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专题四 《函数》讲义
5.4对数函数
知识梳理 . 对数函数
1．对数
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记
概念 作x＝log N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对
a a
数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝log N(a>0，且a≠1)
a
性质
log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1)
a a a
log (M·N)＝log M ＋ log N
a a a
运算法则 log＝log M － log N a>0，且a≠1，M>0，N>0
a a a
log Mn＝nlog M(n∈R)
a a
换底公式 log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
2．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象与性质
a
底数 a >1 0< a <1
图
象
定义域： (0 ， ＋ ∞ )
值域：R
性 图象过定点 (1 ， 0 ) ，即恒有log 1＝0
a
质 当x>1时，恒有y>0； 当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
题型一 . 指、对运算
1．已知函数f（x） = {log 2 x，0＜x≤1，则f（2019）＝ ﹣ 1
f(x−1)，x＞1 2
【解答】解：函数f（x）
=
{log
2
x，0＜x≤1，
f(x−1)，x＞1
2019 2017 2015 1 1
则f（ ）＝f（ ）＝f（ ）＝…＝f（ ）＝log =−1．
2
2 2 2 2 2故答案为：﹣1．
2．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2
+log 64
13）＝ ．
2 3
【解答】解：∵函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；
当x＜4时f（x）＝f（x+1），
又∵2
+log
3 （0，1），
1
2
∈
∴f（2+log 3）＝f[4+（2+log 3）]＝f（2+log 3）＝f（ 64） log 64 64，
1 1 1 log =2 2 3 =
2 2 2 2 3 3
64
故答案为：
3
5
3．已知a＞b＞1，若log b+log a= ，ab=ba，则a，b的值分别为（ ）
a b
2
A．a＝5，b＝2 B．a＝4，b＝2 C．a＝8，b＝4 D．a=2，b=√2
5
【解答】解：由log b+log a= ，得log a=2⇒b2=a，
a b 2 b
从而b2b＝ba a＝2b，则b＝2，a＝4．
故选：B． ⇒
4．设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则（ ）
0.2 2
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
lg0.3 lg0.3
【解答】解：∵a＝log 0.3= ，b＝log 0.3= ，
0.2 2
−lg5 lg2
5
lg0.3lg
∴ lg0.3 lg0.3 lg0.3(lg5−lg2) 2，
a+b= − = =
lg2 lg5 lg2lg5 lg2lg5
10
lg0.3⋅lg
lg0.3 lg0.3 3 ，
ab=− ⋅ =
lg2 lg5 lg2lg5
10 5 lg0.3
∵lg ＞lg ， ＜0，
3 2 lg2lg5
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．题型二 . 比较大小
1．（2017秋•信丰县校级月考）设a＝log 2，b＝ln2，c 1，则a、b、c三个数的大
3 =52
小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝1，ln3＞1，
ln2
∴log 2= ＜ln2，
3
ln3
∴a＜b＜1，
∵c 1 50＝1，
=52＞
∴c＞b＞a，
故选：D．
2．已知a＝log 6，b＝log 10，c＝log 14，则a，b，c的大小关系是（ ）
3 5 7
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解答】解：a＝log 6＝1+log 2，b＝log 10＝1+log 2，c＝log 14＝1+log 2，
3 3 5 5 7 7
而log 2＞log 2＞log 2，
3 5 7
∴c＜b＜a．
故选：B．
3．（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alog c＜blog c D．log c＜log c
b a a b
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）＝xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）＝xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；
故B错误；
log c＜0，且log c＜0，log b＜1，即log b log c 1，即log c＞log c．故D错误；
a b a c = a ＜ a b
log a log c
c b
0＜﹣log c＜﹣log c，故﹣blog c＜﹣alog c，即blog c＞alog c，即alog c＜blog c，故C
a b a b a b b a
正确；
故选：C．
4．（2020•新课标Ⅲ）已知 55＜84，134＜85．设 a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则
5 8 13（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
3 3
【解答】解：由 log 5= log 8，
4 5 4 8
3 3
∵ ，而
log 54＞log 3 log 84＜log 5
5 5 8 8
∴log 3＜log 5，
5 8
即a＜b；
∵55＜84，∴5＜4log 8，∴log 8＞1.25，∴b＝log 5＜0.8；
5 5 8
∵134＜85，∴4＜5log 8，∴c＝log 8＞0.8，∴c＞b，
13 13
综上，c＞b＞a．
故选：A．
ln2 ln3 ln5
5．若a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系为（ ）
2 3 5
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c
lnx 1−lnx
【解答】解：令f(x)= ，f '(x)= ，
x x2
∴x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（e，+∞）上单调递减，
ln2 ln4 ln3 ln5
又a= = =f（4），b= =f(3)，c= =f(5)，
2 4 3 5
∴f（3）＞f（4）＞f（5），
∴b＞a＞c．
故选：D．
6．（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【解答】解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
lgk lgk lgk
则x= ，y= ，z= ．
lg2 lg3 lg5
lgk lgk lgk
∴3y = ，2x = ，5z = ．
lg√33 lg√2 lg√55
∵√33=√6 9＞√6 8=√2，√2=1√032＞ 1√025=√55．∴ lg 0．
lg√33＞ √2＞lg√55＞
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
lgk lgk lgk
则x= ，y= ，z= ．
lg2 lg3 lg5
2x 2 lg3 lg9
∴ = × = ＞1，可得2x＞3y，
3 y 3 lg2 lg8
5z 5 lg2 lg25 1．可得5z＞2x．
= × = ＞
2x 2 lg5 lg52
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．
题型三 . 对数函数的图像与性质
9
1．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是 （ ，
8
+ ∞） ．
【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，
9
则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a＞ ，
8
9
故a的取值范围是（ ，+∞）．
8
9
故答案为：（ ，+∞）．
8
2．（2014•西城区模拟）已知函数f（x）＝log （2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的图象恒过
m
点P，且点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（ ）
1 1 1 1
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
4 4 2 2
【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，y＝f（1）＝log （2﹣1）+1＝1，
m
∴函数f（x）的图象恒过点P（1，1）；
又点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，
∴a+b＝1，a+b 2 1
∴ab≤( ) = ，
2 4
1
当且仅当a＝b= 时，“＝”成立．
2
故选：A．
3．（2020春•吉林期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，
函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），
故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X
轴的公共点是（0，0），
考察四个选项中的图象只有A选项符合题意
故选：A．
4．（2008•山东）已知函数f（x）＝log （2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则
a
a，b满足的关系是（ ）
A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1
C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1
【解答】解：∵函数f（x）＝log （2x+b﹣1）是增函数，
a令t＝2x+b﹣1，必有t＝2x+b﹣1＞0，
t＝2x+b﹣1为增函数．
1
∴a＞1，∴0＜ ＜1，
a
∵当x＝0时，f（0）＝log b＜0，
a
∴0＜b＜1．
1
又∵f（0）＝log b＞﹣1＝log ，
a a
a
1
∴b＞ ，
a
∴0＜a﹣1＜b＜1．
故选：A．
ex−e−x
5．（2020秋•西安月考）已知函数f（x）＝lg ，则f（x）是（ ）
2
A．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
ex−e−x ex−e−x
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lg ，有 ＞0，即ex﹣e﹣x＞0，解
2 2
可得x＞0，
即函数的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，是非奇非偶函数，
ex−e−x ex+e−x ex−e−x
设t= ，其导数t′= ＞0，则t= 在区间（0，+∞）上为增函数，
2 2 2
则y＝lgt，在（0，+∞）上为增函数，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故选：A．
题型四 . 复合函数的单调性与值域
1．（2019秋•泸州月考）已知函数y＝log （1﹣ax）在（1，2）上是增函数，则a的
a
取值范围是（ ）
1 1
A．（1，2） B．[1，2] C．(0， ) D．(0， ]
2 2
【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴内层函数t＝1﹣ax为减函数，
要使函数y＝log （1﹣ax）在（1，2）上是增函数，
a
{0＜a＜1 1
则 ，解得0＜a≤ ．
1−2a≥0 2
1
∴a的取值范围是（0， ]．
2
故选：D．
2．（2018秋•和平区校级期中）若函数y＝log （x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上为减函数，
a
则a的取值范围是 [ 2 ， 3 ） ．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+2（a＞0，且a≠1），
①当a＞1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
{ a
∴ ≥1 ∴2≤a＜3；
2
12−a+2＞0
②当0＜a＜1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，此时不成立．
综上所述：2≤a＜3．
故答案为：[2，3）．
3．（2017秋•寻乌县校级期中）已知函数f（x）＝log （ax2﹣4x+a）（a R），若f（x）
4
的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） ∈
A．[0，2] B．（2，+∞） C．（0，2] D．（﹣2，2）
【解答】解：函数f（x）＝log （ax2﹣4x+a）（a R），
4
f（x）的值域为R， ∈
只需保证函数y＝ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数．
当a＝0时，函数y值域能取到大于等于0的数，
当a≠0时，要使函数y值域能取到大于等于0的数，
{ a＞0
则需满足 ，解得：0＜a≤2．
4ac−b2
≤0
4a
综上所得：实数a的取值范围是[0，2]．
故选：A．
4．（2016春•大庆校级月考）设a＞0，a≠1，函数f（x）＝log （x2﹣2x+3）有最小值，
a
则不等式log （x﹣1）＜0的解集（ ）
aA．（﹣∞，2） B．（1，2）
C．（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）
【解答】解：当a＞0，a≠1时，函数f（x）＝log （x2﹣2x+3）有最小值，
a
∴a＞1，
∵不等式log （x﹣1）＜0，
a
∴0＜x﹣1＜1，
解得1＜x＜2．
∴不等式log （x﹣1）＜0的解集为（1，2）．
a
故选：B．
5．（2019•陆良县一模）已知函数f（x）＝ln（|x|+1） ，则使得f（x）＞f（2x﹣
+√x2+1
1）的x的取值范围是（ ）
1 1
A．( ，1) B．(−∞， )∪(1，+∞)
3 3
1
C．（1，+∞） D．(−∞， )
3
【解答】解：∵函数f（x）＝ln（|x|+1） 为定义域R上的偶函数，
+√x2+1
且在x≥0时，函数单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
两边平方得x2＞（2x﹣1）2，
即3x2﹣4x+1＜0，
1
解得 ＜x＜1；
3
1
∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（ ，1）．
3
故选：A．
题型五 . 等高线
{
|lgx|(0＜x≤10)
1．已知函数f（x） ，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）
= 1
− x+6(x＞10)
2＝f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
1
不妨设a＜b＜c，则﹣lga＝lgb=− c+6 （0，1），
2
∈
1
ab＝1，0＜− c+6＜1，则abc＝c （10，12），
2
∈
故选：C．
2．已知函数 {−x2−2x，x≤0，若关于x的方程f（x）＝a有四个根x ，x ，x ，
f(x)= 1 2 3
|lgx|，x＞0
81
x ，则这四个根之和x +x +x +x 的取值范围是 (0， ) ．
4 1 2 3 4
10
【 解 答 】 解 ： 作 函 数 {−x2−2x，x≤0的 图 象 如 下 ，
f(x)=
|lgx|，x＞0
，
结合图象可知，
当0＜a＜1时，方程有四个不同的解，
如图中的四个交点，
故x +x ＝﹣2，x x ＝1且1＜x ＜10；
1 2 3 4 4
1
故2＜x +x ＜10+ ，
3 4
101
故0＜x +x +x +x ＜8+ ，
1 2 3 4
10
81
即x +x +x +x 的取值范围是(0， )，
1 2 3 4
10
81
故答案为：(0， )．
10
题型六 . 反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝log x，若f（x）的反函数图象经过点（1，
a
2），则a＝ 2 ．
【解答】解：∵常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝log x，f（x）的反函数的图象经过点
a
（1，2），
∴函数f（x）＝log x的图象经过点（2，1），
a
∴log 2＝1，
a
解得a＝2．
故答案为：2．
1
2．设f(x)=log ( +1)是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝
2 x+a
x对称，则g（x）的值域为（ ）
1 1 1 1
A．(−∞，− )∪( ，+∞) B．(− ， )
2 2 2 2
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
1
【解答】解：因为f(x)=log ( +1)，
2 x+a
所以f（x）的定义域为{x|x＜﹣a﹣1或x＞﹣a}，
因为f（x）是奇函数，
1
所以﹣a﹣1＝a，解得a=− ，
2
因为函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，
所以g（x）与f（x）互为反函数，
1 1
故g（x）的值域为(−∞，− )∪( ，+∞)．
2 2
故选：A．
3．若x 满足2x＝5﹣x，x 满足x+log x＝5，则x +x 等于（ ）
1 2 2 1 2A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意 x +2x1＝5①，x +log x ＝5 ②，所以 5﹣x ＝2x1，故有 5﹣x ＝
1 2 2 2 1 2
log x ．
2 2
故 x 和 x 是直线y＝5﹣x和曲线y＝2x、曲线y＝log x交点的横坐标．
1 2 2
再根据函数y＝2x 和函数y＝log x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
2
故曲线y＝2x 和曲线y＝log x的图象交点关于直线y＝x对称．
2
即点（ x ，5﹣x ）和点（ x ，5﹣x ）构成的线段的中点在直线y＝x上，
1 1 2 2
x +x 5−x +5−x
即 1 2= 1 2，求得x +x ＝5，
1 2
2 2
故选：D．
课后作业 . 基本初等函数
1．已知x＝ln ，y =log ，z＝e﹣2，则（ ）
1
2
π π
A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【解答】解：∵x＝ln ＞1，y =log ＜0，0＜z＝e﹣2＜e0＝1，
1
2
π π
∴y＜z＜x．
故选：C．
2．若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝log （|x|﹣1）的图象可
a
以是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，
故0＜a＜1．函数y＝log （|x|﹣1）是偶函数，定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}，
a
函数y＝log （|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝log x的图象向右平移1个单位得到
a a
的，故选：D．
3．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数
g(x)=(1−4m)√x在[0，+∞）上是增函数，则a＝（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 2
【解答】解：①若a＞1，则函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上单调递增，
1
则由f（2）＝4，得a2＝4，解得a＝2．此时最小值m＝f（﹣1）=2−1= ．
2
②若0＜a＜1，则函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上单调递减，
1 1 1
则由f（﹣1）＝4，得a﹣1＝4，解得a= ．此时最小值m＝f（2）＝（ ）❑ 2= ．
4 4 16
1 1
∴m= 或 ．
2 16
∵函数g(x)=(1−4m)√x在[0，+∞）上是增函数，
1
∴1﹣4m＞0，解得m＜ ．
4
1 1
综上：m= ，此时a= ．
16 4
故选：A．
4．已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log 3），b
0.5
＝f（log 5），c＝f（2+m），则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）＝f（﹣x）在R上恒成立，∴m＝0，
∴当x≥0时，易得f（x）＝2|x|﹣1为增函数，
∴a＝f（log 3）＝f（log 3）
0.5 2
∵log 3＜2＜log 5，∴a＜c＜b，
2 2
故选：B．
5．已知函数 f（x）＝|lgx|，若 0＜a＜b 且 f（a）＝f（b），则 a+2b 的取值范围为
（ 3 ， + ∞） ．
【解答】解：画出y＝|lgx|的图象如图：
∵0＜a＜b，且f（a）＝f（b），
∴|lga|＝|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga＝lgb
即ab＝1
2
∴y＝a+2b＝a+ ，a （0，1）
a
∈
2
∵y＝a+ 在（0，1）上为减函数，
a
∴y＞1+2＝3
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）
故答案为：（3，+∞）
6．已知函数f（x）＝log （x+1），g（x）＝log （1﹣x）（a＞0，a≠1），则（ ）
a a
A．函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）
B．函数f（x）+g（x）的图象关于y轴对称
C．函数f（x）+g（x）在定义域上有最小值0
D．函数f（x）﹣g（x）在区间（0，1）上是减函数
【解答】解：f（x）+g（x）＝log （x+1）+log （1﹣x）
a a
{x+1＞0
所以 ，解得﹣1＜x＜1，
1−x＞0
函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1），故A正确，
f（﹣x）+g（﹣x）＝log （﹣x+1）+log （1+x），
a a
所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
所以函数f（x）+g（x） 是偶函数，图象关于y轴对称，故B正确，
f（x）+g（x）＝log （x+1）+log （1﹣x）＝log （x+1）（1﹣x）＝log （﹣x2+1）
a a a a
令t＝﹣x2+1，则y＝log t，
a
在x （﹣1，0）上，t＝﹣x2+1单调递增，
在x∈（0，1）上，t＝﹣x2+1单调递减，
当a∈＞1时，y＝log
a
t单调递增，所以在x （﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递增，
在x （0∈，1）上，f（x）+g（x）单调递减，
所以∈函数f（x）+g（x）没有最小值，
当0＜a＜1时，y＝log t单调递减，
a
所以在x （﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递减，
在x （0∈，1）上，f（x）+g（x）单调递增，
所以∈函数f（x）+g（x）有最小值为f（0）+g（0）＝0，故C错．
x+1 2
f（x）﹣g（x）＝log （x+1）﹣log （1﹣x）＝log =log （﹣1+ ）
a a a a
1−x 1−x
2
令t＝﹣1+ ，y＝log t
a
1−x
2
在x （﹣1，1）上，t＝﹣1+ 单调递增，
1−x
∈
当a＞1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递增，
当0＜a＜1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递减，故D错．
故选：AB．
