专题 1.4 不等式与复数
【新高考专用】
题型一 不等式性质及其应用
1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（ ）
1 1
A．若ab≠0且a
B．若a>b，则a2>b2
a b
C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则a+c>b+c
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设 为实数，满足 x2 ，则x3的最大值为（ ）
x,y 3≤x y2≤8,4≤ ≤9
y y4
A．27 B．24 C．12 D．32
a b
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：①ac2>bc2；② > ；③a2>b2，中能成为a>b的
c c
充分条件的是 .(填序号)
4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知实数x,y满足−1≤x+ y≤4且2≤x−y≤3，则x−3 y的取
值范围是 ．
题型二 基本不等式与最值
1 1
5．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且 + =1，则4x+ y的最小值为（ ）
x−1 y
15+5√5
A．13 B． C．14 D．9+√65
2
3 2
6．（2024·湖北黄冈·一模）若m>0,n>0，且3m+2n−1=0，则 + 的最小值为（ ）
m n
A．20 B．12 C．16 D．25
7．（2024·上海奉贤·三模）若a+b=1，则ab有最大值为 ．
8．（2024·吉林长春·模拟预测）设a,b≥0且2a+b+2ab=1，则a+b的最小值为 ．题型三 基本不等式中的恒成立问题
m 4a+9b
9．（24-25高一上·四川达州·期中）已知a>0，b>0， 若不等式 ≤ 恒成立，则实数m的最
a+b ab
大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
4 1
10．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知x>0，y>0，且x+ y=5，若 + ≥2m+1恒成立，则实
x+1 y+2
数m的取值范围是（ ）
( 2] ( 1 ]
A． −∞, B． −∞,
5 16
( 1]
C． −∞, D．(−∞,4]
2
11．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数a、b，不等式a2+4b2≥kab恒成立，则实数k的取值范围
是 .
4x 1
12．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x的不等式 + ≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值集合为
a x−2
．
题型四 二次不等式及其参数问题
13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式 的解集是（ ）
|x2−3x|<2−2x
A．( 1) B．( 1 1) C．( 5−√17) D．(5−√17 1)
−1, − , −1, ,
2 2 2 2 2 2
14．（2024·广东·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c>0的解集为¿”是“a+b+c=0”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
( 1 )
15．（24-25高一上·上海·阶段练习）若不等式ax2+bx+1>0的解集是 − ,1 ，则bx2+ax+1≤0的解集
2
为 ．
16．（24-25高一上·天津津南·期中）关于 的不等式 恰有三个整数解，则实数 的
x x2−(m+2)x+2m≤0 m取值范围是 .
题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题
17．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知∀x∈[0,+∞)，x2+ax+4≥0恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A．[−4,4] B．[−4,+∞)
C．(−∞,4] D．(−∞,−4)∪(4,+∞)
[1 ]
18．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在x∈ ,3 ，使不等式x2−ax+1≥0成立，则实数a取值
2
范围是（ ）
5
A．−2≤a≤2 B．a≤
2
10 10
C．a≤ D．−2≤a≤
3 3
19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知x2+(2−a)x+4−2a≥0对任意x∈(−2,+∞)恒成立，则实数a
的取值范围为 .
20．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式x2−(a+2)x+a+5≤0在x∈(1,4]上有解，
则实数a的取值范围是 ．
题型六 复数的四则运算
21．（2024·四川·一模）已知 为虚数单位，则 的值为（ ）
i (1+i) 2+2(1−i)
A．4 B．2 C．0 D．4i
20
22．（2024·安徽安庆·三模）若复数z的实部大于0，且z(z+1)= ，则z=（ ）
3+i
A．1−2i B．2−i C．2+i D．1+2i
1+2i
23．（2024·上海·模拟预测）复数z= ，则z⋅z= .
3+4i
24．（2024·广东广州·模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z−2i，则z= .
题型七 复数的几何意义
25．（2024·福建·三模）若复数z满足1−z=2i+iz，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限26．（2024·安徽·一模）已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于
z z(2−i)=(1+i) 2 z z
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．（2024·安徽·模拟预测）若复数z=(a+4)−(a+5)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取
值范围是 .
a−i
28．（2024·江苏南通·二模）复数z= （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值
1+i
为
.
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
b+c b
A．若a>b，则 > B．若a>b，c>d，则a−d>b−c
a+c a
1 1
C．若ab，则 >
a−b a
2．（2024·广东·模拟预测）已知复数z=2i(1−i)+1，则|z|=（ ）
A．√5 B．√13 C．5 D．13
3．（2024·浙江金华·模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,
则（ ）
A．N0 a2+b2
A．2√2−2 B．2 C．2√2 D．2√2+2
7．（2024·宁夏银川·一模）下列结论正确的个数有（ ）个
a
①ab>0是 >0的充要条件
b
y x 2√5+2
②已知实数x、y满足5x>y>0，则 + 的最小值为
5x−y y 5
③命题“∃x>1，x2−x≤0”的否定是“∀x>1，x2−x>0”
④关于x的不等式x2−ax+1<0有解，实数a的范围是a<−2或a>2.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·福建南平·二模）关于t的实系数二次不等式t2+(b−1)t+a<0的解集为(−2,−1)，若ax−by=1
，(x,y∈R)，则2x−y的最小值为（ ）
1
A． B．√2 C．2 D．2√2
2
二、多选题
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为(1,3)，则（ ）
A．z+z=2 B．z2=10
| z |
C．zz=10 D． z− =5
1+i
10．（2024·广东佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则（ ）
A．ab的最小值为18 B．a2+b2的最小值为36
2 1 2
C． + 的最小值为 D．a+b的最小值为3+4√2
a b 3
11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式4x2−5x+1>0的解集是¿
B．不等式2x2−x−6≤0的解集是¿
C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅
1
D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为−
2
三、填空题
1
12．（2024·河北·模拟预测）已知复数z=1+i，设w=z+ ，若复数w在复平面内对应的点为P，点P关于
z实轴的对称点为 ，则 的值为 .
P′ |P′P|
13．（2024·广西·模拟预测）若不等式ax2>x2−x−1对x∈(−∞,0)恒成立，则a的取值范围是 ．
14．（2024·全国·模拟预测）设max{a,b,c}为实数a,b,c中最大的数．若，x>0,y>0,z>0，则
{ 1 1 y 1}
max xz+ ,x+ , + 的最小值为 ．
y yz x z
四、解答题
z+2
15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数z=bi（b∈R）， 为实数.
1+i
(1)求 ；
|z+z2|
(2)若复数 在复平面内对应的点在第四象限，且 为实系数方程 的根，求实数
(m+z) 2 z x2+(m2−9)x+4=0 m
的值.
16．（2024·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次
出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：
每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的
平均价格（平均价格=总价格/总升数）；
(2)分别用m，n（m≠n）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选
择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
17．（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=4√3.
(1)求证：a2+b2≥24；(2)求(a2+1)(b2+1)的最小值.
ab
18．（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=|2x+1|−|2x−4| ．
(1)求f (x)>0的解集；
(2)若f (x)+4|x−2|>2m2−3m恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：z=a+bi与z=a−bi(a,b∈R)，我们把它们
互称为共轭复数，b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性
质：
（1）z+z=2a∈R
（2）z−z=2bi（当b≠0时，为纯虚数）
（3）z=z⇔z∈R
（4）
(z)=z
（5）z⋅z=a2+b2=|z|2=|z|2.
（6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
z
(1)设z≠±i,|z|=1.求证： 是实数；
1+z2
(2)已知 ，求z 的值；
|z |=3,|z |=5,|z −z |=7 1
1 2 1 2 z
2
(3)设 ，其中 是实数，当 时，求 的最大值和最小值.
z=x+ yi x,y |z|=1 |z2−z+1|
