文档内容
第 05 讲 指数与指数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：指数与指数幂的运算
高频考点二：指数函数的概念
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象； ②根据指数型函数图象求参数
③指数型函数图象过定点问题； ④指数函数图象应用
高频考点四：指数（型）函数定义域
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间 上的值域； ②指数型复合函数值域
③根据指数函数值域（最值）求参数
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性； ②由指数（型）函数单调性求参数
③判断指数型复合函数单调性； ④比较大小
⑤根据指数函数单调性解不等式
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
②根据指数函数最值求参数
③含参指数（型）函数最值
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 指数与指数函数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、根式的概念及性质（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．
（2）性质：
① ( 且 )；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 ( ，且 )叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
定义域为 ，值域为
图象过定点
当 时，恒有
性质 当 时，恒有 ；
；
当 时，恒有
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
指数函数 ( ，且 )的图象和性质与 的取值有关，应分
注意
与 来研究第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数 （ 且 ）的图象必过定点 (
)
【答案】正确
解：令 得， ，此时 ，
函数 的图象必过定点 ，
故答案为：正确
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）
( )
【答案】正确
，判断正确
故答案为：正确．
二、单选题
1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数 在 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为函数 是单调递增函数，
所以函数 也是单调递增函数，
所以 .
故选：C
2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数 （ ，且 ），且 ，则 的
取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由指数函数 （ ，且 ），且根据指数函数单调性可知
所以 ，
故选：A
3．（2022·北京·高三专题练习）若函数 （ 且 ）的图像经过定点P，则点P的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，所以当 ，即 时，函数值为定值0，所以点P坐标为 .
另解：因为 可以由 向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由
过定点 ，所以 过定点 .
故选：B
4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为指数函数 在R上单调递减，
所以 ，得 ，
所以实数a的取值范围是 ，
故选：D
5．（2022·北京·高三专题练习）若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
由题意可得 ，解得 .
故选：C.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：指数与指数幂的运算
1．（2022·广东肇庆·高一期末）设 ， ，则 （ ）A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
故选：B
2．（2022·上海杨浦·高一期末）设 ，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
， ， ，
故选：C
3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：对A： ，故选项A错误；
对B： ，故选项B正确；
对C： ， 不能化简为 ，故选项C错误；
对D：因为 ，所以 ，故选项D错误.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）化简 的结果为（ ）
A．－ B．－C．－ D．－6ab
【答案】C
原式＝ .
故选：C.
高频考点二：指数函数的概念
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数 ，且a≠1)的图象经过点 ，则f(-2)= （ ）
A． B． C． D．9
【答案】D
由 ，解得 ，所以 ．
故选：D.
2．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数 在 上单调递增，则
的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
解得 ，
又函数在 上单调递增，则 ，
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）函数 是指数函数，则（ ）
A． 或 B． C． D． 且
【答案】C
因为函数 是指数函数
所以 ， 且 ，
解得 .
故选：C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A． B． C． D．【答案】D
指数函数 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1
则 解得a=
故选D
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象
1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由函数 ，
得 ，所以函数为偶函数，故排除AB，
当 时， ，
所以函数在 上是减函数，故排除D.
故选：C.
2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数 的图像的大致形状是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
根据
，
是减函数， 是增函数.
在 上单调递减，在 上单调递增
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
试题分析：由 ， 在 上单调递减，所以排除 ；
令 ， ，C正确．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的图象可能是 ( )
A． B．C． D．
【答案】C
①当 时，函数 可以看做函数 的图象向下平移 个单位，由于 ，则A错
误；
又 时， ，则函数 过点 ，故B错误；
②当 时，函数 可以看做函数 的图象向下平移 个单位，由于 ，则
D错误；
又 时， ，则函数 过点 ，故C正确；
故选：C
②根据指数型函数图象求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，其中 ， 为常数，则下列结论正确的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
由 ，可得 ，
因为由图像可知函数是减函数，所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 与 的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由图可知， 单调递增，则 ； 单调递减，则 ，
A： 0不一定成立，如 ；
B： 不一定成立，如 ；
C： ，成立；
D： 不成立， ， ， .
故选：C.
3．（2021·全国·高一专题练习）函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
由函数 的图像可知，函数 在定义域上单调递减， ，排除AB选项；
分析可知：函数 图像是由 向左平移所得， ， .故D选项正确.
故选：D
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数 的图象如图所示，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
根据图象，函数 是单调递减的
所以指数函数的底
根据图象的纵截距，令 ，
解得
即 ，
故选：D.
③指数型函数图象过定点问题
1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数 且 的图象恒过定点（ ）
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－2)
【答案】A
由题意，函数 且 ，
令 ，解得 ，
，
的图象过定点 ．故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 过定点 ，以 为顶点且过原点的二次函数 的解析
式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
对于函数 ，当 时， ，
所以函数 过定点 ，
设以 为顶点且过原点的二次函数 ，
因为 过原点 ，
所以 ，解得： ，
所以 的解析式为： ，
故选：A.
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当 时， ，故 ，所以不等式为 ，解得
，所以不等式的解集为 .
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数
的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
且 恒过定点 则函数 恒过定
点 且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：B
④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
当 时， 是减函数， ， ，D选项错误，C选项符合.
当 时， 是增函数， ， ，AB选项错误.
故选：C
2．（2021·全国·高一课时练习）函数 ，且 ）与 的图像大致是
A． B． C． D．
【答案】A
由题知，直线 的斜率为 ，故排除选项C、D，又由选项A、B中的图像知 ，当 时，
，所以A正确，B错误．
故选A．
3．（2021·全国·高一课时练习）若 ， ，则函数 的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】A
由 可得函数 的图像单调递增，且过第一、二象限，由 可得把 的图像向下平移
个单位可得 的图像，结合 可知，图像过第一、二、三象限．
故答案为A
高频考点四：指数（型）函数定义域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由题意得： ，
故 ，故 ，
解得： ，
故函数 的定义域是 ，
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由 得 ，即 .
故选：D.
3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a＞0 B．a＜1
C．0＜a＜1 D．a≠1
【答案】C
要使函数 且 有意义,
则 ,
即 ,当 时， ；
当 时， ，
因为 的定义域为
所以可得 符合题意，
的取值范围为 ，故选C.
4．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 即 可得
所以 的定义域为 ，
令 ，可得 ，所以函数 的定义域为 ，
故选：A．
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间 上的值域
1．（2022·全国·高一）当x [-1，1]时，函数f(x)=3x-2的值域为________
【答案】
因为x [-1，1]，
所以 ，
所以 ，
所以f(x)=3x-2的值域为 ，
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=9x﹣a 3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为
g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．【答案】（Ⅰ）g（a）= ；（Ⅱ）m≤﹣ 或m≥ ．
解：（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，则f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2．
当 ≤2，即a≤ 时，g（a）=h（u） =h（3）=a2﹣9a+9；
max
当 ，即a＞ 时，g（a）=h（u） =h（1）=a2﹣3a+1；
max
故g（a）= ；
（Ⅱ）当a≤ 时，g（a）=a2﹣9a+9，g（a）min=g（ ）=﹣ ；
当a 时，g（a）=a2﹣3a+1，g（a）min=g（ ）=﹣ ；
因此g（a）min=g（ ）=﹣ ；
对于任意任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立等价于﹣m2+tm≤﹣ ．
令h（t）=mt﹣m2，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t∈[﹣2，2]都有h（t）≤﹣ 等价于
，即 ，
解得m≤﹣ 或m≥ ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求函数 在 的值域；
【答案】（1） ；
（1）当 时， ，
令 ， ，则 ，
故 ， ，故值域为 ；
4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数 且 ，函数 .
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在区间 上有实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
(1)
由 ，可得： ，解得： ，
∴ ；
(2)
由 ，可得 ，
令 ，则 ，
则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝ 在 上有交点，
数形结合可知m∈[h( )，h(4)]＝ .
故实数 的取值范围为： .
②指数型复合函数值域
1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴函数 的值域为 ，
故选：D
2．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数 的值域为______．
【答案】
由于 ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是___________.
【答案】
因为 ，设 ,
,
在 上单调递增,
所以
故答案为： .
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)若 有最大值16，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)
当 时， .
因为 在R上单调递增，且 ，可得 ，所以 ，
故 的值域为 .
(2)
令 ，因为函数 在其定义域内单调递增，
所以要使函数 有最大值16，则 的最大值为4，
故 解得 .
故 的值为 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求 在 上的值域；
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】
（1）令 ，当 时， ，则可将原函数转化为 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上的值域为 ；
③根据指数函数值域（最值）求参数
1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
当 时， ，方程组无解
当 时， ，解得故选：A.
2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ，
且 的值域为 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
3．（2022·全国·高一）已知函数 且 在区间 上的最大值比最小值大 ,求 的值.
【答案】 或
时， 是减函数， ， ；
时， 是增函数， ， ．
综上， 或 ．
4．（2022·湖南·高一期末）已知函数 .
(1)求 的值域；
(2)当 时， 的最大值为7，求 的值.
【答案】(1) (2) 或
(1)
设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 的值域为 .
(2)
函数 图象的对称轴为直线 .当 时， ，
所以 在 上单调递增，
则 ，解得 或 （舍去）
所以 ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 .
综上， 或 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为常数， ）是 上的奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在区间 上的值域为 ，求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)
由 是奇函数得 ， ，此时 是奇函数；
(2)
由复合函数的性质得 在定义域内是增函数，
所以 ， ， ， 或 （舍去），
，
所以 ．
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性
1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是偶函数，且在 单调递减C．是奇函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
函数 的定义域为 ， ，所以函数 为奇
函数.
而 ，可知函数 为定义域 上的减函数，
因此，函数 为奇函数，且是 上的减函数.
故选：D.
2．（2022·福建宁德·高一期末）已知 是 上的奇函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)判断 的单调性，并根据定义证明．
【答案】(1) (2)见解析
(1)
已知 是 上的奇函数，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
(2)
根据指数函数的单调性可判断得 为增函数.
下证明：设 是 上任意给定的两个实数，且 ，
则
， ， ， ，
函数 在 上是单调递增函数
3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数 是指数函数
(1)求 ， 的值；
(2)求解不等式【答案】(1) 且 ；
(2) ；
(1)
因函数 是指数函数，则 ，解得 ，
所以 ， 的值是： 且 .
(2)
由(1)知， ， ，则函数 在R上单调递增，
由 得： ，解得 ，
所以不等式 的解集是： .
4．（2021·全国·高一期末）设函数 ，
(1)判断 的单调性，并证明你的结论；
【答案】(1)增函数，证明见解析；
(1)
依题意，函数 定义域为R， 是R上的增函数，
，且 ，则 ，
因 为R上的增函数，则由 得 ，即 ， ，
于是得 ，即 ，
所以函数 是 上的增函数.
②由指数（型）函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A∵函数 在 上单调递减，∴ ，解得 ，实数 的取值范围是 .
故选：A.
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数 是R上的减函数，则实数a
的取值范围是___．
【答案】
由题知 ．
故答案为： .
3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围
是______.
【答案】
因为分段函数在 上单调递减，所以每段都单调递减，即 ，并且在分界点处需满足 ，
即 ，解得： .
故答案为：
4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 是指数函数，且为指数增长型函数模型，
则实数 ________.
【答案】1
依题意知 ，即 ，解得： （舍 ）
故答案为：1
5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围为______.
【答案】
由复合函数的同增异减性质可得， 在 上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以 ，即
故答案为：
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 是区间 上的减函数，求实数 的取值范围．
【答案】
函数 是区间 上的减函数，
故 ，即 ，
所以 ，
故实数 的取值范围为 .
③判断指数型复合函数单调性
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得 的单调递减区间为 .
故选：D
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数 ，且对于任意的 ，
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B依题可知函数 在 上是增函数，
∴ ，解得 ．
故选：B．
3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围
是______．
【答案】
令 ，可得抛物线的开口向上，且对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，在区间 上单调递增，
又由函数 ，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数 在 上单调递增，在区间 上单调递减，
因为函数 在 上单调递减，则 ，
可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)判断并证明函数 的单调性.
【答案】(1) ；
(2) 在R上单调递增，证明见解析.
【解析】
(1)
由题设， ，整理可得： 恒成立，解得 .
(2)
由（1）知： ，在R上单调递增，证明如下：
令 ，则 ，又， ， ，
所以 ，即 在R上单调递增.
④比较大小
1．（2022·广东汕尾·高一期末）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
因为 在 上为减函数，且 ，
所以 ，所以 ，
故选：A
2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 ，指数函数 在 上单调递增，因为 ，且 ，即 ．
故选：D.
3．（2022·福建三明·高一期末）已知 ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由 ，
所以 .
故选：B
4．（2022·海南·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设 ，可得 ，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
则 ， ，所以 最小，
又由 ，因为 ，所以 ，所以 ，
综上可得： .
故选：D.
⑤根据指数函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高一）若 ，则x的取值范围是______．
【答案】
解：原不等式可化为 ，而指数函数 是定义在R上的减函数，
所以 ，即原不等式的解集为 ；
故答案为：
2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式 的解集是__________.
【答案】
， ，
， 或 ，
解得 或 ，
所以不等式不等式 的解集是 .
故答案为：
3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，
若实数 满足 ，则 的取值范围是______．
【答案】
是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，
则 ，等价为 ，
即 ，
则 ，得 ，即实数 的取值范围是 ，
故答案为：
4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)解不等式 ．
【答案】(1) ；(2) .
(1)
解：因为数 是定义在R上的偶函数，当 ， ，
则当 时， ， .
因此，对任意的 ， .
(2)
解：由（1）得 ，
所以不等式 ，即 ，
令 ，则 ，于是 ，解得 ，
所以 ，得 或 ，
从而不等式 的解集为 ．
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解： ，使得 ，等价于 ， ，
由对勾函数的单调性知 在 上单调递减，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数 ， ，则 （ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】C
在 上是增函数，
所以最小值为 ，没有最大值.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，则 ________；函数 在区间
的最大值为_________．
【答案】
当 时， ；
令 ，所以 ，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，此时 ，
故答案为： ； .
【点睛】
思路点睛：求解形如 的函数的最值的步骤：
（1）先采用换元法令 ，并求解出 的取值范围；
（2）将 变形为关于 的二次函数，根据其对称轴以及开口方向确定出其最值，由此求解出 的最
值.
4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数 ，若 ，使得
，则实数a的取值范围是___________.
【答案】当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， 为增函数，
所以 时， 取得最大值 ，
∵对 ，使得 ，
∴ ，
∴ ，解得 .
故答案为： .
5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知 ，则函数 的最大值为__________.
【答案】
设 ， ，则 ， ，
故当 ，即 时，函数有最大值为 .
故答案为： .
②根据指数函数最值求参数
1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数 在 上有最大值 ，则实数a
的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】A
∵函数 在 上有最大值 ，
∴ ， ，
∴ ，解得 或 （舍去）.
故选：A.
2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数 （ 且 ）在区间 上的最大值和最小值的和为 ，则 的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
当 时，函数 在 上为减函数，
则 ，解得 ；
当 时，函数 在 上为增函数，
则 ，解得 .
综上所述， 或 .
故选：BC.
3．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数 （ 且 ）在 的最大值与最小值之差等于 ，则
实数 的值为______．
【答案】 或
若 ，则函数 在 上为增函数，则 ，解得 ；
若 ，则函数 在 上为减函数，则 ，解得 .
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数 （ 且 ）在区间
上的最大值是最小值的2倍，则 ______．
【答案】 或2
①当 时， ，得 ；②当 时， ，得 ，故 或2．
故答案为： 或2.
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上的最大值和最小值之和为6，则实数 ______.
【答案】2
当 时，函数 在区间 上是增函数，
所以 ， ，由于最小值和最大值之和 6，即： ，
解得： 或﹣3（负值舍去）；
当 ，函数 在区间 上是减函数，
所以 ， ，由于最小值和最大值之和 6，即： ，
解得： 或﹣3，而 ，故都舍去.
故答案为：2.
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 （ 且 ）在区间 上的最小值为 ，
求 的值．
【答案】
解：令 ，则 ，令 .
①当 时，因为 ，则 ，
函数 在 上为增函数，则 ，
，解得 ；
②当 时，因为 ，则 ，
函数 在 上为增函数，则 ，不合乎题意.
综上所述， .
③含参指数（型）函数最值
1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的
值为________.
【答案】3或
令ax=t，则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈ ，又函数y=(t+1)2-2在 上单调递增，所以ymax=(a+1)2-
2=14，解得a=3(负值舍去).当0
