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专题四 《函数》讲义
5.4对数函数
知识梳理 . 对数函数
1．对数
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记
概念 作x＝log N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对
a a
数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝log N(a>0，且a≠1)
a
性质
log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1)
a a a
log (M·N)＝log M ＋ log N
a a a
运算法则 log＝log M － log N a>0，且a≠1，M>0，N>0
a a a
log Mn＝nlog M(n∈R)
a a
换底公式 log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
2．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象与性质
a
底数 a >1 0< a <1
图
象
定义域： (0 ， ＋ ∞ )
值域：R
性 图象过定点 (1 ， 0 ) ，即恒有log 1＝0
a
质 当x>1时，恒有y>0； 当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
题型一 . 指、对运算
1．已知函数f（x）
=
{log
2
x，0＜x≤1，则f（2019）＝
f(x−1)，x＞1 2
2．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2
+log 3）＝ ．
1
25
3．已知a＞b＞1，若log b+log a= ，ab=ba，则a，b的值分别为（ ）
a b
2
A．a＝5，b＝2 B．a＝4，b＝2 C．a＝8，b＝4 D．a=2，b=√2
4．设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则（ ）
0.2 2
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
题型二 . 比较大小
1．（2017秋•信丰县校级月考）设a＝log 2，b＝ln2，c 1，则a、b、c三个数的大
3 =52
小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
2．已知a＝log 6，b＝log 10，c＝log 14，则a，b，c的大小关系是（ ）
3 5 7
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
3．（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alog c＜blog c D．log c＜log c
b a a b
4．（2020•新课标Ⅲ）已知 55＜84，134＜85．设 a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则
5 8 13
（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
ln2 ln3 ln5
5．若a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系为（ ）
2 3 5
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c
6．（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z题型三 . 对数函数的图像与性质
1．已知函数 f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
．
2．（2014•西城区模拟）已知函数f（x）＝log （2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的图象恒过
m
点P，且点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（ ）
1 1 1 1
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
4 4 2 2
3．（2020春•吉林期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2008•山东）已知函数f（x）＝log （2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则
a
a，b满足的关系是（ ）
A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1
C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1
ex−e−x
5．（2020秋•西安月考）已知函数f（x）＝lg ，则f（x）是（ ）
2
A．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
题型四 . 复合函数的单调性与值域1．已知函数y＝log （1﹣ax）在（1，2）上是增函数，则a的取值范围是（ ）
a
1 1
A．（1，2） B．[1，2] C．(0， ) D．(0， ]
2 2
2．若函数 y＝log （x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上为减函数，则 a 的取值范围是
a
．
3．已知函数f（x）＝log （ax2﹣4x+a）（a R），若f（x）的值域为R，则实数a的取值
4
范围是（ ） ∈
A．[0，2] B．（2，+∞） C．（0，2] D．（﹣2，2）
4．设a＞0，a≠1，函数f（x）＝log （x2﹣2x+3）有最小值，则不等式log （x﹣1）＜0的
a a
解集（ ）
A．（﹣∞，2） B．（1，2）
C．（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）
5．已知函数f（x）＝ln（|x|+1） ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（
+√x2+1
）
1 1
A．( ，1) B．(−∞， )∪(1，+∞)
3 3
1
C．（1，+∞） D．(−∞， )
3
题型五 . 等高线
{
|lgx|(0＜x≤10)
1．已知函数f（x） ，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）
= 1
− x+6(x＞10)
2
＝f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
2．已知函数 {−x2−2x，x≤0，若关于x的方程f（x）＝a有四个根x ，x ，x ，
f(x)= 1 2 3
|lgx|，x＞0
x ，则这四个根之和x +x +x +x 的取值范围是 ．
4 1 2 3 4题型六 . 反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝log x，若f（x）的反函数图象经过点（1，
a
2），则a＝ ．
1
2．设f(x)=log ( +1)是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝
2 x+a
x对称，则g（x）的值域为（ ）
1 1 1 1
A．(−∞，− )∪( ，+∞) B．(− ， )
2 2 2 2
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
3．若x 满足2x＝5﹣x，x 满足x+log x＝5，则x +x 等于（ ）
1 2 2 1 2
A．2 B．3 C．4 D．5
课后作业 . 基本初等函数
1．已知x＝ln ，y =log ，z＝e﹣2，则（ ）
1
2
π π
A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
2．若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝log （|x|﹣1）的图象可
a
以是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数
g(x)=(1−4m)√x在[0，+∞）上是增函数，则a＝（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 2
4．已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log 3），b
0.5
＝f（log 5），c＝f（2+m），则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．已知函数 f（x）＝|lgx|，若 0＜a＜b且f（a）＝f（b），则 a+2b的取值范围为
．
6．已知函数f（x）＝log （x+1），g（x）＝log （1﹣x）（a＞0，a≠1），则（ ）
a a
A．函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）
B．函数f（x）+g（x）的图象关于y轴对称
C．函数f（x）+g（x）在定义域上有最小值0
D．函数f（x）﹣g（x）在区间（0，1）上是减函数
