文档内容
专题 06 函数的图象、零点、方程及其应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
函数的图象、零点、方程及其应用近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2019年全国III卷（理科），第7题,5
根据函数解析式判断图象
分
2019年全国I卷（文科），第5题,5分 根据函数解析式判断图象 三角函数
2021年全国甲（理科），第21题,5分 函数与函数的交点 导函数
2022年全国乙（文科），第8题,5分 根据函数图象判断解析式 三角函数
2022年全国乙（理科），第21题,12分 函数的零点 导函数
2022年全国甲（理科），第5题,5分 根据函数解析式判断图象 三角函数
2022年全国甲（理科），第11题,5分 函数的零点 三角函数
2022年全国甲（理科），第21题,12分 函数的零点 导函数
2023年全国甲（理科），第10题,5分 函数与函数的交点 三角函数
2023年全国乙（文科），第8题,5分 函数的零点 导函数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，一般出1-2个选择题，解答题也会考查函数的零点与方程；
2.根据函数的图象判断解析式或根据函数解析式判断图象，常常跟三角函数一起出题；
3.考查函数零点的个数，判断零点所在的区间，根据零点的数量求参数的取值范围。
【备考策略】1.能根据描点或初等函数图象作出其他简单复合函数的图象.
2.会根据函数解析式判断函数图象.
3.掌握函数图象的变换规则.
4.了解函数的零点与方程的解的关系.
5.理解函数零点存在定理,并能简单应用.
6.了解用二分法求方程的近似解.
【命题预测】1.考查函数零点的个数，根据零点的数量求参数的取值范围；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12.根据函数解析式判断图象，可跟三角函数一起出题，重点考查函数的性质。
知识讲解
一、利用描点法作函数图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线,具体为
(1)①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(2)列表(找特殊点、零点、最大值点、最小值点以及与坐标轴的交点).
(3)描点、连线.
二、利用图象变换法作函数的图象
1.平移变换
①y=f(x)的图象 y= f ( x- a ) 的图象;
②y=f(x)的图象 y= f ( x ) + b 的图象.
2.对称变换
①y=f(x)的图象 y= - f ( x ) 的图象;
②y=f(x)的图象 y= f ( - x ) 的图象;
③y=f(x)的图象 y= - f ( - x ) 的图象;
④y=ax(a>0且a≠1)的图象
y= lo g x ( a> 0 且 a ≠ 1 ) 的图象.
a
3.伸缩变换
①y=f(x)的图象
y= f ( a x ) 的图象;
②y=f(x)的图象
y= a f ( x ) 的图象.
4.翻转变换
①y=f(x)的图象 y= | f ( x ) | 的图象;
②y=f(x)的图象 y= f ( |x | ) 的图象.
有关对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);
a+b
③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
(2)函数图象自身的中心对称
①f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;
②函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);
③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);
④若函数 y=f(x)的定义域为 R,且满足条件 f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c 为常数),则函数 y=f(x)的图象关于点
(a+b c)
,
对称.
2 2
图象变换法作函数的图象
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形
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如y=x+ 的函数.
x
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,
但要注意变换顺序.
识别函数图象,可以从函数的单调性判断图象的变化趋势,从函数的奇偶性判断图象的对称性,并结合取特
殊值判断函数图象.
函数图象平移变换的规律
1.y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图象;
2.y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图象.
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
①从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值;
②从图象的对称性分析函数的奇偶性;
③从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.
当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题,
从而利用数形结合求解.
利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象研究方程的根,方程f(x)=0的根就是f(x)的图象与x轴交点的
横坐标,方程f(x)=g(x)的根是函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点的横坐标.
三、函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使函数y=f(x)的值为0的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y=f(x)有 零点 .
3.函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 f ( a ) · f ( b ) < 0 ,那么,函数y=f(x)在区间 ( a , b ) 上
有零点,即存在c∈(a,b),使得 f ( c ) = 0 ,这个 c 也就是方程f(x)=0的根.
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
(4)函数的零点是实数,而不是点,是方程f(x)=0的实根.
(5)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0,如图所示,所以
f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
四、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且 f ( a ) · f ( b ) < 0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
五、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4判别式符号 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点 ( x , 0 ),( x , 0 ) ( x , 0 ) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
利用函数零点存在定理判断零点所在区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
(1) 通过解方程,判断函数的零点个数,所对应方程f(x)=0有几个不同的实数解就有几个零点.(2)函数零点个数
转化为两个函数图象交点的个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不
同的值,就有几个不同的零点.
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题,需准确画出
两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从而
解决问题,提升直观想象核心素养.
六、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,且a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)= +b(k,b为常数,且k≠0)
x
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)
指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogx+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
a
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,且a≠0,n≠0)
七、三种函数模型的性质比较
函数
y=ax(a>1) y=logx(a>1) y=xn(n>0)
性质 a
在 (0,+∞) 上
单调 递增 单调 递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐
图象的 随x的增大逐渐表现为与
渐表现为与 随n值变化而各有不同
变化 x 轴 平行
y 轴 平行
值的比较 存在一个x ,当x>x 时,有logx
