专题 06 函数的图象、零点、方程及其应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
函数的图象、零点、方程及其应用近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2019年全国III卷（理科），第7题,5
根据函数解析式判断图象
分
2019年全国I卷（文科），第5题,5分 根据函数解析式判断图象 三角函数
2021年全国甲（理科），第21题,5分 函数与函数的交点 导函数
2022年全国乙（文科），第8题,5分 根据函数图象判断解析式 三角函数
2022年全国乙（理科），第21题,12分 函数的零点 导函数
2022年全国甲（理科），第5题,5分 根据函数解析式判断图象 三角函数
2022年全国甲（理科），第11题,5分 函数的零点 三角函数
2022年全国甲（理科），第21题,12分 函数的零点 导函数
2023年全国甲（理科），第10题,5分 函数与函数的交点 三角函数
2023年全国乙（文科），第8题,5分 函数的零点 导函数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，一般出1-2个选择题，解答题也会考查函数的零点与方程；
2.根据函数的图象判断解析式或根据函数解析式判断图象，常常跟三角函数一起出题；
3.考查函数零点的个数，判断零点所在的区间，根据零点的数量求参数的取值范围。
【备考策略】1.能根据描点或初等函数图象作出其他简单复合函数的图象.
2.会根据函数解析式判断函数图象.
3.掌握函数图象的变换规则.
4.了解函数的零点与方程的解的关系.
5.理解函数零点存在定理,并能简单应用.
6.了解用二分法求方程的近似解.
【命题预测】1.考查函数零点的个数，根据零点的数量求参数的取值范围；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12.根据函数解析式判断图象，可跟三角函数一起出题，重点考查函数的性质。
知识讲解
一、利用描点法作函数图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线,具体为
(1)①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(2)列表(找特殊点、零点、最大值点、最小值点以及与坐标轴的交点).
(3)描点、连线.
二、利用图象变换法作函数的图象
1.平移变换
①y=f(x)的图象 y= 的图象;
②y=f(x)的图象 y= 的图象.
2.对称变换
①y=f(x)的图象 y= 的图象;
②y=f(x)的图象 y= 的图象;
③y=f(x)的图象 y= 的图象;
④y=ax(a>0且a≠1)的图象
y= 的图象.
3.伸缩变换
①y=f(x)的图象
y= 的图象;
②y=f(x)的图象
y= 的图象.
4.翻转变换
①y=f(x)的图象 y= 的图象;
②y=f(x)的图象 y= 的图象.
有关对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);
a+b
③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
(2)函数图象自身的中心对称
①f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;
②函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);
③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);
④若函数 y=f(x)的定义域为 R,且满足条件 f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c 为常数),则函数 y=f(x)的图象关于点
(a+b c)
,
对称.
2 2
图象变换法作函数的图象
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31
如y=x+ 的函数.
x
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,
但要注意变换顺序.
识别函数图象,可以从函数的单调性判断图象的变化趋势,从函数的奇偶性判断图象的对称性,并结合取特
殊值判断函数图象.
函数图象平移变换的规律
1.y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图象;
2.y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k或y=f(x) -k的图象.
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
①从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值;
②从图象的对称性分析函数的奇偶性;
③从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.
当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题,
从而利用数形结合求解.
利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象研究方程的根,方程f(x)=0的根就是f(x)的图象与x轴交点的
横坐标,方程f(x)=g(x)的根是函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点的横坐标.
三、函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使函数y=f(x)的值为0的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 .
3.函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 ,那么,函数y=f(x)在区间 上有零
点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方程f(x)=0的根.
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
(4)函数的零点是实数,而不是点,是方程f(x)=0的实根.
(5)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0,如图所示,所以
f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
四、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
五、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
判别式符号 Δ>0 Δ=0 Δ<0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点 无交点
零点个数 2 1 0
利用函数零点存在定理判断零点所在区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
(1) 通过解方程,判断函数的零点个数,所对应方程f(x)=0有几个不同的实数解就有几个零点.(2)函数零点个数
转化为两个函数图象交点的个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不
同的值,就有几个不同的零点.
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题,需准确画出
两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从而
解决问题,提升直观想象核心素养.
六、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,且a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)= +b(k,b为常数,且k≠0)
x
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)
指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogx+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
a
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,且a≠0,n≠0)
七、三种函数模型的性质比较
函数
y=ax(a>1) y=logx(a>1) y=xn(n>0)
性质 a
在 (0,+∞) 上
单调 单调 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐
图象的 随x的增大逐渐表现为与
渐表现为与 随n值变化而各有不同
变化 平行
平行
值的比较 存在一个x ,当x>x 时,有logx<xn<ax
0 0 a
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符
合实际的情况.
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
二次函数模型的求解策略:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函
数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,然后比较大小求出分段函数的最值.
幂函数模型的应用求解策略
(1)给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数的值,明确函数关系式.
(2)根据题意,直接列出相应的函数关系式.
b
利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.
x
应用指数函数、对数函数模型解题时,关键是对模型的判断,先设定模型,将有关数据代入验证,确定参数,
求解时要准确地进行指数运算、对数运算,灵活地进行指数与对数的互化.
考点一、 作函数图象
1．一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式 得到的数列
满足 ，则该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
2．作出下列函数的图象:（1） ；（2） .
3.（2019年浙江省高考试卷）在同一直角坐标系中，函数 且 的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
1．某地一年内的气温 （单位： ）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为
.令 表示时间段 的平均气温， 与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是（
）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6A． B． C． D．
2．作出下列函数的图象:(1) ;(2) .
3．（2021年广东省部分名校模拟）函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
考点 二 、 函数图象的判断
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）函数 在区间 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，
则该函数是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7A． B． C． D．
1．函数 的部分图象大致为（ ）.
A B C D
2．（2023年新高考天津数学高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
考点 三 、 函数图象的平移规则
1．已知定义在区间 上的函数 的图象如图所示，则 的图象为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8A． B． C． D．
2．函数 的反函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．(2023年扬州模拟)为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象上所有的点（ ）
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
1．函数 的图象如图所示,则函数 的图象为（ ）.
A B C D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 92．若函数 的反函数为 ，则函数 与 的图象可能是
A． B． C． D．
3．函数 的图象与 的图象关于 轴对称,再把 的图象向右平移1个单位长度后得
到函数 的图象,则 .
考点 四 、 函数图象的应用
1．（2023年贵州省黔南州模拟（理科））已知函数 ， .若 存在2
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年上海市模拟）已知函数 ，若方程 恰有四个不同的
实数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是____________.
3．（2019年上海市模拟）已知函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2023年浙江省模拟）已知函数 ，若 且 ，则
的取值范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10A． B． C． D．
2．（2023年重庆市模拟）设常数 ，函数 .若方程 有三个不相等的实
数根 ，且 ，则 的取值范围为__________， 的取值范围为__________.
3．若函数 的图象如图所示，则a的取值范围是（ ）
考点 五 、 函数零点所在区间的判断
1．（2023年浙江省衢州市模拟）函数 零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．(2023年山东泰安模拟)设 , ,则函数 存在的零点所在的区
间一定为（ ）.
A． B． C． D．
3．(2023年绍兴模拟)若方程 的解在 内,则 的取值范围是 .
1．（2023年黑龙江省模拟）已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）.
A． B． C． D．
2．函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 113．已知方程 的解在 内，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考点 六 、 函数零点个数的判断
1．函数 的零点个数为（ ）.
A．3 B．2 C．7 D．0
2．（2023年湖北省部分名校模拟）已知函数 在 恰有两个零点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年江苏省模拟）已知函数 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时，
，则函数 的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
1．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．（2023年湖南省考前适应性训练）已知函数 的定义域为 ，且 ，
函数 在区间 内的所有零点为 （i=1，2，3，…，n）．若 ，则实数a的取
值范围是________．
3．（2023年四川南充模拟）若函数 满足 ,且 时, ,
已知函数 则函数 在区间 内的零点的个数为( ).
A．11 B．12 C．13 D．14
考点 七 、 函数零点的应用
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 121．（2015年全国普高招生统一考试理科（安徽卷））函数 的图象如图所示，则下列结论成
立的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．（2023·宁夏回族自治区石嘴山市名校模拟）已知函数 ，若方程 有
四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 在区间 上有零点，则 的最小值为___________.
1．（2023年陕西省模拟）已知函数 与 的图象上不存在关于 轴对
称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的两个零点分别为 和 ，且 ，则 的最小值为_________．
3．已知函数 ， ，记函数 ，若函数 恰有三个不同的
零点 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点 八 、用函数图象刻画实际问题的变化过程
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 131．（2023年海南省模拟）某研发团队研究出了一种新型智能产品，经过调研发现该产品推出市场的时间
（单位：年）与市场占有率 可近似用函数 来描述，其中 ， 是常数．已知该产品市
场占有率为 时，需要1年；市场占有率为 时，需要1.5年，则市场占有率达到 时约需
（ ）（ ， ）
A．2.32年 B．2.43年 C．2.58年 D．2.81年
2．（2023年陕西省模拟）某购物网站在 年 月开展“全部 折”促销活动，在 日当天购物还可以
再享受“每张订单金额（ 折后）满 元时可减免 元”．某人在 日当天欲购入原价 元（单价）
的商品共 件，为使花钱总数最少，它最少需要下的订单张数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年安徽省模拟）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，
某种绿茶用 的水泡制，再等到茶水温度降至 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研
究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是 ，经过 后的温度
是 ，则 ，其中 表示环境温度， 表示半衰期．该研究小组经过测量
得到，刚泡好的绿茶水温度是 ，放在 的室温中， 以后茶水的温度是 ，在上述条件下，
大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？ 结果精确到 ，参考数据
（ ）
A． B． C． D．
1．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位： ），
鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现 ，当 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为
51200，则当 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．400 B．800 C．1600 D．3200
2．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 可定
义为 ．2021年3月13日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发
生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的________倍．
3．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：
金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，
映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14轮廓部分可用函数 的图像来刻画，满足关于 的方程 恰有三个不同的实数根
，且 （其中 ），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点 九 、 已知函数模型解决实际问题
1．（2023年贵州省（全国甲卷押题卷三）（理））已知火箭推进系统的燃料携带量与速度的关系为
，其中 为速度改变量， 为喷气速度， 为火箭本体质量， 为燃料质量，若某一火箭
发射时携带的燃料质量 ，记携带燃料剩余质量为 ， 时 的值分别为 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年福建省模拟）已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素
的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精
确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年D．6.6年
3．（2000年普高招生考试试题（广东卷））《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪
金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进
计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
1．（2023年重庆市模拟）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定
区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实
现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的
速率为 ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上
一次的 ，若要使石片的速率低于 ，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）
（参考数据：取 ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2023届北京市部分名校模拟）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一
种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练
迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为 ，且当训
练迭代轮数为 时，学习率为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（参
考数据： ）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
3．（2023年河南省九师联盟考前预测押题理科）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量
应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为
和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为 计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力
（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保
护对象的设计喷雾强度（单位：L/min·m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如
不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为
24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，保护对象的水雾喷
头的数量N约为（ ）（参考数据： ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
考点 十 、 构建函数模型解决实际问题
1．声压级（ ）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为 （分贝）.人类产生
听觉的最低声压为 （微帕），通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16其中 是测量的有效声压值， 声压的基准值， .由公式可知，当声压 时，
.若测得某住宅小区白天的 值为 ，夜间的 值为 ，则该小区白天与夜间的有效
声压比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京名校模拟）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a、b为待定系数）？（ ）
A． B． C． D．
3．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作
了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价 （单位：元）与上市
时间 （单位：天）的数据如下表.
上市时间 /天 2 6 32
市场价 /元 148 60 73
(1)根据上表数据，从① ，② ，③ 中选取一
个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解
析式；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
1．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在 内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中
的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量 与
服药后的时间 之间近似满足如图所示的曲线，其中 是线段，曲线段 是函数 （ ，
是常数）的图象，且 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量 关于时间 的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于 时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保
持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达 时，此刻该人每毫升血液中药物
含量为多少 ？（参考数据： ）
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似
地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A． B． C． D．
3．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升
血液中含药量 （单位：微克）与时间 （单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当 时，
曲线是二次函数图象的一部分，当 时，曲线是函数 图象的一部分，
根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.
(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量 与时间 之间的函数关系式；
(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据 ）
【基础过关】
1．（2020年河南省部分名校模拟（文））函数 的图象是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18A． B． C． D．
2．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年浙江省高考试卷）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（2015年全国普高招生考试文科（浙江卷））函数 （ 且 ）的图象可
能为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ,函数 ,函数 ,函数 ,四个函数的图象如图
所示,则 , , , 的图象依次为（ ）.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19A. ①②③④ B.①②④③ C.②①③④ D.②①④③
7．函数 的零点为________．
8．（2023年重庆市模拟）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
9．(2019年全国Ⅲ卷)函数 在 的零点个数为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
10．（2023年河北省模拟）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 在 上有零点，则实数a的取值范围是______________．
12．已知函数 ，若方程 的实根在区间 上，则k的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
13．（2023年河北省卓越联盟模拟）若函数 ，在其定义域上只有一个零点，则
整数a的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【能力提升】
1．作出下列函数的图象：（1）已知函数 ．
（2）用分段函数表示 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 202．（2022年高考天津卷数学真题）函数 的图像为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019年宁夏模拟）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 在的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 的定义域为R， ， ，当 时， ，则函数
在区间 上零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2022年北京市模拟）已知定义在R上的函数 是周期为3的奇函数.当 时， ，
则函数 在区间 上的零点个数是______.
8．（2023年福建省质量检测）已知函数 ， ，设 为实数，若存在
实数 ，使得 成立，则 的取值范围为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21A． B． C． D．
9．（2023年江西省模拟）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促
进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总
书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为
全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量 （单位： ）与肥料费用 （单位：
元）满足如下关系： 其它总成本为 （单位：元），已知这种农作物的市场售
价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
10．在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位： ）和所携带的燃料的质量M（单
位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足 ．当携带的燃
料的质量和飞行器（除橪料外）的质量相等时，v约等于 ，当携带的燃料的质量是飞行器（除
燃料外）的质量3倍时，v约等于 ．
(1)求a，b的值；
(2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该
飞行器最大速度超过第二宇宙速度 ．（参考数据： ）
11．（2023年上海模拟）函数
(1)当 时，是否存在实数c，使得 为奇函数；
(2)若函数 过点 ，且函数 图像与 轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
12．（2023年甘肃省模拟）已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 .若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22）
A． B．
C． D．
【真题感知】
1．（2023年全国高考甲卷数学（理）试题）函数 的图象由函数 的图象向左平移
个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年北京市高考数学试题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨
临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和
的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
4．（2021年天津高考数学试题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021年浙江省高考数学试题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020年天津市高考数学试卷）函数 的图象大致为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24A． B．
C． D．
7．（2022年高考天津卷数学真题）设 ，对任意实数x，记 ．若
至少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
8．（2021年北京市高考数学试题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
9．（2020年北京市高考数学试卷）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，
排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大
小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25其中所有正确结论的序号是____________________．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26
