4．（2023•南关区校级模拟）已知 ， ，则角 所在的象限是
（ ）
θ
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：因为 ＝﹣sin ，可得sin ＝﹣ ，
＝cos ，
则sin ＝2sin cos ＝﹣ ＜0，cos ＝2cos2 ﹣1＝﹣ ＜0，
所以角 所在的象限是第三象限．
θ θ
故选：C．
θ
5．（2023•抚松县校级模拟）已知tan ＝2，则 ＝（ ）
θ
A． B． C． D．
【解答】解： ＝ ．
故选：D．
6．（2023•南宁模拟）已知sin2 ＝cos ﹣1，则 ＝（ ）
α α
学科网（北京）股份有限公司 10A．1 B．﹣1 C．2 D．
【解答】解：∵sin2 ＝cos ﹣1，
∴1﹣cos2 ＝cos ﹣ α1，可得 α cos2 +cos ﹣2＝0，解得cos ＝1（cos ＝﹣2舍）；
α α α α α α
∴ ＝﹣cos ＝﹣1，
故选：B．
α
7．（2023•通州区模拟）已知 ， 是第一象限角，且角 ， 的终边关于y轴对称，则tan ＝（
）
α α β β
A． B． C． D．
【解答】解：∵ 是第一象限角，且角 ， 的终边关于y轴对称，
∴ ＝ ﹣ +2k ，k Z，
α α β
β π α π ∈
∴ ＝ ．
故选：D．
三．正弦函数的图象（共4小题）
8．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0， R）在区间 上单调，
ω φ ω φ∈
且满足 ．若函数f（x）在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围
为（ ）
ω
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： ∵ f （ x ） 在 区 间 上 单 调 ，
，
∴f（x）的对称中心为 ，且 ，
∴ ，即 ，即 ，
∴ ．
又∵f（x）的对称中心为 ，
学科网（北京）股份有限公司 11∴ ，
∵f（x）在区间 上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为 ，五个零点之间即
2T，六个零点之间即 ，
只需 即可，即 ，
又∵ ，
∴ ．
故选：B．
9．（2023•惠州模拟）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T，若 ＜T＜ ，且y
ω ω π
＝f（x）的图象关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
【解答】解：函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T，
ω ω
则T＝ ，由 ＜T＜ ，得 ＜ ＜ ，∴2＜ ＜3，
π π ω
∵y＝f（x）的图象关于点（ ，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（ + ）＝0，则 + ＝k ，k Z．
ω ω π ∈
∴ ＝ （k﹣ ），k Z，取k＝4，可得 ＝ ．
ω ∈ ω
∴f（x）＝sin（ x+ ）+2，
则f（ ）＝sin（ × + ）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
10．（2023•如皋市校级模拟）已知直线y＝kx+t与函数y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象恰有两个
切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为k 和k ，且k ＞k ，则（ ）
1 ω 2φ 1 2 ω
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 12C． D．
【解答】解：∵直线y＝kx+t与函数y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象恰有两个切点，
设k 对应的切点为（x ，sinx ），（x ′，sinx ′），x ＜x ′，
1 1 1 1 ω1 φ 1 1 ω
设k 对应的切点为（x ，sinx ），（x ′，sinx '），x ＜x ′，
2 2 2 2 2 2 2
只考虑x +x ′＝2 ，x +x ′＝4 ，
1 1 2 2
π π
则k ＝﹣ ，k ＝﹣ ，其中﹣ ＜x ＜x ＜0，
1 2 2 1
所以 ＝ • ，其中sinx ＝（x ﹣ ）cosx ，sinx ＝（x ﹣2 ）cosx ，
1 1 1 2 2 2
π π
易得x ＜﹣ ，
1
则 ＞ ＞ ，
则 ＜ ＜ ＜ ．
故选：B．
11．（2023•濮阳模拟）已知f（x）＝sin（3x+ ）（| |＜ ）为奇函数，若对任意 [﹣ ， ]，存
φ φ α∈
在 [﹣ ， ]，满足f（ ）+f（ ）＝0，则实数 的取值范围是 [ 0 ， ] ∪ { } ．
β∈ α α β α
【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+ ）（| |＜ ）为奇函数，
∴ ＝0，f（x）＝sin3x．
φ φ
由f（ ）+f（ ）＝0，
φ
可得sin3 +sin3 ＝0，即sin3 ＝﹣sin3 ，
α β
所以3 ＝3 + +2k ，或3 ＝﹣3 +2k ，k Z，
α β α β
β α π π β α π ∈
所以 ＝ + + ，或 ＝﹣ + ，k Z．
β α β α ∈
若对任意 [﹣ ， ]，存在 [﹣ ， ]，满足f（ ）+f（ ）＝0，
α∈ β∈ α α β
故﹣ ≤ + + ≤ ，k Z，则 + ≤0， ≥﹣ ﹣ ，k取负整数，
α α ∈ α
则k只能取﹣1，此时， ＝ ．
α
学科网（北京）股份有限公司 13或﹣ ≤﹣ + ≤ ，k Z，则 ≤ ≤ + ，k Z，
α α ∈ α ∈
则k只能取0，故0≤ ≤ ，
α
综上可得，实数 的取值范围是[0， ]∪{ }，
α
故答案为：[0， ]∪{ }．
四．正弦函数的单调性（共9小题）
12．（2023•湖南三模）已知f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）满足 ， 且f（x）在
ω φ ω
上单调，则 的最大值为（ ）
ω
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）满足 ， ，
ω Φ ω
∴ ，即 ，
∴ ，
∵f（x）在 上单调，
∴ ，即 ，
∴当n＝1时 最大，最大值为 ，
故选：B．
ω
13．（2023•广州二模）已知函数 的图象关于点 对称，且f
（x）在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A．{2} B．{8} C．{2，8} D．{2，8，14}
ω
【解答】解：f（x）关于点 对称，所以 ，
所以 ①； ，而 f
（x）在 上单调，
学科网（北京）股份有限公司 14所以 ，0＜ ≤8②；
由①②得 的取值集合为{2，8}．
ω
故选：C．
ω
14．（2023•泸县校级模拟）已知函数 ，且在 上单调
递增，则满足条件的 的最大值为 ．
ω
【解答】解：
由 ，
得 ，
∴f（x）的单调递增区间为 ，
由题知， ，
∴ ∴ ，
∵ ＞0，∴当k＝0时， ，∴ ，
ω
当k＝1时， ；当k≥2，k Z时， ．∴ ．
∈ ω∈∅
故答案为： ．
15．（2023•大理州模拟）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，| |≤ ），x＝﹣ 是函数f（x）的
ω φ ω φ
一个零点，x＝ 是函数f（x）的一条对称轴，若f（x）在区间（ ， ）上单调，则 的最大值是
（ ）
ω
A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：设函数f（x）的最小正周期为T，
∵函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，| |≤ ），x＝﹣ 是函数f（x）的一个零点，
ω φ ω φ
x＝ 是函数f（x）的一条对称轴，
∴ ，其中n N，
∈
学科网（北京）股份有限公司 15∴T＝ ＝ ，∴ ＝4n+2，
ω
∵f（x）在区间（ ， ）上单调，
∴ ≤ ＝ ，∴ ≤20，
∴ 的可能取值为2，6，10，14，18，
ω
ω
（i）当 ＝18时，f（x）＝sin（18x+ ），f（﹣ ）＝sin（﹣ ）＝0，
ω φ
∴ ﹣ ＝k （k Z），则 （k Z），
φ π ∈ ∈
∵﹣ ，∴ ＝ ，∴f（x）＝sin（18x+ ），
φ
当 时， ，
∴函数f（x）在（ ）上不单调，不合题意；
（ii）当 ＝14时，f（x）＝sin（14x+ ），f（﹣ ）＝sin（﹣ + ）＝0，
ω φ φ
∴ ＝k （k Z），则 ＝k + （k Z），
π ∈ φ π ∈
∵﹣ ，∴ ＝﹣ ，∴f（x）＝sin（14x﹣ ），
φ
当 时， ，
∴函数f（x）在（ ）单调递减，符合题意，
∴ 的最大值为14．
故选：A．
ω
16．（2023•雁塔区校级三模）已知函数 f（x）＝sin x+cos x，其中 ＞0．若 f（x）在区间
ω ω ω
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
ω
A．（0，4] B． C． D．
【解答】解： ，
∵函数f（x）在区间 内单调递增，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 16∴ ≤4，
ω
∵ ，
∴ ，
若f（x）在区间 上单调递增，
则 ，
解得 ，
当k＝0时， ，
当k＝1时， ，
当k取其它值时不满足0＜ ≤4，
ω
∴ 的取值范围为 ，
故选：D．
ω
17．（2023•广西一模）函数 恒有f（x）≤f（ ），且f（x）在 上单
调递增，则 的值为（ ）
π
ω
A． B． C． D． 或
【解答】解：函数 恒有f（x）≤f（ ），
π
则 ，解得 ，
∵f（x）在 ，上单调递增，
∴ ＞0，且 ，
故0＜ ≤3，
ω
ω
结合 ，可得 的值为 或 ，
ω
当 的值为 时，
ω
学科网（北京）股份有限公司 17f（x）＝sin（ ），
令 ，解得﹣2 +6k ≤x≤ +6k ，k Z，
π π π π ∈
当k＝0时，f（x）在[﹣2 ， ]上单调递增，满足f（x）在 上单调递增，
π π
当 的值为 时，
ω
f（x）＝sin（ ），
令 ，解得 ，
所以f（x）在 上单调递增，不满足f（x）在 上单调递增．
故选：A．
18．（多选）（2023•福建模拟）已知函数f（x）＝sin （ ＞0）满足：f（ ）＝2，f（
ω
）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线 对称
B．函数y＝f（ ）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（ ， ）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
【解答】解： ，所以函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]，故D正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ＝12k +1，k Z，
2 2
ω ∈
所以 ，即k ＝8k +1，
1 2
所以 {1，13，25，37，•••}，
ω∈
因为 ，
所以曲线y＝f（x）关于直线 对称，故A正确；
学科网（北京）股份有限公司 18因为 ＝2sin（（12k +1）x﹣4k ）＝2sin（（12k +1）
2 2 2
x），
π
即 ，
所以函数 是奇函数，故B正确；
取 ＝13，则最小正周期 ，故C错误．
故选：ABD．
ω
19．（多选）（2023•运城三模）已知函数 ，满足
， ，且在 上单调，则 的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
ω
【解答】解：由 ，知函数f（x）的图象关于直线 对称，
又 ，即 是函数f（x）的零点，
则 ，n Z，
即 ＝2n+1，n Z．
∈
ω ∈
由f（x）在 上单调，
则 ，即 ≤6，
所以 ＝1，3，5．
ω
ω
当 ＝1时，由 ，k Z，得 ，k Z，
ω ∈ ∈
又| |＜ ，所以 ，此时当 时， ，
φ
所以 在 上单调递增，故 ＝1符合题意；
ω
当 ＝3时，由 ，k Z，得 ，k Z，
ω ∈ ∈
又| |＜ ，所以 ，此时当 时， ，
φ
所以 在 上单调递增，故 ＝3符合题意；
ω
学科网（北京）股份有限公司 19当 ＝5时，由 ，k Z，得 ，k Z，
ω ∈ ∈
又| |＜ ，所以 ，此时当 时， ，
φ
所以 在 上不单调，故 ＝5不符合题意．
综上所述， ＝1或3．
ω
故选：AB．
ω
20．（2023•青羊区校级模拟）已知函数 ， ，
，且f（x）在 上单调，则 的最大值为 5 ．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ x+ ），
ω
ω φ
∴f（﹣ ）＝2sin（﹣ + ）＝0，
ω φ
∴﹣ + ＝k ，k Z①；
ω φ π ∈
又 ，
∴x＝ 是f（x）图象的对称轴，
∴ + ＝k′ + ，k′ Z②；
ω φ π ∈
由①②得， ＝ + ，k Z，
φ π ∈
∴取 ＝ ，且 ＝﹣4k+1，k Z；
φ ω ∈
∴f（x）＝2sin（ x+ ）的最小正周期为T＝ ；
ω
又f（x）在 上单调，
∴ ﹣ ≤ ，即 ≤ ，
解得 ≤6；
综上， 的最大值为5．
ω
故答案为：5．
ω
五．正弦函数的奇偶性和对称性（共7小题）
21．（2023•大通县一模）下列坐标所表示的点是函数 图象的对称中心的是
学科网（北京）股份有限公司 20（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：令2x﹣ ＝k ，k Z，则x＝ + ，k Z，
π ∈ ∈
当k＝0时，x＝ ，所以该函数的一个对称中心为（ ，0）．
故选：A．
22．（2023•浉河区校级三模）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（ab≠0）的图象关于直线 对称，则
下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2
π
C．f（x）在区间 上单调递增
D．方程f（x）＝2b在区间[0，2 ]上有2个实根
π
【解答】解：∵函数f（x）＝asin2x+bcos2x（ab≠0）的图象关于直线 对称，
∴f（0）＝f（ ），即b＝asin +bcos ，所以a＝ b，
所以f（x）＝ bsin2x+bcos2x＝2bsin（2x+ ），
此时f（ ）＝2bsin（2× + ）＝2b，
故函数图象关于x＝ 对称，
f（x﹣ ）＝2bsin（2x﹣2× + ）＝2bsin（2x﹣ ），
令g（x）＝f（x﹣ ）＝2bsin（2x﹣ ），
则g（ ）＝2bsin（ ﹣ ）＝0，而g（﹣ ）＝2bsin（﹣2× ）＝﹣ b≠0，
故g（x）＝f（x﹣ ）＝2bsin（2x﹣ ）不是偶函数，故A错误；
f（x）的最小正周期为 ＝ ，故B错误；
π
因为b的正负无法确定，故f（x）在区间 上的单调性无法确定，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司 21令f（x）＝2b，x [0，2 ]，因2b≠0，
∈ π
则sin（2x+ ）＝1，
因为x [0，2 ]，所以2x+ [ ， ]，
∈ π ∈
所以2x+ ＝ 或2x+ ＝ ，
解得x＝ 或x＝ ，故D正确．
故选：D．
23．（2023•秦都区校级模拟）已知函数f（x）＝sin x+cos x（ ＞0）图象两个相邻的对称中心的间距为
ω ω ω
，则下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）＝sin x+cos x＝ sin（ ），
ω ω
因为函数f（x）图象两个相邻的对称中心的间距为 ，
所以T＝ ，所以 ，又 ＞0，所以 ＝4，
ω ω
所以 ，
对于A， ，函数 为奇函数，故A错误；
对于B， ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以函数 不为偶函数，故B错误；
对于C， ，所以函数 为偶函数，故C正确；
对于D， ，
所以当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 22当 时， ，
所以函数 不为偶函数，故D错误．
故选：C．
24．（多选）（2023•惠州模拟）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图像的一个对称中心是
B．函数f（x）在区间 上单调递减
C．直线 是函数f（x）图像的一条对称轴
D．将函数f（x）的图像沿x轴向左平移 个单位长度，将得到函数 的图像
【解答】解：f（x）的对称中心即为f（x）的零点，则 ，A正确；
，则 ，y＝sinx在 单调递增，B不正确；
f（x）在对称轴处取到最值，则 ，C正确；
将函数f（x）的图像沿x轴向左平移 个单位长度，
将得到函数 ，D不正确．
故选：AC．
25．（多选）（2023•东方模拟）已知函数f（x）＝|2sin（2x﹣ ）|，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（ ，0）对称
B．函数f（x）图象的一条对称轴是x＝
C．若x [ ， ]，则函数f（x）的最小值为
∈
D．若f（x ）f（x ）＝4，x ≠x ，则|x ﹣x |的最小值为
1 2 1 2 1 2
【解答】解：因为y＝|sinx|≥0，该函数不是中心对称图象，A错误；
由于f（ ）＝|2sin（ ﹣2x﹣ ）|＝2|sin（2x﹣ ）|＝f（x）|，故x＝ 是该函数的对称轴，
学科网（北京）股份有限公司 23B正确；
由x [ ， ]得2x﹣ [ ]，
∈ ∈
所以 sin（2x﹣ ）≤1，
故f（x）＝|sin（2x﹣ ）|的最小值 ，C正确；
结合正弦函数的性质可知y＝|sinx|的最小正周期T＝ ，
π
故f（x）＝|2sin（2x﹣ ）|的最小正周期T＝ ，最大值为2，最小值为0，
若f（x ）f（x ）＝4，x ≠x ，则|x ﹣x |的最小值为， ，D正确．
1 2 1 2 1 2
故选：BCD．
26．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ x+ ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的
图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
ω φ
A．函数f（x）的最小正周期是 2
π
B．函数f（x）的图象关于点 成中心对称
C．函数f（x）在 单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移 后关于原点成中心对称
【解答】解：由圆的性质知，C＝ ＝ ，
则 ＝ ﹣（﹣ ）＝ ，即周期T＝ ，
π
则 ＝ ，得 ＝2，故A错误，
π ω
∵函数关于点（ ，0），对称，
∴函数的对称中心为（ + ，0），则当k＝2时，对称中心为（ ，0），故B正确，
学科网（北京）股份有限公司 24函数的一条对称轴为x＝ ＝ ，函数的相邻最小值的对称轴x＝ + ＝ ，前一条对称
轴为x＝ ﹣ ＝﹣ ，
则函数的单调递增区间为[﹣ +k ， +k ]，k Z，
π π ∈
当k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣ ， ]，k Z，此时f （x）在 单调递增错误
故C错误，
∈
∵f（x）的一条对称轴为x＝﹣ ，
∴函数f （x）的图象向右平移 ，此时函数关于y轴对称，故D错误，
故选：B．
27．（多选）（2023•平江县校级模拟）设函数 ，若f（x）在[0， ]上
有且仅有3条对称轴，则（ ）
π
A．f（x）在[0， ]上有且仅有2个最大值点
B．f（x）在[0， ]上有且仅有2个零点
π
π
C． 的取值范围是
ω
D．f（x）在 上单调递增
【解答】解：∵x [0， ]， ＞0，
∈ π ω
∴0≤ x≤ ，∴ ，
ω πω
令 ，∴ ，
画出y＝sint图象进行分析：
对于A选项：由图象可知：f（x）在[0， ]上有且仅有x ，x 对应的这2个最大值点，故A选项正确；
1 3
π
对于B选项：当 ，即 时，f（x）在[0， ]有且仅有2个零点；
π
学科网（北京）股份有限公司 25当 ，即 时，f（x）在[0， ]有且仅有3个零点，故B选项不正确；
对于C选项：∵f（x）在[0， ]有且仅有3条对称轴，
π
π
∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 ，故C选项正确；
ω
对于D选项：∵ ， ＞0，∴ ，∴ ，
ω
由C选项可知， ，∴ ，
即f（x）在 上单调递增，故D选项正确．
故选：ACD．
六．余弦函数的图象（共5小题）
28．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝cos（ x﹣ ）（ ＞0），若f（x）在 上没有
零点，则 的取值范围是（ ）
ω ω
ω
A． B．
C． D．（0，1]
【解答】解：∵函数f（x）＝cos（ x﹣ ）（ ＞0），若函数f（x）在（ ， ）上没有零点，
ω ω
x﹣ （ ， ），
ω ∈
∴ ≥ 2k ﹣ 且 ≤ 2k + ， 或 ≥ 2k + 且
π π π
≤2k + ，
π
∴4k+ ≤ ≤ + 或4k+ ≤ ≤ + k Z．
ω ω ∈
令k＝0，由4k+ ≤ ≤ + ，k Z，可得 ≤ ≤ ．
ω ∈ ω
令k＝﹣1时，由4k+ ≤ ≤ + ，k Z，可得﹣ ≤ ≤ ．
ω ∈ ω
再根据 ＞0，可得0＜ ≤ ．
ω ω
学科网（北京）股份有限公司 26则 的取值范围是（0， ]∪[ ， ]，
故选：A．
ω
29．（2023•安阳模拟）已知函数 在[0， ]上有且仅有2个
零点，则 的取值范围是（ ）
π
ω
A． B． C． D．
【解答】解：
＝ ，
当x [0， ]时， ，
∵f（x）在[0， ]内有且仅有2个零点，
∈ π
π
∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
故选：A．
ω
30．（2023•一模拟）已知函数 ，（ ＞0）的图象在区间（0，2 ）内至多存
在3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
ω π
ω
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数 （ ＞0）的图象在区间（0，2 ）内至多存在3条对
称轴，
ω π
∴ x （﹣ ，2 ﹣ ），∴2 ﹣ ≤3 ，∴ ≤ ．
故选：A．
ω ∈ ωπ ωπ π ω
31．（多选）（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cos（ x+ ）（0＜ ＜10，0＜ ＜ ）图象的一个对称
ω φ ω φ π
中心是 ，点 在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线 是f（x）图象的一条对称轴
学科网（北京）股份有限公司 27C．f（x）在 上单调递减
D． 是奇函数
【解答】解：因为点 在f（x）的图象上，
所以 ．又0＜ ＜ ，
φ π
所以 ，
因为f（x）图象的一个对称中心是 ，
所以 ，则 ＝2+8k，k Z，
ω ∈
又0＜ ＜10，所以 ＝2，则 ，A正确；
ω ω
，则直线 不是f（x）图象的一条对称轴，B不正确；
当 时， ，单调递减，C正确；
，是奇函数，D正确．
故选：ACD．
32．（2023•泸州模拟）写出使“函数f（x）＝cos（2x+ ）为奇函数”的 的一个取值 ．
φ φ
【解答】解：因为函数f（x）＝cos（2x+ ）为奇函数，所以 ．
φ
即 的一个取值为 ．
φ
故答案为： （答案不唯一）．
七．余弦函数的单调性（共2小题）
33．（2023•全国一模）已知函数 在区间 上单调递减，则
实数 的取值范围为（ ）
ω
A． B．（1，2] C．（0，1] D．
【解答】解：由题意有T＝ ≥ ，可得0＜ ≤2，
π ω
学科网（北京）股份有限公司 28又由 ＜ + ≤ ，
必有 + ≤ ，
π
可得0＜ ≤ ，即实数 的取值范围为（0， ]．
故选：A．
ω ω
34．（2023•白山三模）已知函数 ，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
【解答】解：∵x [﹣2，0]，
∈
∴2x﹣ [﹣4﹣ ，﹣ ]，
∈
∵﹣ ＜﹣4﹣ ＜﹣ ＜﹣ ＜0，
π
∴函数 在[﹣2，0]上先减后增，
故选：D．
八．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
ω φ
35．（2023•石景山区一模）若函数 的部分图
象如图所示，则 的值是（ ）
φ
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）的部分图象，
ω φ ω φ
可得f（0）＝﹣f（ ），即有f（x）的图象关于点（ ，0）对称，
由图象可得f（x）的最小正周期T＝2（ + ）＝ ，即有 ＝ ＝2，①
π ω
又f（﹣ ）＝Asin（﹣ + ）＝0，
φ
学科网（北京）股份有限公司 29由图象可得﹣ + ＝0，②
φ
由①②解得 ＝ ， ＝2，
故选：A．
φ ω
九．同角三角函数间的基本关系（共4小题）
36．（2023•攀枝花一模）若tan ＝2，则7cos2 ﹣2sin2 ＝（ ）
θ θ θ
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：若tan ＝2，
θ
则7cos2 ﹣2sin2 ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ．
故选：A．
θ θ
37．（2023•山西模拟）已知tan ＝﹣7，则 ＝（ ）
α
A． B． C． D．
【解答】解：因为tan ＝﹣7，
α
所以 ，
，
故 ．
故选：A．
38．（2023•阳泉二模）已知 ，0＜ ＜ ，则sin ﹣cos ＝（ ）
α π α α
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ．
因为0＜ ＜ ，所以cos ＜0＜sin ，所以sin ﹣cos ＞0，
α π α α α α
学科网（北京）股份有限公司 30因为 ，
所以 ．
故选：B．
39．（2023•河南模拟）已知tan ＝﹣3，则sin2 ﹣cos2 ＝（ ）
θ θ θ
A． B． C． D．
【解答】解：因为tan ＝﹣3，
θ
所以
＝ ．
故选：D．
一十．两角和与差的三角函数（共4小题）
40．（2023•射洪市校级模拟）若 为锐角，且 ，则 ＝（ ）
α
A． B． C． D．
【解答】解：因为 为锐角，所以 ，所以 ，
α
又因为 ，所以 ，
所 以 ＝
．
故选：D．
41．（2023•广西模拟）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所 以 ＝ ＝
学科网（北京）股份有限公司 31＝ ，
＝
＝ ，
所 以 ＝ ＝ ＝
＝ ．
故选：D．
42．（2023•淮安模拟）已知cos（40°﹣ ）+cos（40°+ ）+cos（80°﹣ ）＝0，则tan ＝（ ）
θ θ θ θ
A． B． C． D．
【解答】解：因为cos（40°﹣ ）+cos（40°+ ）+cos（80°﹣ ）＝0，
所以cos40°cos +sin40°sin +cos40°cos ﹣sin40°sin +cos80°cos +sin80°sin ＝0，
θ θ θ
所以2cos40°cos +cos80°cos +sin80°sin ＝0，
θ θ θ θ θ θ
所以2cos40°+cos80°+sin80°tan ＝0，
θ θ θ
θ
所以
＝
＝ ．
故选：A．
43．（2023•乌鲁木齐模拟）若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝
．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 32一十一．二倍角的三角函数（共6小题）
44．（2023•九江模拟）已知sin +2cos2 ，则sin2 ＝（ ）
θ θ
A． B． C． D．
【解答】解：因为sin +2cos2 ，
θ
所以sin +cos ＝ ，
θ θ
两边平方得1+2sin cos ＝
θ θ
则sin2 ＝﹣ ．
故选：A．
θ
45．（2023•乐山模拟）已知 ，则sin ＝（ ）
α
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，可得cos2 +1＝2sin2 ，
∴2cos2 ＝4sin cos ，
α α
∴cos ＝2sin ，
α α α
又cos2 +sin2 ＝5sin2 ＝1，
α α
α α α
∴sin ＝ ．
故选：C．
α
46．（2023•武汉模拟）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故选：D．
47．（2023•惠州一模）若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 33【解答】解：因为 ，所以 ，即3sin ﹣sin2 ＝cos2 ，
α α α
所以3sin ＝sin2 +cos2 ＝1，即 ，
α α α
所以 ．
故选：D．
48．（2023•怀仁市校级二模）已知 ，且 ，则tan ＝（ ）
θ
A． B． C． D． 或
【解答】解：∵ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴tan ＞1，
故 θ ．
故选：B．
49．（2023•郑州模拟）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：cos2（x﹣ ）+cos2（x+ ）
＝（cosxcos +sinxsin ）2+（cosxcos ﹣sinxsin ）2
＝（ cosx+ sinx）2+（ cosx﹣ sinx）2
＝ cos2x+ sinxcosx+ sin2x+ cos2x﹣ sinxcosx+ sin2x
＝ cos2x+ sin2x
＝ +cos2x
＝ +
学科网（北京）股份有限公司 34＝1+ ×（﹣ ）
＝ ．
故选：B．
一十二．半角的三角函数（共2小题）
50．（2023•江西模拟）若 ， 是第三象限的角，则 ＝（ ）
α
A．2 B． C．﹣2 D．
【解答】解：由 ， 是第三象限的角，
α
∴可得 . ，
∴
故选：C．
51．（2023•宝鸡三模）若 （0， ），且sin +2cos ＝2，则tan 等于（ ）
α∈ π α α
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：∵ （0， ），
α∈ π
∴ （0， ），
∈
设tan ＝x，x＞0，
∵sin ＝ ＝ ，cos ＝ ＝ ，
α α
∴sin +2cos ＝ +2• ＝ ＝2，
即x+1﹣x2＝1+x2，
α α
即x（2x﹣1）＝0，
学科网（北京）股份有限公司 35解得x＝
故选：C．
一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题）
52．（2023•安阳三模）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
又 ，解得tan ＝7，
所 以
α
故选：B．
53．（2023•湖南一模）已知 ＝2，则tan ＝（ ）
θ
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：∵ ＝ ＝tan ＝2，
∴tan ＝ ＝ ＝﹣ ，
故选：C．
θ
54．（2023•兴庆区校级模拟）若sin（ ﹣ ）＝ ，cos（ +2 ）＝（ ）
α α
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：∵sin（ ﹣ ）＝ ，
α
∴cos[ ﹣（ ﹣ ）]＝cos（ + ）＝ ，
α α
学科网（北京）股份有限公司 36∴cos（ +2 ）＝2cos2（ + ）﹣1＝ ﹣1＝﹣ ，
故选：D．
α α
55．（2023•迎江区校级模拟）已知 ，则 ＝ 2 ．
【解答】解：已知 ，所以sin ＝2cos ，tan ＝2，
θ θ θ
．
故答案为：2．
56．（2023•万州区校级模拟）在△ABC中，若 + ＝3，则sinA的最大值为 ．
【解答】解：在△ABC中， + ＝3，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
根据正弦定理得： ．
∴a2＝3bccosA．
又根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣2bccosA＝3bccosA．
∴ ．
当且仅当b＝c时等号成立，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：
一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题）
57．（2023•南江县校级模拟）已知函数 在[0， ]上恰有3
π
学科网（北京）股份有限公司 37个零点，则 的取值范围是（ ）
ω
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得 ，
因为x [0， ]，所以 ，
∈ π
则 ，解得 ．
故选：A．
58．（2023•安徽二模）已知函数f（x）＝sin2 x+sin xcos x﹣1（ ＞0）在 上恰有4个不同的
零点，则实数 的取值范围是（ ）
ω ω ω ω
ω
A． B． C． D．
【解答】解：f（x）＝sin2 x+sin xcos x﹣1＝ ＝
，
ω ω ω
函数f（x）在 上恰有4个不同的零点，
则f（x）＝0，即 在 上恰有4个不同的解，
∵ ，
∴ ，
∴由正弦函数图象可知， ，解得3 ，
故实数 的取值范围是（3， ]．
故选：D．
ω
59．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝ ，集合{x （0， ）|f（x）＝1}
中恰有3个元素，则实数 的取值范围是（ ）
∈ π
ω
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（x）＝ sin x﹣cos x（ ＞0），
ω ω ω
∴ ，
又集合A＝{x （0， ）|f（x）＝1}含有3个元素，
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 38∴方程f（x）＝1，在（0， ）上只有三解，
π
∴ ，在（0， ）上只有三解，
π
∴ 或 ，
∴ 或 ，
又 ，在（0， ）上只有三解，
π
∴ 、 、 ，其他值均不在（0， ）内，
π
∴ ，解得 ，
故选：D．
60．（2023•天津模拟）将函数 的图象向右平移 个单位，得到g（x）的
图象，再将g（x）图象上的所有点的横坐标变成原来的 ，得到h（x）的图象，则下列说法正确的个
数是（ ）
①函数h（x）的最小正周期为2 ；
π
② 是函数h（x）图象的一个对称中心；
③函数h（x）图象的一个对称轴方程为 ；
④函数h（x）在区间 上单调递增
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：函数 ＝sin2x+ ＝2sin（2x+ ）的图象向右平移
个单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣ ）的图象，
再将函数g（x）的图象上的所有点的横坐标变成原来的 ，得到的函数关系式h（x）＝2sin（4x﹣
）；
学科网（北京）股份有限公司 39对于①函数h（x）的最小正周期为 ，故①错误；
对于②当x＝ 时，h（ ）＝2sin（ ）＝0，故 是函数h（x）图象的一个对称中
心，故②正确；
对于③令4x﹣ （k Z），整理得x＝ （k Z），函数h（x）图象的对称轴方程
∈ ∈
不为 ，故③错误；
对 于 ④ 由 于 ， 所 以 ， 故 函 数 h （ x ） 在 区 间
上单调递增，故④正确．
故选：B．
1.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
2.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan
T tan(α＋β)＝
(α＋β)
正切 α·tan β≠1
两角差的 α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan
T tan(α－β)＝
(α－β)
正切 β≠－1
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S sin 2α＝2sin_ α cos _α
2α
C cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α
2α
T tan 2α＝
2α
4.余弦的二倍角公式的变形
5．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_ α ±cos _ α ) 2 .
6.半角公式
学科网（北京）股份有限公司 40(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
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