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专题四 《函数》讲义
5.3 指数函数
知识梳理 . 指数函数
(1)根式的性质
①()n＝a(a使有意义)．
②当n是奇数时，＝a；
当n是偶数时，＝|a|＝
(2)分数指数幂的意义
①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a
是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0<a<1
图象
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
性质
当x>0时，恒有0<y<1；当
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1
x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a>1 与
注意
0<a<1来研究
题型一 . 比较大小
1
1．设y ＝40.9，y ＝80.48，y ＝（ ）﹣1.5，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
2
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2
【解答】解：利用幂的运算性质可得，
1
y ＝40.9＝21.8，y ＝80.48＝21.44，y ＝（ ）﹣1.5＝21.5，
1 2 3
2
再由y＝2x是增函数，知y ＞y ＞y ．
1 3 2
故选：D．
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；
故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，
函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；
故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，
故b＜a＜c，
故选：C．
3．设a＝（3 2， 2 3， 2 2，则a，b，c的大小关系是（ ）
)5 b=( )5 c=( )5
5 5 5
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：∵ 2在x＞0时是增函数
y=x5
∴a＞c
2
又∵y=( ) x在x＞0时是减函数，所以c＞b
5
故选：A．
4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log 3），则实数a，
2
b，c的大小关系为（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．
∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log 3），1＜log 3＜2＜21.1．
2 2
则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选：D．
题型二 . 指数函数的图像与性质
1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞
4 1
0，则 + 的最小值为（ ）
m n
9 5
A． B．9 C．5 D．
2 2
【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2
4 1 1 4 1 1 m 4n 9
∴ + = ( + )(m+n)= (5+ + )≥
m n 2 m n 2 n m 2
m 4n 4 2 9
当且仅当 = ，即m= ，n= 时取得最小值 ，
n m 3 3 2
故选：A．
1 1
2．已知实数a、b满足等式（ ）a＝（ ）b，给出下列五个关系式：
2 3
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1
【解答】解：画出指数函数的图象：f(x)=( ) x，g（x）=( ) x．
2 3
1 1
满足等式（ ）a＝（ ）b，
2 3
有①0＜b＜a；②a＜b＜0；⑤a＝b＝0，三个．
而③0＜a＜b；④b＜a＜0；不可能成立．
故选：B．3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定
成立的是 ③ ．（只填序号）
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：
∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），
∴由图象知，a＜0，c＞0，b符号不确定，
故①错误，②错误，
由f（a）＞f（c）得|2a﹣1|＞|2c﹣1|，即﹣2a+1＞2c﹣1，
得2a+2c＜2，故③正确，
1 3
当a＝﹣2，c= 时，f（a）= ，f（c）=√2−1，满足f（a）＞f（c），
2 4
但2﹣a＝22＝4，2c=√2，则2﹣a＜2c．不成立，故④错误，
故正确的是③，
故答案为：③．
4．若函数 f（x） =
{x2−ax+a(x＜0)是
R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是
(4−2a) x (x≥0)
（ ）
3
A．[0，2） B．( ，2) C．[1，2] D．[0，1]
2
【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，
则函数只能是单调递减函数，−a
{ − ≥0
则满足 2 ，
0＜4−2a＜1
a≥(4−2a) 0
a≥0
{
即 3 ，
＜a＜2
2
a≥1
3
解得 ＜a＜2，
2
故选：B．
1
{ x−1，x≥0
5．设函数f（x） 2 若f（a）＞1，则实数a的取值范围是 a ＞ 4 ．
=
1
，x＜0
x
1
【解答】解：当a≥0时，由 a−1＞1得：a＞4，
2
1
当a＜0时，不等式 ＞1无解，
a
综上满足f（a）＞1的实数a的取值范围是：a＞4
故答案为a＞4
6．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b
【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，
设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，
画出f（x），g（x）的图象如下：根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），
0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；
当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝g（b）可能成立，B正确；
当a＝b时，显然成立，
当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，
故选：ABD．
题型三 . 指数函数的定义域、值域
1 1
1．函数y=( ) 3+2x−x2 的定义域为 R ，值域为 [ ，+∞ ） ．
2 16
1
【解答】解：∵不论函数 y=( ) 3+2x−x2 中的 x 取何值，函数总有意义，∴函数 y
2
1
=( ) 3+2x−x2的定义域为R．
2
1 u
令u＝3+2x﹣x2，则y=( ) ．
2
∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u （﹣∞，4]
1 u ∈
∵函数y=( ) 为u的减函数，且u （﹣∞，4]
2
∈
1 u 1 1
∴( ) [ ，+∞），即y [ ，+∞），
2 16 16
∈ ∈
1
∴函数的值域为[ ，+∞），
16
1
故答案为[ ，+∞）
16
2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于 √3
．
【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，
则{ f(0)=0
f(2)=a2−1=2
解得：a=√3
当a＜1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，则{f(0)=2无解
f(2)=0
故a=√3
故答案为：√3
3．已知f（x） 的定义域为R，则实数a的取值范围是 [ ﹣ 1 ， 0 ] ．
=√3x2+2ax−a−1
【解答】解：∵f（x） 的定义域为R，
=√3x2+2ax−a−1
∴ 0对任意x R恒成立，
3x2+2ax−1−1≥
∈
即 恒成立，
3x2+2ax−a≥1=30
即x2+2ax﹣a≥0对任意x R恒成立，
∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1∈≤a≤0．
故答案为：[﹣1，0]．
1
ax2−4x+3
4．已知函数f（x）＝（ ） ，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．
3
【解答】解：
由指数函数的性质知，要使y＝f（x）的值域是（0，+∞），
应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，
若a≠0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，
∴a的值是0．
5．若函数 的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣ 2 ]
y=√4x+a⋅2x+1
．
【解答】解：设g（x）＝4x+a•2x+1，
若函数 的值域为[0，+∞），
y=√4x+a⋅2x+1
则等价为[0，+∞）是g（x）值域的子集，
g（x）＝4x+a•2x+1＝（2x）2+a•2x+1，
设t＝2x，则t＞0，
则函数g（x）等价为y＝h（t）＝t2+at+1，
∵h（0）＝1＞0，a
∴当对称轴t=− ≤0，即a≥0时，不满足条件．
2
a
当t=− ＞0，即a＜0时，则判别式△＝a2﹣4≥0，
2
{ a＜0
即 ，则a≤﹣2，
a≥2或a≤−2
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，
故答案为：（﹣∞，﹣2]
6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞） B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4] D．（﹣∞，﹣8]
【解答】解：∵a+4 32x+4，
=−
3x
令3x＝t（t＞0），则 32x+4 4
− =−(t+ )
3x t
因为 4 4，所以 32x+4 4，
(t+ )≥ − ≤−
t 3x
∴a+4≤﹣4，
所以a的范围为（﹣∞，﹣8]
故选：D．
