文档内容
考点 06 指数函数（7 种题型 2 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022·全国·统考高考真题 指数函数的单调性 利用指数函数的单调性比较大小
2022·全国·统考高考真题 导数判断其单调性 利用指数函数的单调性比较大小
二、命题规律与备考策略
方法一：（指对数函数性质）
方法二：【最优解】（构造函数）
方法三：构造法
方法四：比较法
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不
等式，换底公式可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所
以 ，即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 1故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，
属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，
简单明了，是该题的最优解．
2．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
学科网（北京）股份有限公司 2则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
四、考点清单
一．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定： ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
∈
＝ ＝ （a＞0，m，n N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
∈
常考题型：
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、 ＝a C、 ＝3
D、 ＝a （a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵ ，
∴B不正确；
∵ ，
∴C正确；
学科网（北京）股份有限公司 3∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计
算题．
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂： ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
∈
②负分数指数幂： ＝ ＝ （a＞0，m，n N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
∈
．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r， ∈s Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞ ∈0，r Q）．
常考题型：
∈
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、
1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
R，值域是（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
学科网（北京）股份有限公司 43、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集
R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝ ，x＝ 在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．
三．指数函数的图象与性质
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象
限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
四．指数型复合函数的性质及应用
学科网（北京）股份有限公司 5指数型复合函数性质及应用：
指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x）
复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理
U＝g（x） y＝au y＝ag（x）
增 增 增
减 减 增
增 减 减
减 增 减．
五．指数函数的单调性与特殊点
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论 a
的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，
一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值
就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数
自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减
小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”
若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的
增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外
层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
六．指数函数的实际应用
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数
形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等
变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研
究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
七．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
y＝ax a＞1 0＜a＜1
学科网（北京）股份有限公司 6图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象
限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝ 的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
五、题型方法
一．有理数指数幂及根式（共5小题）
1．（2022•临川区校级模拟）若实数a，b满足a6＜a5b，则下列选项中一定成立的有（
）
A．a＜b B．a3＜b3 C．ea﹣b＞1 D．
【分析】利用特值法可排除选项A、B、C，分类讨论可判断选项D．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a6＜a5b成立，
但a＜b，a3＜b3，ea﹣b＞1都不成立，
故选项A、B、C都不成立，
若a＜0，则b＜a＜0，
故0＜ ＜1，
学科网（北京）股份有限公司 7若a＞0，则b＞a＞0，
故0＜ ＜1，
故ln（ ）＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了指数幂的运算及分类讨论的思想应用，属于基础题．
2．（2022•海淀区二模）已知x，y R，且x+y＞0，则（ ）
∈
A． + ＞0 B．x3+y3＞0 C．lg（x+y）＞0 D．sin（x+y）＞0
【分析】利用不等式的性质和通过举反例进行排除即可得到．
【解答】解：对于A，当x＝10，y＝﹣1时，x+y＞0，但 ＝﹣ ＜0，故A错误；
对于B，x，y R，且x+y＞0，x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x﹣ ）2+
]＞0，故B正确；
∈
对于C，当x+y＝0.1＞0时，lg（x+y）＜0，故C错误；
对于D，当x+y＝ ＞0时，sin（x+y）＝sin ＝﹣1＜0，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，是基础题．
3．（2022•天津模拟）已知2x＝24y＝3，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出结论．
【解答】解：∵2x＝24y＝3，
∴x＝log 3，y＝log 3，
2 24
∴ ＝ ﹣ ＝3log 2﹣log 24＝log ＝﹣1，
3 3 3
故选：C．
【点评】本题考查了指数幂以及对数的运算性质，属于基础题．
（多选）4．（2023•汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2（x+y） B．xy＞16 C．x+y＜9 D．x2+y2＜32
【分析】把指数式化为对数式可得x＝log 36，y＝log 36，再利用对数的运算性质可判
2 3
断A，结合基本不等式可判断B，因为x+y＝4+2（ ），利用对勾函数y
学科网（北京）股份有限公司 8＝x+ 的单调性可判断C，由对数函数的性质得到x，y的范围，进而求出x2+y2＞34，
从而判断D．
【解答】解：∵2x＝3y＝36，
∴x＝log 36，y＝log 36，
2 3
∴ ＝log 2+log 3＝log 6＝ ，
36 36 36
∴ ，即xy＝2（x+y），故选项A正确，
由基本不等式可得 ＝ ＞2 ，∴xy＞16，故选项B正确，
x+y＝log 36+log 36＝2log 6+2log 6＝2（1+log 3+log 2+1）＝4+2（log 3+log 2）＝4+2
2 3 2 3 2 3 2 3
（ ），
∵ ，∴ ，
而对勾函数y＝x+ 在（ ，2）上单调递增，
∴ ＜2+ ＝ ，
∴x+y＜4+2× ＝9，故选项C正确，
∵x＝log 36＝2log 6＝2（1+log 3），∴x＞2（1+ ）＝5，
2 2 2
∴x2＞25，
∵y＝log 36＝2log 6＝2（1+log 2）＞3，∴y2＞9，
3 3 3
∴x2+y2＞34，故选项D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质以及对数函数
的性质，属于中档题．
（多选）5．（2022•汕头二模）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是
（ ）
A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac
C．4b•9b＝4a•9c D．
【分析】由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，则a＝log M，b＝log M，c＝
4 6
log M，再结合对数的运算性质求解．
9
学科网（北京）股份有限公司 9【解答】解：由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，
则a＝log M，b＝log M，c＝log M，
4 6 9
∴ ＝log 4， ， ，
M
∵log 4+log 9＝2log 6，∴ ，
M M M
即 ，去分母整理得ab+bc＝2ac，
故A，D正确，B错误，
又∵4b•9b＝36b，4a•9c＝6b•6b＝36b，
∴4b•9b＝4a•9c，故C正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于中档题．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共1小题）
6．（2021•浙江模拟）函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b
＝g（a）的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．
【解答】解：根据选项可知a≤0，
当a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|＝16，b＝4．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 10【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
三．指数函数的图象与性质（共4小题）
7．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据指数函数的图象求出a的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，
二次函数y＝ax2+x的顶点的横坐标为x＝﹣ ，
∵0＜a＜1，
∴ ，﹣ ＜﹣ ，
即横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣ ）．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的性质，根据条件求出a的取值范围是解决
本题的关键，属于基础题．
8．（2023•宿州模拟）已知3m＝4，a＝2m﹣3，b＝4m﹣5，则（ ）
A．a＞0＞b B．b＞0＞a C．a＞b＞0 D．b＞a＞0
【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log 3＞
2
log 4＞log 5，即可判断大小．
3 4
学科网（北京）股份有限公司 11【 解 答 】 解 ： 由 3m ＝ 4 m ＝ log 4 ，
3
⇒
，
，
∴log 3＞log 4＞log 5，
2 3 4
∴ ， ，
∴b＞0＞a．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，以及数值大小的比较，属于中档题．
9．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，
则a＝ 2 ．
【分析】利用指数函数的单调性求解．
【解答】解：函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上单调递增，
所以a2﹣a＝2，
解得a＝﹣1或2，
又∵a＞1，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．
10．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线
mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则 ﹣ 的最小值是 ．
【分析】求出函数所过的定点 A（1，1），则有 m+2n＝8，则 2n＝8﹣m，则
，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A（1，1），
则m+2n＝8，所以2n＝8﹣m，
由 ，得0＜m＜8，
则
学科网（北京）股份有限公司 12令t＝3m+8，t （8，32），则 ，
∈
则 ＝
，
当且仅当 ，即t＝16，即 时，取等号，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
四．指数型复合函数的性质及应用（共1小题）
11．（2021•眉山模拟）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向
世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文
物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰
变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物
样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，
已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是 5730年，以此推算出该
文物大致年代是（ ）（参考数据： ≈﹣19034.7，
68 ≈﹣34881）
A．公元前1400年到公元前1300年
B．公元前1300年到公元前1200年
C．公元前1200年到公元前1100年
D．公元前1100年到公元前1000年
【分析】设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，可得函数关
系式，然后利用半衰期构造方程，求出1﹣p，求出函数关系式，列出方程组，求解x的
值，即可得到答案．
【解答】解：设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，
则有y＝k（1﹣p）x，
由碳14的半衰期是5730年，则 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 13所以 ，
由题意可知， ＝68%k，
所以x＝ ＝ ﹣2 ≈3188，
2021年之间的3188年大致是公元前1167年，
则大致年代为公元前1200年到公元前1100年．
故选：C．
【点评】本题考查了指数型函数模型在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，寻
找合适的数学模型，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
五．指数函数的单调性与特殊点（共7小题）
12．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】利用中间值1.21.2比较a，b的大小，再让b，c与中间值1.31比较，判断b，c
的大小，即可得解．
【解答】解：a＝1.11.2＜1.21.2＜1.21.3＝b，又因为通过计算知1.24＜1.33，
所以（1.24）0.3＜（1.33）0.3，即1.21.2＜1.30.9，
又1.20.1＜1.30.1，所以1.21.3＜1.31＜1.31.1＝c，
所以a＜b＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题．
13．（2023•广州二模）已知 ， ， ，则（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】利用指数函数的性质比较a，b，c的大小可得答案．
【解答】解： ， ， ＝ ，
∵ ＞ ，y＝2x为增函数，
∴b＞c；
又a12＝38＝6561＞512＝29＝b12，
∴a＞b；
∴a＞b＞c．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数的单调性质及其应与，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 1414．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．e ＞ e＞3e B． e＞3e＞e C．e ＞3e＞e3 D．3e＞e ＞e3
π π π π
π π
【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣ ，x＞0，证明lnx≤ ，结合幂函数的性质能求出结
果．
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx﹣ ，x＞0，
则 ，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）内单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）内单调递减，
∴f（x） ＝f（e）＝lne﹣ ＝0，
max
∴lnx≤ （当且仅当x＝e时取等号），
∴ln ＜ ，ln2＜ ，ln3＜ ，∴e ＞ e，e2＞2e，e3＞3e，
π
∴e
π
＞ e＞3e．
π
π
故选：A．
π
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．
15．（2023•盐城一模）设a，b R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（ ）
A．1＜a＜b B．0＜b＜a C．b＜0＜a D．b＜a＜1
∈
【分析】由指数式的取值范围可得a＞0且b＞0，通过构造函数证明a＞b不成立，可得
到正确选项．
【解答】解：因为4b＝6a﹣2a＞0，
所以3a＞1，所以a＞0，
因为5a＝6b﹣2b＞0，
所以3b＞1，所以b＞0，排除选项C；
若a＞b，
则5a＞4a＞4b，
设f（x）＝6x﹣2x，
则f′（x）＝6xln6﹣2xln2，当x （0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∈
所以6a﹣2a＞6b﹣2b，即4b＞5a，矛盾，
故a＜b，排除选项BD．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 15【点评】本题主要考查指数值大小的比较，属于中档题．
16．（2023•建水县校级模拟）函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点
是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（1，1） D．（1，2）
【分析】令x﹣2＝0可得定点．
【解答】解：令x﹣2＝0，即x＝2，得y＝2，
函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点是（2，2）．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数图象过定点问题，属基础题．
17．（2023•大荔县一模）设a＝40.7， ，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（
）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】由指数运算化简b，再比较大小．
【解答】解：∵ ＝40.8，
而0.80.7＜1＜40.7＜40.8，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查了指数运算及指数函数单调性的应用，属于基础题．
18．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+log （x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过
a
定点 （ 4 ，﹣ 6 ） ．
【分析】由f（4）＝﹣6恒成立可直接得到定点坐标．
【解答】解：∵f（4）＝a0+log 1﹣7＝﹣6恒成立，
a
∴f（x）的图象必过定点（4，﹣6）．
故答案为：（4，﹣6）．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的特点，属于基础题．
六．指数函数的实际应用（共2小题）
19．（2023•沙坪坝区校级模拟）2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国
美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的
量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为 66个．已知1个超导量子比特
共有“|0＞，|1＞”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00＞，|01＞，|10＞，|11＞”4
种叠加态，3个超导量子比特共有“|000＞，|001＞，|010＞，|011＞，|100＞，|101＞，|
110＞，|111＞”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指
数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M
有（ ）个．（参考数据：lg2≈0.3010）
学科网（北京）股份有限公司 16A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据已知条件，结合指数、对数的运算公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，M个超导量子比特共有2M种叠加态，即N＝2M，
两边同时取以10为底的对数，即lgN＝lg2M＝Mlg2，
∵N是一个20位的数，
∴1019≤N≤1020，即19≤lgN≤20，
∴ ，
将lg2≈0.3010代入，推得63.1≤M≤66.4，即M＝64，65，66，共3种．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
20．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中 DNA的数量达到核酸探针能
检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA
的数量X （单位： g/ L）与PCR扩增次数n满足 ，其中X 为DNA的
n 0
初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 g/ L，核酸探针能检测到的DNA
μ μ
数量最低值为10 g/ L，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：
μ μ
lg1.6≈0.20）
μ μ
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】由题意可知，X ＝0.1，X ＝10，令10＝0.1×1.6n，结合对数函数的公式，解出
0 n
n，即可求解．
【解答】解：由题意可知，X ＝0.1，X ＝10，
0 n
令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，两边同时取对数可得，nlg1.6＝lg100＝2，
所以n＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的实际应用，属于基础题．
七．指数函数综合题（共1小题）
21．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）若 x ≠x ，f（x ）＝f（x ），求证：x +x ＜0．
1 2 1 2 1 2
∃
【分析】（1）由题可得f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x﹣ ），分
类讨论可得a＞1时，f（x） ＝f（ ）＝ ，即lna﹣1＝ln（lna），然后
max
通过构造函数h（x）lnx﹣x+1可求；
学科网（北京）股份有限公司 17（2）由题可得f（﹣x ）﹣f（x ）＝ （1+x ）﹣ （1﹣x ），构造函数m（x）
2 1 2 2
＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），利用导数可得m（x ）＞m（0）＝0，即得．
2
【解答】解：（1）由题意 x R，f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x﹣
∈
）．
由于ax＞0，
所以若﹣lna＞0，即0＜a＜1，
当x＜ 时，f′（x）＜0；当x＞ 时，f′（x）＞0；
即f（x）在（﹣∞， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，不合题意；
若﹣lna＜0，即a＞1，
当x＜ 时，f′（x）＞0；当x＞ 时，f′（x）＜0；
即f（x）在（﹣∞， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减，
f（x） ＝f（ ）＝ ，
max
所以 ＝lna，两边取自然对数得：lna﹣1＝ln（lna），
即ln（lna）﹣lna+1＝0，
令h（x）＝lnx﹣x+1，
则h′（x）＝ ﹣1＝ ，
易知0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调
递减，
∴h（x） ＝h（1）＝0，
max
即lnx﹣x+1＝0的根为1，
所以lna＝1，
即a＝e；
（2）由（1）知f（x）＝ex（1﹣x），且在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单
调递减，
f（1）＝0，f（0）＝1，
当x→﹣∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→﹣∞，
由f（x ）＝f（x ）（x ≠x ），不妨设x ＜0＜x ＜1，
1 2 1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司 18则f（﹣x ）﹣f（x ）＝f（﹣x ）﹣f（x ）＝ （1+x ）﹣ （1﹣x ），
2 1 2 2 2 2
令m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），
于是m′（x）＝x（ex﹣e﹣x）＞0，
所以m（x）在（0，1）上单调递增，
所以m（x ）＞m（0）＝0，
2
所以f（﹣x ）＞f（x ），且x ，﹣x （﹣∞，0），
2 1 1 2
从而x
1
＜﹣x
2
，
∈
即x +x ＜0．
1 2
【点评】本题考查了转化思想求函数的最值及极限思想，第一问利用导数通过分类讨论
得到 ＝lna，通过两边取对数，构造函数h（x）＝lnx﹣x+1，再利用导数求a的
值；第二问关键是构造函数m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），然后利用
导数与单调性的关系即证，属于难题．
六、易错分析
易错点1:幂函数中忽视定义域致错
1.已知幂函数f(x)＝x ，若f(a＋1)10−2a
，
解得3＜a. 答案：(3,＋∞)．
【错因】没有考虑函数的定义域，
【正解】∵f(x)＝x ＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴
解得3＜a＜5. 答案：(3,5)
易错点2：使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错
2.已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【错解】选D 令t＝2x，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.
当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]时，t∈(－∞,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；
当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
【错因】没有考虑新元t的取值范围，因为2x>0，所以t>0。
【正解】选D 令t＝2x(t>0)，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.当x∈[2,4]
学科网（北京）股份有限公司 19时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时
y∈[1,3)，不满足题意；当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足
题意；当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
七、刷基础
一．选择题（共7小题）
1．（2023•沭阳县校级模拟）设 ＜ ＜ ＜1，那么（ ）
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数
和幂函数利用其单调性求解．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ＜1且y＝（ ）x在R上是减函数．
∴0＜a＜b＜1
∴指数函数y＝ax在R上是减函数
∴ab＜aa
∴幂函数y＝xa在R上是增函数
∴aa＜ba
∴ab＜aa＜ba
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性．
2．（2022•山西二模）已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】利用指数函数的性质求解．
【解答】解：∵指数函数y＝ 在R上单调递减，且0＜ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
即b＞c＞a，
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 203．（2022•西安模拟）已知函数f（x）＝2|x﹣1|，若a＜b＜1，且a+c＞2，则（ ）
A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（b）＜f（a）＜f（c） D．f（a）＜f（c）＜f（b）
【分析】作出f（x）的图象，易知该函数在区间（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上
单调递增，再根据a，b，c的范围判断f（a），f（b），f（c）的大小．
【解答】解：作出 f（x）的图象如图：该函数在区间（﹣∞，1]上单调递减，在
[1，+∞）上单调递增，且关于直线x＝1对称，
因为a＜b＜1，且a+c＞2，所以f（2﹣a）＝f（a）＞f（b），而c＞2﹣a＞1，故f（c）
＞f（2﹣a），
所以f（b）＜f（a）＜f（c）．
故选：C．
【点评】本题考查指数函数的图像和性质，属于基础题．
4．（2022•福田区校级一模）已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为（
）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】直接利用函数的性质和平方法的应用判断a、b、c的大小关系．
【解答】解：由于 ， ，由于函数f（x）＝ 在（0，+∞）上单
调递增，故b＞a；
由于 ，所以c6＝16，b6＝27，所以b＞c，
同理a12＝29，c12＝44＝28，故a＞c，
所以b＞a＞c，即c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，平方法，主要考查学生的运算能力和数学
学科网（北京）股份有限公司 21思维能力，属于基础题．
5．（2022•四川模拟）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于A，B，作出y＝2x和y＝x2在第一象限的图象可判断正误，对于C，D，利
用指数函数和对数函数的性质可判断正误．
【解答】解：作出y＝2x和y＝x2在第一象限的图象，如图所示，
其中y＝2x的图象用虚线表示，y＝x2的图象用实线表示，
∴当0＜x＜2时，有2x＞x2；当2＜x＜4时，有2x＜x2；当x＞4时，有2x＞x2，
∵2 ，∴ ，故A正确，
∵ ，∴ ，故B错误，
对于C：∵ ，而 ，∴ ，故C错误，
对于D：∵ ，而 ，∴ ，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查了数形结合
的数学思想，属于中档题．
6．（2022•安康模拟）已知1＜a＜b＜e（为自然对数的底数），则（ ）
A．ab＞ba B． C．aa＞ D．
【分析】对 ab，ba， 这三个数先取自然对数再除以 ab，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 22， ＝ ，构造函数f（x）＝ ，利用导数可得f（x）在（0，
e）上单调递增，从而得到ab，ba， 这三个数的大小关系．
【解答】解：∵1＜a＜b＜e，
∴ab＞aa＞a0＝1，ba＞b0＝1，0＜log a＜log b＝1，
b b
对 ab，ba， 这三个数先取自然对数再除以 ab，则 ，
， ＝ ＝ ，
构造函数f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，
由f'（x）＞0得0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，
∴f（a）＜f（b）＜f（e），即 ，
∴ab＜ba＜ ，
∴ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三个数比较大小，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中
档题．
7．（2022•西安模拟）已知f（x）＝2x﹣（ ）x，若f（m）+f（n）＞0，则（ ）
A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．m﹣n＞0 D．m﹣n＜0
【分析】先判断f（x）是定义域R上的奇函数，且是增函数，再由f（m）+f（n）＞0
得出m＞﹣n，即可得出结论．
【解答】解：由f（x）＝2x﹣（ ）x，x R；
∈
所以f（﹣x）＝2﹣x﹣ ＝ ﹣2x＝﹣f（x），
所以f（x）是定义域R上的奇函数，且是增函数；
又f（m）+f（n）＞0，
所以f（m）＞﹣f（n）＝f（﹣n），
学科网（北京）股份有限公司 23所以m＞﹣n，
所以m+n＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性应用问题，也考查了推理能力，是中档题．
二．填空题（共3小题）
8．（2022•阿勒泰地区模拟）函数y＝ax﹣1+1图象过定点A，点A在直线mx+ny＝3（m＞
1，n＞0）上，则 最小值为 ．
【分析】由题可知A（1，2），将其代入mx+ny＝1，得m+n＝1，再利用“乘1法”即
可求得 的最小值．
【解答】解：由y＝ax﹣1+1，令x﹣1＝0，求得x＝1，y＝2，可得它的图象过定点 A
（1，2），
∵点A在直线mx+ny＝3（m＞1，n＞0）上，∴m+2n＝3，即m﹣1+2n＝2．
则 ＝（ ）•（ ）＝ ＝ ．
当且仅当 ，即m＝ 时等号成立．
故答案为： ．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查指数函数的性质，运用了“乘1法”，
考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9．（2022•3月份模拟）已知实数a，b满足2a+2b+1＝4a+4b，则t＝2a+2b的取值范围是
（ 1 ， ] ．
【分析】令x＝2a，y＝2b（x＞0，y＞0），则已知可化为（x﹣ ）2+（y﹣1）2＝ ，则
点（x，y）在以（ ，1）为圆心， 为半径的圆上的第一象限的部分，则所求可以看
成直线t＝x+y过圆（x﹣ ）2+（y﹣1）2＝ 在第一象限的部分的最值问题，由此能求
出结果．
【解答】解：令x＝2a，y＝2b（x＞0，y＞0），则x+2y＝x2+y2，t＝x+y，
则（x﹣ ）2+（y﹣1）2＝ ，
则点（x，y）在以（ ，1）为圆心， 为半径的圆上的第一象限的部分，
学科网（北京）股份有限公司 24如图，设圆（x﹣ ）2+（y﹣1）2＝ 与x轴交于A，与y轴交于B，
当y＝0时，x＝1，则A（1，0），
当x＝0时，y＝2，则B（0，2），
当直线t＝x+y过A（1，0）时，t＝1，
∴t＞1，
当直线t＝x+y与圆（x﹣ ）2+（y﹣1）2＝ 相切于第一象限时，t取得最大值，
则 ＝ ，解得t＝ 或t＝ （舍），
∴t＝2a+2b的取值范围是（1， ]．
故答案为：（1， ]．
【点评】本题考查代数式的取值范围的求法，考查函数性质、换元法等基础知识，考查
运算求解能力，是中档题．
10．（2022•三河市模拟）已知3a＝5b＝A，则 ，则A等于
【分析】因为3a＝A，所以3＝ ，同理5＝ ，将5＝ 平方与3＝ 相乘，根据
有理数指数幂的乘法法则可得75＝ ，而 已知，故可求出A的值．
【解答】解：∵3a＝5b＝A，
∴3＝ ①，5＝ ②，
将②式平方得25＝ ③，
学科网（北京）股份有限公司 25①×③得75＝ ＝ ＝A2，
∵3a＝5b＝A＞0，
∴A＝ ＝5 ，
故答案为5 ．
【点评】本题主要考查了恒等式an＝b（a＞0），则a＝ ，结合已知和有理数指数幂
的运算法则灵活运算．
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•邢台月考）设 ， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．a2+b2≥2
C． D．
【分析】设函数f（x）＝ ，判断f（x）是R上的单调递减函数，得出1＞a＞b
＞0，由此判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：设函数f（x）＝ ，
则f（x）＝ ＝ + ，
因为函数y＝2x+1在R上为单调递增函数，
所以函数y＝ 在R上为单调递减函数，
所以f（x）在R上为单调递减函数，
所以f（2020）＞f（2021）＞0，
即a＞b＞0，所以0＜ ＜1，
所以 ﹣ ＝ ＜0，即 ＜ ，选项A错误；
学科网（北京）股份有限公司 26因为0＜a＝ ＜1，0＜b＝ ＜1，
所以a2+b2＜2，选项B错误；
因为（a﹣ ）﹣（b﹣ ）＝（a﹣b）+（ ﹣ ）＝（a﹣b）（1+ ）＞0，
所以a﹣ ＞b﹣ ，选项C正确；
因为 ﹣ ＝ ＜0，所以 ＜ ，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
2．（2022秋•通许县月考） ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【分析】根据幂的运算法则，计算a6、b6和c6，再比较大小即可．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以a＞0，b＞0，c＞0，
计算a6＝23＝8，b6＝32＝9，c6＝6，
所以b6＞a6＞c6＞0，
所以b＞a＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的运算法则与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
3．（2022•新华区校级开学）若实数m，n，p满足m＝4 ，n＝5 ，p＝ ，则（
）
A．p＜m＜n B．p＜n＜m C．m＜p＜n D．n＜p＜m
【分析】利用作商法比较大小即可．
【解答】解：实数m，n，p满足m＝4 ，n＝5 ，p＝ ，
＝ ＝ • ＜1，
∴m＜n；
学科网（北京）股份有限公司 27＝ ＝ • ＞1，
∴m＞p；
∴p＜m＜n．
故选：A．
【点评】本题考查了比较大小的应用问题，是基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022秋•永安市期中）已知函数f（x）＝ax（a＞1），g（x）＝f（x）﹣f
（﹣x），若x ≠x ，则（ ）
1 2
A．f（x ）f（x ）＝f（x +x ）
1 2 1 2
B．f（x ）+f（x ）＝f（x x ）
1 2 1 2
C．x g（x ）+x g（x ）＞x g（x ）+x g（x ）
1 1 2 2 1 2 2 1
D．g（ ）≤
【分析】根据函数f（x）＝ax（a＞1）是指数函数，且为单调增函数，得出 g（x）＝f
（x）﹣f（﹣x）为单调增函数，
结合题意对选项中的命题分别判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝ax（a＞1）是单调增函数，
所以g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝ax﹣a﹣x＝ax﹣ 为单调增函数，
所以f（x ）•f（x ）＝ ＝f（x +x ），选项A正确；
1 2 1 2
又f（x ）+f（x ）＝ + ≠ ＝f（x x ），选项B错误；
1 2 1 2
因为[x g（x ）﹣x g（x ）]﹣[x g（x ）﹣x g（x ）]
1 1 1 2 2 1 2 2
＝x [g（x ）﹣g（x ）]﹣x [g（x ）﹣g（x ）]
1 1 2 2 1 2
＝（x ﹣x ）[g（x ）﹣g（x ）]，x ≠x ，
1 2 1 2 1 2
所以x ＞x 时，g（x ）＞g（x ），[x g（x ）﹣x g（x ）]﹣[x g（x ）﹣x g（x ）]＞
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
0，
所以x g（x ）+x g（x ）＞x g（x ）+x g（x ），选项C正确；
1 1 2 2 1 2 2 1
因为函数g（x）＝ax﹣a﹣x为R上的单调增函数，且图象关于原点对称，
以a＝2为例，画出函数g（x）＝2x﹣2﹣x的图象，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 28所以不满足g（ ）≤ ，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质，也考查了数形结合思想，是中档题．
三．填空题（共1小题）
5．（2022秋•宝山区期末）若函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值
之和为12，则实数a＝ 3 ．
【分析】对底数a分类讨论，根据单调性求得最大值与最小值，
列出方程求解可得a的值．
【解答】解：①当0＜a＜1时，
函数y＝ax在[1，2]上为单调减函数，
∴函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值分别为a，a2，
由函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值和为12，
∴a+a2＝12，
解得a＝3（舍）或a＝﹣4（舍去）；
②当a＞1时，
函数y＝ax在[1，2]上为单调增函数，
∴函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值分别为a2，a，
由函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值和为12，
∴a+a2＝12，
解得a＝3或a＝﹣4（舍去）．
综上，实数a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数最值的应用问题，解题时可对a进行讨论，是基础题．
四．解答题（共1小题）
6．（2022秋•巨野县校级月考）已知函数f（x）＝b•ax（其中a，b为常量，且a＞0，
学科网（北京）股份有限公司 29a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式（ ）x+（ ）x﹣m≥0在x （﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）＝b•ax（其中
∈
a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过
点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）＝b•ax，解此方程
组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（ ）x+（ ）x≥m在（﹣∞，
1]上恒成立，只需保证函数y＝（ ）x+（ ）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，
利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）＝b•ax，得
结合a＞0且a≠1，解得：
∴f（x）＝3•2x．
（2）要使（ ）x+（ ）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝（ ）x+（ ）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝（ ）x+（ ）x在（﹣∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝（ ）x+（ ）x有最小值．
∴只需m≤ 即可．
【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性
求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
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