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专题四 《函数》讲义
5.3 指数函数
知识梳理 . 指数函数
(1)根式的性质
①()n＝a(a使有意义)．
②当n是奇数时，＝a；
当n是偶数时，＝|a|＝
(2)分数指数幂的意义
①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a
是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0<a<1
图象
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
性质
当x>0时，恒有0<y<1；当
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1
x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a>1 与
注意
0<a<1来研究
题型一 . 比较大小
1
1．设y ＝40.9，y ＝80.48，y ＝（ ）﹣1.5，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
2
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
3．设a＝（3 2， 2 3， 2 2，则a，b，c的大小关系是（ ）
)5 b=( )5 c=( )5
5 5 5
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log 3），则实数a，
2
b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
题型二 . 指数函数的图像与性质
1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞
4 1
0，则 + 的最小值为（ ）
m n
9 5
A． B．9 C．5 D．
2 2
1 1
2．已知实数a、b满足等式（ ）a＝（ ）b，给出下列五个关系式：
2 3
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定
成立的是 ．（只填序号）
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．4．若函数 f（x） =
{x2−ax+a(x＜0)是
R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是
(4−2a) x (x≥0)
（ ）
3
A．[0，2） B．( ，2) C．[1，2] D．[0，1]
2
1
{ x−1，x≥0
5．设函数f（x） 2 若f（a）＞1，则实数a的取值范围是 ．
=
1
，x＜0
x
6．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b
题型三 . 指数型函数的定义域、值域——复合函数
1
1．函数y=( ) 3+2x−x2 的定义域为 ，值域为 ．
2
2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于
．
3．已知f（x） 的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
=√3x2+2ax−a−1
1
ax2−4x+3
4．已知函数f（x）＝（ ） ，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．
3
5．若函数 的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是 ．
y=√4x+a⋅2x+1
6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞） B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4] D．（﹣∞，﹣8]
