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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
专题 06 函数的应用
一、单选题
1.已知k R，函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx的定义域为R，若函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，
则k的∈取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜﹣2 B．k＜﹣7或k＞﹣2 C．﹣7＜k＜0 D．﹣2＜k＜0
【答案】A
【分析】令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，问题转化为g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，分
别求出K ，K ，求出k的范围即可．
OP OQ
【解答】解：令g（x）＝|x2﹣4|+x2，h（x）＝﹣kx，
画出函数的图象，如图示：
，
∵函数f（x）在区间（0，4）上有两个不同的零点，
∴g（x）与h（x）在（0，4）上有2个交点，
由图可知P（2，4），Q（4，28），
故K ＝2，K ＝7，
OP OQ
故2＜﹣k＜7，故﹣7＜k＜﹣2，
故选：A．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
2.已知f（x）＝ ，则f（x）≥3的解集为（ ）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]，∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣2 ]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2 ]∪[3，+∞）
【答案】C
【分析】利用不等式，通过x的范围结合分段函数，转化求解即可．
【解答】解：f（x）≥3的解集满足：当x≥2时，2ex﹣1+1≥3，解得x≥1，所以x≥2；
当x＜2时，由 ，可得 ，解得x≤﹣2 ，
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2 ]∪[2，+∞）．
故选：C．
【知识点】分段函数的应用
3.新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计
感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为 200人，如果不采取任何措施，
从（ ）天后该国总感染人数开始超过100万．（lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990）（ ）
A．43 B．45 C．47 D．49
【答案】C
【分析】由题意可得x天后总感染人数为200×1.2x，由200×1.2x＞1000000求解x的范围得结论．
【解答】解：设y为x天后该国的总感染人数，
则y＝200×1.2x，令200×1.2x＞1000000，
两边取对数得：xlg1.2＞lg5000，即xlg1.2＞3+lg5，
解得x≥47．
故选：C．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
4.已知f（x）＝ ，则f（4）+f（﹣4）＝（ ）
A．63 B．83 C．86 D．91
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的解析式可得则f（﹣4）＝f（5），f（4）＝f（7），进而计算f（5）、f（7）
的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝ ，
当x＜5时，f（x）＝f（x＝3），
则f（﹣4）＝f（﹣1）＝f（2）＝f（5），f（4）＝f（7），
当x≥5时，f（x）＝2x﹣x2，则f（5）＝25﹣52＝7，f（7）＝27﹣72＝79，
故f（4）+f（﹣4）＝86，
故选：C．
【知识点】函数的值、分段函数的应用5.函数f（x）＝ ，对∀x R，f（x）+1≥0，则a的取值范围为（ ）
∈
A．（1，+∞） B．（﹣ ，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣ ，1）
【答案】C
【分析】判断函数为偶函数，求出x≥0时的最小值，由最小值大于等于﹣1求解a的范围．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），则函数为偶函数，
则问题只需考虑x≥0时即可．
当0≤x＜2时，函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（0）＝﹣a；
当x≥2时，函数f（x）单调递增，f（x）的最小值为f（2）＝0．
要使∀x R，f（x）+1≥0，则只需﹣a+1≥0即可，∴a≤1．
即a的取值范围为（﹣∞，1]．
∈
故选：C．
【知识点】分段函数的应用
6.已知函数f（x）＝ ，若互不相等的实数x ，x ，x 满足f（x ）＝f（x ）＝f（x ），
1 2 3 1 2 3
则（ ） +（ ） +（ ） 的取值范围是（ ）
A．（ ， ） B．（1，4） C．（ ，4） D．（4，6）
【答案】A
【分析】由函数解析式作出图象，令f（x ）＝f（x ）＝f（x ）＝t，t （0， ），把（ ） +（ ） +
1 2 3
∈
（ ） 转化为关于t的函数求解．
【解答】解：画出分段函数f（x）＝ 的图象如图，令互不相等的实数x，x，x 满足f（x）＝f（x）＝f（x）＝t，t （0， ），
1 2 3 1 2 3
∈
则x ，x （0，1），x （1，2），
1 2 3
∈ ∈ ∈
则（ ） +（ ） +（ ） ＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t （0， ），
∈
∴（ ） +（ ） +（ ） ∈（ ， ）．
故选：A．
【知识点】分段函数的应用
7.已知函数f（x）＝2k（x﹣1）ex（k＜1）的图象与函数g（x）＝x2的图象有且仅有两个不同的公共点，则
实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0] C．（0，+∞） D．（0，1]
【答案】A
【分析】令F（x）＝f（x）﹣g（x）（k＜1），根据条件可知F（x）有两个不同的零点，然后分k＜0，k
＝0和0＜k＜1三种情况，求出k的取值范围．
【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣g（x）（k＜1），则F（x）＝2k（x﹣1）ex﹣x2，
∵f（x）和g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，∴F（x）有两个不同的零点，
又F′（x）＝2kxex﹣2x＝2x（kex﹣1），
当k＜0时，F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，且F（0）＝﹣2k
＞0，
∴F（x）图象的左右两边向下无限延伸，故此时F（x）有两个零点，∴k＜0，满足题意；
当k＝0时，F（x）＝﹣x2只有一个零点，不滿足题意；
当0＜k＜1时， ＞0在（ 上单调递增，且F（0）＝﹣2k＜0，
易知F（x）只有一个零点，不满足题意；
综上，k的取值范围是（﹣∞，0）．
故选：A．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
8.以下函数在区间（0， ）上必有零点的是（ ）
A．y＝x B．y＝3 C．y＝ln（x+ ） D．y＝2x+1
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0， ）上有没有零点，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝ ＝ ，在区间（0， ）有y＞0恒成立，在区间（0， ）上没有零点，不符合题意，
对于B，y＝ ＝ ，在区间（0， ）有y＞0恒成立，在区间（0， ）上没有零点，不
符合题意，
对于C，y＝ln（x+ ），当x＝ 时，y＝ln1＝0，区间（0， ）上有零点，符合题意，
对于D，y＝2x+1，在区间（0， ）有y＞0恒成立，在区间（0， ）上没有零点，不符合题
意，
故选：C．
【知识点】函数的零点、函数零点的判定定理
9.已知a＞0，函数f（x）＝2eax﹣x，若函数F（x）＝f（f（x））﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围
是（ ）
A．[ ， ） B．（0， ] C．（0， ） D．[ ， ]
【答案】C
【分析】根据题意可得函数F（x）＝2af（x）﹣2eax，问题可以转化为f（x）＝x有两个解，即a＝ 恰有两
个解，记函数g（x）＝ ，
对g（x）求导，分析单调性，值域，进而可得结论．
【解答】解：因为函数F（x）＝f（f（x））﹣x＝2af（x）﹣f（x）﹣x＝2af（x）﹣2eax，
因此F（x）＝0，即eaf（x）＝eax，即af（x）＝ax，又a＞0，
所以函数F（x）恰有两个零点，即f（x）＝x有两个解，
即eax＝x恰有两个解，即a＝ 恰有两个解，
记函数g（x）＝ ，
则g′（x）＝ ，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，
令g′（x）＜0，解得x＞e，
g（e）＝ ＝ ，
所以g（x）在（0，e）上单调递增，值域为（﹣∞， ），
在（e，+∞）上单调递减，值域为（0， ），所以a＝ 恰有两个解，a （0， ），
故选：C．
∈
【知识点】函数的零点与方程根的关系
10.已知函数 下列关于函数y＝f（f（x））﹣2的零点个数判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，至少有2个零点
B．当a＞0时，至多有7个零点
C．当a＜0时，至少有4个零点
D．当a＜0时，至多有4个零点
【答案】B
【分析】画出f（x）的图象，再分a＞0，a＜0两种情况分析复合函数的零点个数即可．
【解答】解：对于y＝x3﹣3x，x≤0，y′＝3x2﹣3，令y′＝0，可得x＝±1，故y＝x3﹣3x，x≤0在x＝﹣1
处取最大值2．
①当a＞0时：
要取得最少的零点个数，则a＞1，此时x+ ＞2．（x＞0）此时函数图象如
图．
故y＝f（f（x））﹣2＝0有f（f（x））＝2，故f（x）＝﹣1，由图得y＝f（f（x））﹣2零点
个数为1．故A错误．
要取得最多的零点个数，则此时0＜a＜1，此时x+ ＜2，（x＞0）．如图
故y＝f（f（x））﹣2＝0有f（f（x））＝2，所以f（x）＝﹣1，f（x）＝t，f（x）＝t．
1 2 1 3 2其中t ，t＜ ，∴f（x）＝﹣1有一根，f（x）＝t 最多2个根，f（x）＝t．最多有4
2 1 1 2 1 3 2
个根，一共最多有7个零点．故B正确．
②当a＜0时，函数y＝x+ 为增函数，画出图象有
令y＝f（f（x））﹣2＝0有f（x）＝﹣1，f（x）＝t，其中t+ ＝2即t2﹣2t+a＝0，
1 2
由图知t＞0，故t＝1+ ＞2．故f （x）＝﹣1有2个零点，f （x）＝t有一个零点．故一共
1 2
有3个零点．
所以C，D错误．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
11.已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，
则实数k的取值范围为（ ）
A．（ ， ] B．（ ） C．（ ] D．（ ）
【答案】C
【分析】通过设t＝|ax﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k可换元为h（t）＝t2+（k﹣2）
t+4k﹣1，然后分类讨论函数零点的情况，从而得到实数k的取值范围．
【解答】解：令t＝|ax﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k可换元为：
h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．
若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t，
1
t，且解的情况有如下三种：
2
t （1，+∞），t （0，1），此时 ，解得 ；
1 2
① ∈ ∈
t＝0，t （0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝ ，
1 2
② ∈
∴h（t）＝ ，即 ，不合题意；
t＝1，t （0，1），此时由h（1）＝0，得k＝ ，
1 2
③ ∈
∴h（t）＝ ，解得 ，符合题意．综上，实数k的取值范围为（ ]．
故选：C．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
12.若函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，a＞0，若f（x）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（0，1] C． D．
【答案】A
【分析】由于f（x）有两个零点，可得f（﹣lna）＜0，令u（a）＝1﹣ +lna，u（1）＝0．利用导数研究
其单调性即可得出a的范围．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．进而得出．
【解答】解：f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）．
a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R上单调递减，
此时函数f（x）最多有一个零点，不满足题意，舍去．
a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1）．
令f′（x）＝0，∴ex＝ ，解得x＝﹣lna．
∴x （﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减；
x （﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增．
∈
∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得极小值，
∈
∵f（x）有两个零点，∴f（﹣lna）＝a× +（a﹣2）× +lna＝1﹣ +lna＜0，
令u（a）＝1﹣ +lna，u（1）＝0．
u′（a）＝ + ＞0，∴函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴0＜a＜1．
又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．
∴满足函数f（x）有两个零点．
∴a的取值范围为（0，1），
故选：A．
【知识点】函数的零点与方程根的关系二、多选题
13.已知函数f（x）＝2e﹣|x﹣1|，函数g（x）满足g（x）＝﹣g（x+1），且当x [﹣1，1]时，g（x）＝﹣
x2+1，那么（ ） ∈
A．f（x）在R上关于直线x＝1对称
B．当x＞0时，f（x）单调递减
C．当x [﹣2，4]时，h（x）＝f（x）﹣g（x）有6个零点
D．当x∈[﹣2，4]时，h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6
【答案】AC∈D
【分析】根据f（x），g（x）的解析式，结合选项，逐项判断可得答案；
【解答】解：由函数f（x）＝2e﹣|x﹣1|，
对于A：由f（2﹣x）＝2e﹣|2﹣x﹣1|＝2e﹣|x﹣1|＝f（x），可得f（x）在R上关于直线x＝1对称，故
A正确；
对于B：由f（x）＝2e﹣|x﹣1|＝ ，当x≤1时，函数f（x）是单调递增函数；当x
＞1时，函数f（x）是单调递减函数；故B错误；
对于C：g（x）＝﹣g（x+1），可得g（x）是周期为2的函数，且当x [﹣1，1]时，g（x）＝
﹣x2+1，
∈
作出函数f（x）图象与y＝g（x）的图象，从图象可知有6个不同交点，故h（x）有6个零点，
故C正确；
对于D：根据图象可得g（x）也关于直线x＝1对称，所以6个零点两两关于直线x＝1对称，
可得6个零点的和为6，故D正确；
综上，可得答案为ACD．
故选：ACD．
【知识点】函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系
14.已知函数f（x）＝ ，若方程f（x）＝m有四个不同的实根x ，x ，x ，x 满
1 2 3 4
足x＜x＜x＜x，则下列说法正确的是（ ）
1 2 3 4A．xx＝1 B． + ＝1
1 2
C．x+x＝12 D．xx （27，29）
3 4 3 4
【答案】BCD ∈
【分析】作出函数 f（x）的图象，可知|log （x﹣1）|＝|log （x﹣1）|，x ，x 是方程
2 1 2 2 3 4
的两根，由此即可判断出正确选项．
【解答】解：依题意，|log （x﹣1）|＝|log （x﹣1）|且1＜x＜2＜x＜3，
2 1 2 2 1 2
∴log （x﹣1）+log （x﹣1）＝0，即（x﹣1）（x﹣1）＝1，
2 1 2 2 1 2
∴xx﹣x﹣x+1＝1，
1 2 1 2
∴ ，即选项A错误，选项B正确；
易知，x，x 是方程 ，即方程x2﹣12x+29﹣2m＝0的两根，
3 4
∴x+x＝12，xx＝29﹣2m （27，29），即选项C，选项D均正确．
3 4 3 4
故选：BCD．
∈
【知识点】函数的零点与方程根的关系
15.已知函数f（x）＝ ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）存在两个不同的零点
B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根D．若x [t，+∞）时，f（x） ＝ ，则t的最小值为2
max
∈
【答案】ABC
【分析】作出函数f（x）＝ 的图象即可得到结论．
【解答】解： ，令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，
当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，故函数在（﹣1，2）上单调递增，
且函数f（x）有极小值f（﹣1）＝﹣e，有极大值 ，当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当
x→+∞时，f（x）→0，
故作函数草图如下，
由图可知，选项ABC正确，选项D错误．
故选：ABC．
【知识点】函数与方程的综合运用
16.已知函数 ，若关于x的方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，则a的值可能为
（ ）
A．﹣6 B．8 C．9 D．12
【答案】CD
【分析】结合题意可先对a进行分类：分a≤0及a＞0两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解．
【解答】解：由题意可得a≤0时，显然不成立；
当a＞0时，令f（x）＝t，
则由f（t）＝0得，t＝﹣2a，t＝0，t＝a，
1 2 3又方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，
由题意结合可得，即 ，解得a＞8，
故选：CD．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
三、填空题
17.某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到 15元，从第二天起，每
一天收到的捐款数都比前一天多10元．要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要 天．（结
果取整）
【答案】14
【分析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和
公式可得n2+2n﹣220≥0，即可求出n的最小值．
【解答】解：由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，
设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，
则 ，
整理得：n2+2n﹣220≥0，
又∵n为正整数，
∴当n＝13时，132+2×13﹣220＝﹣25＜0；当n＝14时，142+2×14﹣220＝4＞0，
∴n的最小值为14，
即这次募捐活动至少需要14天．
故答案为：14．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
18.对于定义域为D的函数f（x），若存在x ，x D且x≠x ，使得f（x2）＝f（x2）＝2f（x+x ），则称
1 2 1 2 1 2 1 2
函数f（x）具有性质M，若函数g（x）＝|log x∈﹣1|，具x （0，a]有性质M，则实数a的最小值为 ．
2
∈【 分 析 】 设 x ＜ x ， 由 f （ x2 ） ＝ f （ x2 ） ， 可 得 ， 结 合
1 2 1 2
可得 ，进而求得
x，x，由此得解．
1 2
【解答】解：设x＜x，由f（x2）＝f（x2）得， ，
1 2 1 2
则 ，故 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
则 ，∴ ，
∴ ，故 ，
∴ ，则实数a的最小值为 ．
故答案为： ．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
19.已知x ＝ ，x ＝ 是函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，0＜ ＜ ）相邻的两个零点，则 ＝
1 2
ω φ ω φ φ
；若函数g（x）＝|f（x）﹣ |在[﹣ ，m]上的最大值为1，则m的取值范围是 ．
【分析】利用三角函数的性质得到 ＝2，再根据已知零点得到 ＝ ，然后根据三角函数的性质得到关
于m的不等式，即可得解．
ω φ
【解答】解：设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得 ＝ ﹣ ，则T＝ ，
π
所以 ＝ ，所以 ＝2，
则f（x）＝sin（2x+ ），
π ω
φ
由题意知2× + ＝k ，k Z，即 ＝k ﹣ ，k Z，
φ π ∈ φ π ∈又0＜ ＜ ，
φ
所以 ＝ ，
φ
所以f（x）＝sin（2x+ ），
因为函数g（x）在[﹣ ，m]上的最大值为1，且当x [﹣ ，m]上的最大值为1，
∈
当x [﹣ ，m]时，﹣ ≤2x+ ≤2m+ ，
∈
所以﹣ ＜2m+ ≤ ，
所以﹣ ＜m≤ ．
故答案为： ，（﹣ ， ]．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
20.已知y＝f（x）是奇函数，定义域为[﹣1，1]，当x＞0时，f（x）＝| ﹣x |﹣1（ ＞0， Q），
α
α α∈
当函数g（x）＝f（x）﹣t有3个零点时，则实数t的取值范围是 ．
【分析】根据题意及函数图象的变换法则，作出函数f（x）的图象，由图象观察即可得解．
【解答】解：当x （0，1]时，易知函数 单调递减，且x→0时，y→2，x＝1时， ，
其大致图象如下，
∈
∴f（x）＝| ﹣x |﹣1在（0，1]的大致图象如下，
α又函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，故函数f（x）的图象如下，
要使函数g（x）＝f（x）﹣t有3个零点，只需函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有且仅有3个
交点，
由图象可知， ．
故答案为： ．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
21.方程1+log x＝log （x2﹣3）的解为 ．
2 2
【答案】x=3
【分析】问题转化为 ，求出x的值即可．
【解答】解：∵1+log x＝log （x2﹣3），
2 2
∴log （2x）＝log （x2﹣3），故2x＝x2﹣3，
2 2
故 ，解得：x＝3，
故答案为：x＝3．
【知识点】函数的零点
22.若f（x）＝|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2020|，x R，且f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1），则
∈满足条件的所有整数a的和是 ．
【答案】6
【分析】通过函数的奇偶性，即可得到关系式，然后求出a的值．
【解答】解：f（x）＝|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|+|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2020|，
则f（﹣x）＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣2020|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2020|，
可得f（﹣x）＝f（x），∴函数是偶函数，
若f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1）则a2﹣3a+2＝a﹣1 或a2﹣3a+2＝﹣（a﹣1）②
由①，得a2﹣3a+2＝（a﹣1）（a﹣2）＝a﹣1，
①
即（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝1或a＝3；
由②，得a2﹣3a+2＝（a﹣1）（a﹣2）＝﹣（a﹣1），
即（a﹣1）（a﹣1）＝0，解得a＝1；
∴a＝1或a＝3，又f（0）＝f（1）＝f（﹣1），
∴当a＝2时，也满足要求，
∴a的值有3个，可得1+2+3＝6．
故答案为：6．
【知识点】函数与方程的综合运用
23.已知函数y＝4sin（2x+ ）﹣h，x [0， ]的图象有三个零点，其零点分别为x，x，x，若x＜x＜
1 2 3 1 2
x，则x+2x+x 的值为 ． ∈
3 1 2 3
【分析】求出函数y＝4sin（2x+ ），x [0， ]的对称轴，可得x+x 与x+x 的值，则答案可求．
1 2 2 3
∈
【解答】解：函数y＝4sin（2x+ ）﹣h，x [0， ]的图象有三个零点，
∈
即函数y＝4sin（2x+ ），x [0， ]与y＝h的图象有三个交点，
则其交点的横坐标分别为x，x，x，
1 2 3
∈
对于函数y＝4sin（2x+ ），x [0， ]，
∈
由2x+ （k Z），可得x＝ 与x＝ 为其对称轴，
∈
且当x＝ 与x＝ 时，y＝4sin（2x+ ）分别求得最大值与最小值，
由函数的对称性可得， ， ，
∴x+2x+x＝ ．
1 2 3
故答案为： ．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
24.设函数f（x）＝|x﹣a|﹣ +a，若关于x的方程f（x）＝1有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为 ．
【分析】由题意，转化为两个函数问题，即设 ，作出图，即可求解实数a的
取值构成的集合．
【解答】解：由方程f（x）＝1，得 有两个不同的解，
令 ，
则h（x）＝|x﹣a|+a的顶点（a，a）在y＝x上，
而y＝x与 的交点坐标为（2，2），（﹣1，﹣1），
联立 得x2+（1﹣2a）x+2＝0，
由△＝（1﹣2a）2﹣8＝0，解得 或 ，
作出图象，数形结合，要使得 有两个不同的解，
则实数a的取值范围是 或 或2．
故答案为 ．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
25.已知函数f（x）＝ ，g（x）＝x2+ax﹣3，若方程f（x）﹣g（x）＝0有且仅有一个实数根，
则a的最大值是 ．
【答案】3
【分析】依题意，函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象有且仅有一个交点，作出函数f（x）的图
象，结合题意及二次函数的性质可得0＜g（1）≤1即可，进而得解．
【解答】解：方程f（x）﹣g（x）＝0有且仅有一个实数根，等价于函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象有且仅有一个交点，
∵g（1）＝1+a﹣3＝a﹣2，函数g（x）恒过点（0，﹣3），且开口向上，
∴只需0＜a﹣2≤1即可，解得2＜a≤3，
∴a的最大值为3．
故答案为：3
【知识点】函数的零点与方程根的关系
26.已知函数f（x）＝|x2+mx+ |（x R），且y＝f（x）在x [0，2]上的最大值为 ，若函数g（x）＝f（x）
﹣ax2有四个不同的零点，则实数∈a的取值范围为 ．∈
【答案】（0，1）
【分析】根据二次函数的性质，判断的对称轴，求出m＝﹣2，利用两个抛物线相切求出a的极限值，利用
数形结合进行求解即可．
【解答】解：设g（x）＝x2+mx+ ，
则g（0）＝ ，函数的对称轴为x＝﹣ ，\
若﹣ ≤0，则函数g（x）在[0，2]上是增函数，y＝f（x）在x [0，2]上的最大值为g（2）＞
∈
，不满足条件．
则必有﹣ ＞0，即m＜0，
由g（x）＝x2+mx+ ＝ 得x2+mx＝0，得x＝0或x＝﹣m，
若y＝f（x）在x [0，2]上的最大值为 ，
则﹣m≥2，即m≤﹣2，
∈
同时|g（﹣ ）|＝| ﹣ + |＝|﹣ + |≤ ，
即﹣ ≤ ﹣ ≤ ，即0≤ ≤1，即m2≤4，
得﹣2≤m≤2，
∵m≤﹣2，∴m＝﹣2，
即f（x）＝|x2﹣2x+ |，对称轴x＝1，
由g（x）＝f（x）﹣ax2有四个不同的零点，
得g（x）＝f（x）﹣ax2＝0，即f（x）＝ax2有四个不同的根，
即f（x）与y＝ax2的图象有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
当a≤0时，不满足条件．
当a＞0时，要使两个函数有四个交点，
当ax2＝﹣（x2﹣2x+ ）在（0，1）相切时，
得（a+1）x2+2x+ ＝0，
则判别式△＝4﹣4× （a+1）＝0，
得4﹣2a﹣2＝0得2a＝2，a＝1，
要使使两个函数有四个交点，
则0＜a＜1，
即实数a的取值范围是（0，1）．
【知识点】函数零点的判定定理
27.已知f（x）＝|x•ex|，g（x）＝f2（x）+tf（x）（t R）若满足g（x）＝﹣1的x有四个，则t的取值范围
为 ． ∈
【分析】g（x）＝﹣1的x有四个，等价于方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，设h（x）＝x•ex，利用导
数得到函数h（x）的单调性和极值，画出函数h（x）的大致图象，再利用函数图象的变换得到函
数f（x）的大致图象，要使方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，则方程m2+tm+1＝0应有两个不
等的实根，且一个根在（0， ）内，一个根在（ ，+∞）内，设 （m）＝m2+tm+1，再利用二
次函数根的分布列出不等式，即可解出t的取值范围．
φ【解答】解：∵g（x）＝﹣1的x有四个，
∴方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，
设h（x）＝x•ex，则h'（x）＝ex+xex＝ex（x+1），
令h'（x）＝0，得x＝﹣1，
∴当x （﹣∞，﹣1）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；
当x （﹣1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∈
∈
∴h（x） ＝h（﹣1）＝﹣ ，
min
画出函数h（x）＝x•ex的大致图象，如图所示：，
∵f（x）＝|x•ex|，
∴保留函数h（x）的x轴上方的图象，把x轴下方的图象关于x轴翻折到x轴上方，
即可得到函数f（x）＝|x•ex|的图象，如图所示：，
令m＝f（x），则m2+tm+1＝0，
所以要使方程f2（x）+tf（x）+1＝0有4个根，
则方程m2+tm+1＝0应有两个不等的实根，且一个根在（0， ）内，一个根在（ ，+∞）内，
设 （m）＝m2+tm+1，因为 （0）＝1＞0，则只需 （ ）＜0，即 ，
φ φ φ
解得：t＜﹣ ，
故答案为：（﹣∞，﹣ ）．【知识点】函数的零点与方程根的关系
28.已知函数f（x）＝a ，g（x）＝ 若关于x的方程f（x）＝g（x）有3个不同的实
数根，则实数a的取值集合为 ．
【分析】由 ， 根据关于 x 的方程 f（x）＝g（x） 有 3 个不同的实数
根，所以方程 f（x）＝g（x） 在 （﹣∞，0）有 1 个根，在 （0，+∞） 有 2 个根或者方程
f（x）＝g（x） 在 （﹣∞，0）有 2 个根，在 （0，+∞） 有 1 个根，利用判别式法和导数法
求解．
【解答】解： ，
①当a≤0，由图象可知显然不满足题意，②当a＞0时，
当 x≤0 时，若方程 f（x）＝g（x） 有 1 个实数根，
联立得 ， 即 16y2﹣16a2y﹣a2＝0，
则△＝（﹣16a2）2﹣4×16×（﹣a2）＝0，
解得： ，
此时 ，
令 ，
，
当 0＜x＜16 时，h′（x）＜0，当 x＞16 时，h′（x）＞0，
所以 x＝16 时，函数 h（x） 取得极小值： ，
又 ，
所以当 时，
方程 f（x）＝g（x） 在 （﹣∞，0）有 1 个根，在 （0，+∞） 有 2 个根，符合题意．
当 x≤0 时，若方程 f（x）＝g（x） 有 2 个实数根，
则△＝（﹣16a2）2﹣4×16×（﹣a2）＞0，解得： ，此时则需方程 f（x）＝g（x） 在 （0，+∞） 有 1 个根，
令 ，
所以 ，
当 时，h′（x）＜0，当 时，h′（x）＞0，
所以 时，函数 h（x） 取得极小值： ，
令 ，
则 ，
解得 ，
所以 ，符合题意．
综上：若关于 x 的方程 f（x）＝g（x） 有 3 个不同的实数根，则实数a的取值集合为
．
故答案为： ．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
29.已知函数f（x）＝ 若关于x的方程[f（x）]2﹣2mf（x）+m+2＝0有6个不同实
根，则m的取值范围是 ．
【答案】（2，+∞）
【分析】先作出函数f（x）的图象，结合图象可把问题转化为t2﹣2mt+m+2＝0有两个不同实根t ，t ，且
1 2
或0＜t＜2＜t 或t＝0，t＝2，然后结合二次函数的实根分布即可求解．
1 2 1 2
【解答】解：先作出f（x）的图象如图所示，
令f（x）＝t，若关于x的方程[f（x）]2﹣2mf（x）+m+2＝0有6个不同实根，则t2﹣2mt+m+2
＝0有两个不同实根t，t，设t＜t
1 2 1 2
则 或0＜t＜2＜t 或t＝0，t＝2，
1 2 1 2
令t2﹣2mt+m+2＝g（t），当 时，则 ，此时m不存在，
或当0＜t＜2＜t 时， ，解可得，m＞2，
1 2
当t＝0，t＝2时，m不存在，
1 2
综上，m＞2
故答案为：（2，+∞）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
