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专题05 椭圆中的离心率问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，且 ，过P
作 的垂线交x轴于点A，若 ，记椭圆的离心率为e，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ， ,所以 ,可得 .
在 中， .由椭圆的定义可得 ，故 ，
所以 ，所以 .故选:A.
2．已知点 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若
的内心是G，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设点G到 各边的距离为 ，由 ，得
，即 ，由椭圆定义知 ， ，
于是 ，所以椭圆E的离心率 .故选：B
3．已知椭圆 的左焦点为 ， 上关于原点对称的两点 、 满足 ，若 的最小值为 ，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆的右焦点为 ，连接 ， ，
因为 ，由椭圆的对称性知，四边形 为矩形，所以 ，
由椭圆的定义知， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
而 ，所以 ，即 ，所以离心率 ．故选：D．
4．已知 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点，且直线 、 的斜率分别为 、
( )，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为 （ ）.
A． B． C． D．【解析】设椭圆方程为 ，点 ，则点 ，显然 ，
由 与 ，相减得 ，
整理得 ，而 ，于是 ，
因为 ，当且仅当 取等号，因此 ，即 ，
椭圆的离心率为 .故选：D
5．已知 是椭圆 ： 的右焦点，点P在椭圆 上，线段 与圆 相
切于点 ，且 ，则椭圆 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆的左焦点为 ，连接 ，设圆心为 ，则
，则圆心坐标为 , ，半径为 ，
由于 , , ， ，故 , ,
线段 与圆 （其中 相切于点 ，
, ,
，则 ， ，故选：D．6．设椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 为
的内心．直线 交 轴于 点， ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设点 位于第一象限，如图所示，
因为 为 的内心，所以 为 的角平分线，
所以 ，因为 ，所以 ，
设 ，则 ，由椭圆的定义可知， ，
可得 ，所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，在 中，由余弦定理可得，
，所以 ，则 ，故选：B.
7．设椭圆 （ ）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足， ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，则 ，所以平行四边形 为矩形，故 ，
设 ， ，则 ，在直角 中， ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，令 ，得 ，又由 ，得 ，
因为对勾函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，故 ，
所以 ，所以椭圆离心率的取值范围是 .故选：B.
8．已知焦点在x轴上的椭圆 的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点
（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解析】椭圆C： 的焦点在x轴上，
设 所在直线方程为 ，其中 为椭圆的半焦距.
则由 得
设 ，则 ，
所以 ，
因为 所在直线方程为 ，所以直线 与 的距离为：
，
设 ，则 ，则
要使得 最大值，则只需 的值最大，即 的值最小即可.
根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.
即当 时 有最大值，也即是 时 最小，
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为函数 在 上，当 时取得最小值，则 .
所以 ，即 ，所以 ，同时除以 可得 ，解得 ,故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．若椭圆 的离心率为 ，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C． D．4
【解析】因为椭圆 的离心率为 ，
当焦点在 轴上时，即 ，得到 ，由 ，解得 ；
当焦点在 轴上时，即 ，得到 ，由 ，解得 .
故选：AD.
10．在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 ， 分
别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据椭圆定义，得 .
∵ ，∴ .∵ ，即 ，
解得： ，∴ .又∵椭圆的离心率 ，∴该椭圆离心率的取值范围是 .
故符合题意的选项有BCD.故选：BCD.
11．设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段 的中点在y轴上，设 ，且 ，e为椭圆的离心率，则下列正确的有（ ）
A．当 时， B．e随着k的增大而增大
C．e可能等于 D．e可能等于
【解析】线段 的中点在y轴上， 是 的中点，故 轴，
， ，则 ， ，
，即 ，整理得到 .
对选项A： 时， ， ，正确；
对选项B： ， ，故e随着k的增大而增大，正确；
对选项C： ，解得 ，不在范围内，错误；
对选项D： ，解得 ，满足 ，正确；
故选：ABD
12．已知直线 与椭圆C ）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ，则 ，
从而 ，故 ，由题意可得 ，
故 ，又因为 ，则 ，从而 ，
因为 ，所以 ，椭圆C的离心率 ，
所以椭圆离心率范围为 ，故 与 满足要求.故选：BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆C的焦点为 ， ，短轴的一个端点为B，且 是一个等边三角形，则椭圆C的离心
率为 .
【解析】因为 ， ，所以依据题意可知 ，从而有 .
14．已知椭圆 ， 是长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交
椭圆于点 ，且 为常数，则椭圆离心率为 .
【解析】由题意设 ，
因为 三点共线，所以 ，得 ，因为 ，所以 ，所以
因为 为常数，所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以离心率
15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，半焦距为 ， 是椭圆上异于左、右顶点
的任意一点，若存在以 为半径的圆内切于 （ 的面积满足 ），则椭圆的
离心率的取值范围是 ．
【解析】
如图， ，因为 的内切圆半径为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，得 ，所以 ，得 ，
因 ，得 ，得 ，因 ，故 ，
16．若椭圆 上存在一点M，使得 （ ， 分别为椭圆的左、右焦点），
则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【解析】方法一：设点M的坐标是 ，则 .∵ ， ，∴ ， .
∵ ，∴ ，即 .
又点M在椭圆上，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，故椭圆的离心率e的取值范围是 .
方法二：设点M的坐标是 ，由方法一可得 消去 ，得 ，
∵ ，∴ ，由②得 ，此式恒成立.
由①得 ，即 ，∴ ，则 .又 ，∴ .
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是 .
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使 ，
∴ ，则 ，（ 最大时，M为短轴端点）∴ ，即 ，又 ，∴ ，
故椭圆的离心率e的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，M为椭圆上任意一点， 的周长为 .
(1)求椭圆方程和椭圆的离心率；
(2)过椭圆的下顶点 及右焦点 作直线与椭圆的另一个交点为 ，求 的面积.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ，所以 ，故 ，
因为M为椭圆 上一点，由椭圆定义可得 ，
因为 的周长为 ，所以 ，所以 ，
故椭圆方程为 ，椭圆 的离心率 ；
（2）由(1)可得 ， ， ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，解得 或 ，所以点 的坐标为 ，
所以 的面积 .
18．已知椭圆 与双曲线 ，有相同的左、右焦点 ，，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ， ，求
的取值范围.
【解析】设 ， ， ，由椭圆的定义可得 ，
由双曲线的定义可得 ，解得 ， ，
由 ，可得 ，即 ，由 ， ，可得 ，
由 ，可得 ，可得 ，即 ，则 ，
设 ，则 ，由于函数 在 上递增，
所以 ，即 的取值范围为 .
19．设 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一点且 与 轴垂直，直
线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)若直线 的斜率为 ，求椭圆 的离心率；
(2)若直线 在 轴上的截距为1，且 ，求椭圆 的方程．
【解析】（1）记 ，则 ，由 ，得 ， ，
如图，因为 ,所以点 在点 的上方，即 ，
则 ，； ，或 （舍去）
（2）
记直线 与 轴的交点为 ，则 ①， 轴，垂足为点 ，
由比例关系可知， ,
将 的坐标代入椭圆方程得 ②
由①②及 得 ，所以椭圆的方程为 ．
20．设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上一点， 轴， 的正
切值为 .
(1)求 的离心率 ；
(2)过点 的直线 与 交于 、 两点，若 面积的最大值为3，求 的方程.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距c，则 ，直线 ： ，
由 得 ，不妨点 在第一象限，则 ，
于是得 ，即 ，则有 ，
又 ，解得 ，所以C的离心率等于 .
（2）由（1）可设椭圆 的方程为 ，依题意，
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得 .设 ， ，则 ， ，
所以 的面积 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以当 时， ，则 在 上递减，
所以 ，所以 的最大值为 ，即 ，
故椭圆 的方程为 .
21．设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直
线 的距离为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)平面上点B满足 ，过 与 平行的直线交 于 两点，若 ，求椭圆 的
方程.
【解析】（1）由题设 及 ，不妨设 ，
所以 ， ，解得 或 （舍去），从而 ，直线 的方程为 ，整理得 ，
原点 到直线 的距离为 ，将 代入整理得 ，
即 ，所以离心率 .
（2）由（1）问可设椭圆方程为 ，则 ，
因为 ，所以 为平行四边形，
所以直线 过 点，则 斜率为 ，则设直线 方程为 ，
联立椭圆方程得 ，显然 ，则 ，
则 ，解得 （负值舍去），
所以 ，所以椭圆方程为 .
22．如图，在平面直角坐标系 中， 、 、 分别为椭圆 的三个顶点，
为其右焦点，直线 与直线 相交于点 .(1)若点 在直线 上，求椭圆 的离心率；
(2)设直线 与椭圆 的另一个交点为 ， 是线段 的中点，椭圆 的离心率为 ，试探究 的值
是否为定值（与 ， 无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知，点 ， ， 的坐标分别为 ( )，( )，( )，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
由 和 ，消除 ，得 ，即为点 的横坐标.
因为点 在直线 上，所以 .
整理得 ，所以 ，所以离心率 .
（2）当椭圆 的离心率为 时， ， ，
所以椭圆 的方程为 ，即 ，直线 的方程为 .
联立 ，消去 ，化简整理，得 ，所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 .
因为点 的坐标为 ，所以 中点 的坐标为 .
又由（1）知点 的横坐标为 ，所以点 的纵坐标为 .
所以 ，
，故 为定值.
