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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 10 讲 指数与指数函数（精讲）
题型目录一览
①指数幂的化简与求值
②指数函数的图像与性质
③解指数方程与不等式
④指数函数的综合应用
★【文末附录-指数运算和指数函数思维导图】
一、知识点梳理
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， ，记为 ， 称为根指数， 称为
根底数．
(2)根式的性质：
当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
当 为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 中的一个参数， 为底数， 为指数，指数位于底数的右上角，幂
运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 ；②零指数幂 ；
③负整数指数幂 ， ；④ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
① ， ， ；② ， ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．2.指数函数
y y
a (1,a)
1 (1,a) 1
a
图象 O 1 x O 1 x
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性质
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【常用结论】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函
数在 上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．6．（2020·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型 一 指数幂的化简与求值
策略方法指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【典例1】计算：(1) ；
(2)已知： ，求 的值.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）A．设 则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 ______
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，化简二次根式 的值是________
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 =__________
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的值为__________．
三、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）若 ，求 的值．
8．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算： ；
（2）已知 是方程 的两根，求 的值.
题型二 指数函数的图像与性质
策略方法 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思
路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
【典例1】函数 有两个不同的零点，则 （ 且 ）的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【典例2】已知函数 的图像恒过一点P，且点P在直线 的
图像上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【典例3】比较下列几组值的大小：
(1) 和 ； (2) 和 ；
(3) 和 ； (4) ， ， ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数 ， ， 中一个的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 （ 且 ）与函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数 （其中 ， ）的图象
恒过的定点是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（ ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
6．（2023·天津·一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·北京东城·统考二模）设函数 ，若 为增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点 在函数 的图象上，当 ，则
可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）请写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ____________．
① ；②对任意 ，当 时， ；③ ．
11．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知 为 上的奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为___________.12．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为
____________．
四、解答题
13．（2023·全国·高三练习）已知函数 （a为常数）和函数 ，且
为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)设不等式 恒成立，试求实数 的范围．
题型三 解指数方程与不等式
策略方法 指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
【典例1】不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是______．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·海南·统考模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
2．（2023·河北·高三学业考试）设函数 则满足 的 取值范围是
A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+ ） D．[0,+ ）
3．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 有实数解，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习） ， ， ,则实数 的取值范围为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于原点对称，若 ，则 的
取值范围为________．
三、解答题
7．（2023·全国·高三练习）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
8．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数 ，与 的图
象关于直线 对称的图象过点 .(1)求 的值；
(2)求不等式 的解集.
题型四 指数函数的综合应用
策略方法 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数
时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、
对称性及周期性解决问题．
【典例1】函数 单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】 已知 是定义在 上的奇函数，对任意正数 ， ，都有 ，且
，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，下列关于函数 的说法错误的是（ ）
A．函数 的图象关于原点对称
B．函数 的值域为
C．不等式 的解集是
D． 是增函数
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，使不等式 成立的一个必要不充
分条件是（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 .若对任意的
都有不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）.
A． B． C．1 D．
二、多选题
4．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数 ，则（ ）
A．函数 是增函数
B．曲线 关于 对称C．函数 的值域为
D．曲线 有且仅有两条斜率为 的切线
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数 ，对于任意的 ， ， ，关于
的方程 的解集可能的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调减区间是_______．
7．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的单调区间___________.
8．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则函数 的值域为
___________.
9．（2023·云南·校联考二模） ，其最大值和最小值的和为____________．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 在区间 上的值域为 .
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 当 上恒成立，求实数k的取值范围.
【附录-指数运算和指数函数思维导图】
