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专题四 《函数》讲义
5.5 单调性
知识梳理 . 单调性
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x ，x ，当xf(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
1 2
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
3.判断函数单调性常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性.
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及
f(x)±g(x)增减性质进行判断；
②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的
单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.
4．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M.
0 0
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
题型一 . 常见函数的单调性（单调区间）
1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取
值范围是（ ）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
3．已知函数f（x）
=
{x2+(4a−3)x+3a，x＜0（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，
log (x+1)+2，x≥0
a
则a的取值范围是（ ）
3 3 2 3 2 3
A．（0， ] B．[ ，1） C．[ ， ] D．（ ， ]
4 4 3 4 3 4
{(a−2)x，x≥2
4 ． 已 知 函 数 f （ x ） ， 满 足 对 任 意 的 实 数 x ≠ x ， 都 有
= 1 x 1 2
( ) −1，x＜2
2
f(x
1
)−f(x
2
)
＜
0成立，则实数a的取值范围为（ ）
x −x
1 2
13 13 13
A．（1，+∞） B．(−∞， ] C．(−∞， ) D．( ，+∞)
8 8 8
题型二 . 利用函数单调性求值域、最值
1．若函数 f（x）
{(1−2a)x+3a，x＜1的值域为
R，则 a 的取值范围是
=
2x−1，x≥1
（ ）
1 1 1 1
A．[0， ） B．（ ，1] C．[﹣1， ） D．（0， ）
2 2 2 2
1
2．已知函数 f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+ ）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是
4
（ ）
A．（1，4） B．（1，4）∪{0} C．（0，1]∪[4，+∞） D．[0，
1]∪[4，+∞）
{x2−2ax+12，x≤1
3．已知函数f（x） ，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的取
= 4
x+ +a，x＞1
x
值范围是 ．
4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（ ）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．R
1
5．已知函数f（x）＝lnx− ax2+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域
2
相同，则a的取值范围为（ ）
4 4
A．（0，1] B．（1，+∞） C．(0， ] D．[ ，+∞）
3 3
题型三 . 利用函数单调性比较大小
1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x ＞x ＞1时，[f（x ）﹣f（x ）]
2 1 2 1
1
（x ﹣x ）＜0恒成立，设a＝f（− ），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系
2 1
2
为（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（
log 13），b＝f（2﹣1.2），c＝f（ 1 ），则a，b，c的大小关系为（ ）
2 2
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
3．（2013·天津）设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝
0，g（b）＝0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a）
C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0
题型四 . 利用 ( 抽象 ) 函数单调性解不等式
1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取
值范围是 ．
2．已知函数 {−x2+2x−1，x≤1，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围
f(x)=
|x−1|，x＞1
是（ ）
A．（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
1
3．（2012·全国）当0＜x≤ 时，不等式4x＜log x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
a
24．（2017·全国3）设函数f（x） {x+1，x≤0，则满足f（x）+f（x 1）＞1的x的取
= −
2x，x＞0 2
值范围是 ．
