专题1.4不等式与复数（练习）（举一反三）（新高考专用）（解析版）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025年高考数学二轮复习举一反三专练（新高考专用）3379928

b>c这个条 件,判断正负即可比较出大小. a+b a+b+c a+b +c 【解答过程】根据题意得,M= ,N= , N+c 2 a+b+2c, 3 2 P= = = 2 2 4 a+b a+b+2c a+b−2c 对于A选项,N−P= − = , 2 4 4 a+b−2c ∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴N−P= >0,∴N>P. 4 a+b+c a+b+2c a+b−2c 对于B选项,M−P= − = , 3 4 12 a+b−2c ∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴M−P= >0,∴M>P. 12 a+b+c a+b −a−b+2c 对于C选项,M−N= − = , 3 2 6 −a−b+2c ∵a>b>c,∴c−a<0,c−b<0,∴2c−a−b<0,∴M−N= <0,∴MP,N>P,∴M+N>2P. 故选：B. 2+bi 4．（2024·全国·模拟预测）若(2−i)a= ，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi对应点在 i （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】依题意可得a+2ai=2+bi，根据复数相等的充要条件求出a，b，再根据复数的几何意义判 断即可.2+bi 【解答过程】因为(2−i)a= ，所以(2−i)ai=2+bi，即a+2ai=2+bi，其中a，b是实数， i 所以¿，即¿， 则a+bi=2+4i，在复平面内对应的点为(2,4)，位于第一象限. 故选：A． 9 1 5．（2024·云南大理·模拟预测）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，则 + 的最小值为（ ） a+1 a+b A．4 B．6 C．8 D．10 【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可. 9 1 ( 9 1 ) 1 【解答过程】 + = + [(a+1)+(a+b)]× a+1 a+b a+1 a+b 2 [ 9(a+b) (a+1) ] 1 = 9+ + +1 × a+1 a+b 2 ( √9(a+b) (a+1)) 1 1 ≥ 10+2 ⋅ × =8（当且仅当a= ，b=0时取等号）. a+1 a+b 2 2 故选:C. 6．（2024·浙江宁波·一模）不等式(x2−ax−1)(x−b)≥0对任意x>0恒成立，则a2+b2的最小值为（ ） A．2√2−2 B．2 C．2√2 D．2√2+2 1 【解题思路】先由题意得到x=b是x2−ax−1=0的一个根，从而得到a,b之间的关系式为a=b− ，消元 b 并利用均值不等式求解即可. 【解答过程】由题意可得，需满足x=b是x2−ax−1=0的一个根， 1 即b2−ab−1=0，且b>0，所以a=b− ， b a2+b2= ( b− 1) 2 +b2=2b2+ 1 −2≥2√2−2， b b2 当且仅当2b2= 1 ，即b= √ 4 1 时取等号. b2 2 所以a2+b2的最小值为2√2−2. 故选：A. 7．（2024·宁夏银川·一模）下列结论正确的个数有（ ）个a ①ab>0是 >0的充要条件 b y x 2√5+2 ②已知实数x、y满足5x>y>0，则 + 的最小值为 5x−y y 5 ③命题“∃x>1，x2−x≤0”的否定是“∀x>1，x2−x>0” ④关于x的不等式x2−ax+1<0有解，实数a的范围是a<−2或a>2. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由存在量词命题的否 定：存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得Δ>0求参数范围判断④. a a 【解答过程】①由ab>0，即a,b同号，故 >0；由 >0，即a,b同号，故ab>0， b b a 所以ab>0是 >0的充要条件，正确； b 5x x 1 ②因为5x>y>0，所以 −1>0，即 > ， y y 5 y x 1 x 1 x 1 1 √ 1 (x 1) 1 + = + = + − + ≥2 × − + 2√5+1 所以5x−y y 5x −1 y 5 (x − 1) y 5 5 5 (x − 1) y 5 5 = 5 ， y y 5 y 5 1 (x 1) = − x 1+√5 当且仅当 (x 1) y 5 ，即 = 时等号成立， 5 − y 5 y 5 y x 2√5+1 所以 + 的最小值为 ，错误； 5x−y y 5 ③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题， 命题“∃x>1，x2−x≤0”的否定是“∀x>1，x2−x>0”，正确； ④由题设Δ=a2−4>0，解得a<−2或a>2，正确. 故选：C. 8．（2024·福建南平·二模）关于t的实系数二次不等式t2+(b−1)t+a<0的解集为(−2,−1)，若ax−by=1 ，(x,y∈R)，则2x−y的最小值为（ ） 1 A． B．√2 C．2 D．2√2 2 【解题思路】由已知可得−2，−1是一元二次方程t2+(b−1)t+a=0的根，进而可得¿，可得1+4y 1 ，可求 的最小值. 2x−y= =2y+ 2x−y 2y 2y 【解答过程】因为关于t的实系数二次不等式t2+(b−1)t+a<0的解集为(−2,−1)， 所以−2，−1是一元二次方程t2+(b−1)t+a=0的根， 所以¿，解得¿，所以2x−4y=1，所以2x=4y+1， 1+4y 1 √ 1 所以2x−y= =2y+ ≥2 2y× =2, 2y 2y 2y 当且仅当y=0,x=1时取等号. 所以2x−y的最小值为2. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为(1,3)，则（ ） A．z+z=2 B．z2=10 | z | C．zz=10 D． z− =5 1+i 【解题思路】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轭复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案. 【解答过程】由题意可得z=1+3i，则z=1−3i， 对于A，z+z=2，故A正确； 对于B，z2=(1+3i)(1+3i)=1+3i+3i+9i2=−8+6i≠10，故B错误； 对于C，zz=(1+3i)(1−3i)=12−(3i) 2=1+9=10，故C正确； z 1+3i (1+3i)(1−i) 1−i+3i−3i2 对于D，z− =(1+3i)− =1+3i− =1+3i− 1+i 1+i 1+1 2 1 | z | =1+3i− (4+2i)=−1+2i， z− =√1+4=√5，故D错误； 2 1+i 故选：AC. 10．（2024·广东佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则（ ） A．ab的最小值为18 B．a2+b2的最小值为36 2 1 2 C． + 的最小值为 D．a+b的最小值为3+4√2 a b 3 【解题思路】对于A，根据基本不等式可得ab=a+2b+6≥2√2ab+6，进而求解即可判断；对于B，根2 1 6 据基本不等式可得a2+b2≥2ab≥36，验证取等条件即可判断；对于C，由题意可得 + =1− ，进而 a b ab a+6 8 结合ab≥18即可判断；对于D，结合题意可得b= ，a>2，进而得到a+b=a−2+ +3，再根据 a−2 a−2 基本不等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由于ab=a+2b+6≥2√2ab+6，即(√ab−3√2)(√ab+√2)≥0， 则√ab≥3√2，即ab≥18，当且仅当a=2b=6时等号成立， 所以ab的最小值为18，故A正确； 对于B，由a2+b2≥2ab≥36，当且仅当a=b且a=2b时等号成立， 显然不能同时成立，取不到等号，故B错误； 2 1 a+2b ab−6 6 6 2 对于C，由于ab=a+2b+6，所以有 + = = =1− ≥1− = ， a b ab ab ab 18 3 当且仅当a=2b=6时等号成立， 2 1 2 即 + 的最小值为 ，故C正确； a b 3 a+6 对于D，因为a>0，b= >0，所以a>2， a−2 a+6 8 √ 8 所以a+b=a+ =a−2+ +3≥2 (a−2)⋅ +3=4√2+3， a−2 a−2 a−2 8 当且仅当a−2= ，即a=2+2√2，b=1+2√2时等号成立， a−2 则a+b的最小值为3+4√2，故D正确． 故选：ACD． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．不等式4x2−5x+1>0的解集是¿ B．不等式2x2−x−6≤0的解集是¿ C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅ 1 D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为− 2 【解题思路】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对a分类讨论即可判断；对于D，由一 元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q，然后即可判断. 1 【解答过程】对于A，4x2−5x+1>0⇔(x−1)(4x−1)>0⇔x< 或x>1，故A错误； 43 对于B，2x2−x−6≤0⇔(x−2)(2x+3)≤0⇔− ≤x≤2，故B错误； 2 若不等式ax2+8ax+21<0恒成立， 当a=0时，21<0是不可能成立的， 所以只能¿，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得q,1是一元二次方程2x2+px−3=0的两根， 3 从而¿，解得p=1,q=− ， 2 3 3 而当p=1,q=− 时，一元二次不等式2x2+x−3<0⇔(x−1)(2x+3)<0⇔− x2−x−1对x∈(−∞,0)恒成立，则a的取值范围是 a> 4 ． 【解题思路】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【解答过程】由不等式ax2>x2−x−1对x∈(−∞,0)恒成立， x2−x−1 (x2−x−1) 可转化为a> 对x∈(−∞,0)恒成立，即a> ， x2 x2 maxx2−x−1 1 1 1 1 2 5 而 =− − +1=−( + ) + ， x2 x2 x x 2 4 1 1 2 5 5 5 当x=−2时，−( + ) + 有最大值 ，所以a> ， x 2 4 4 4 5 故答案为：a> ． 4 14．（2024·全国·模拟预测）设max{a,b,c}为实数a,b,c中最大的数．若，x>0,y>0,z>0，则 { 1 1 y 1} max xz+ ,x+ , + 的最小值为 2 ． y yz x z { 1 1 y 1} 【解题思路】设A=max xz+ ,x+ , + ，分01，分类讨论代数式间的大小关系，利用 y yz x z 基本不等式求得A的最小值，即可求解． { 1 1 y 1} 【解答过程】设A=max xz+ ,x+ , + ， y yz x z 1 1 y 1 则A≥xz+ >0，A≥x+ >0，A≥ + >0， y yz x z 1 1 1 y 1 因为A≥xz+ =z(x+ ) ，当00，A≥ + >0， y yz yz x z 1 1 √ x y 1 y √ y 又因为A≥x+ ≥x+ ≥2 ，A≥ + ≥ +1≥2 ， yz y y x z x x √ y √ x 两式相乘得A2≥2 ⋅2 =4，可得A≥2，当且仅当x= y=z=1时取等号， x y 1 1 1 y 1 当z>1时，01，故A>2，综上所述，A的最小值为2． 故答案为：2. 四、解答题 z+2 15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数z=bi（b∈R）， 为实数. 1+i (1)求|z+z2|；(2)若复数(m+z) 2在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程x2+(m2−9)x+4=0的根，求实数m 的值. 【解题思路】（1）根据复数为实数求出b，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出m，再结合所在象限舍去不合适的值. z+2 2+bi (2+bi)(1−i) b+2 b−2 【解答过程】（1）由z=bi， 为实数，则 = = + i为实数， 1+i 1+i (1+i)(1−i) 2 2 b−2 所以 =0，b=2，即z=2i，z2=−4， 2 所以|z+z2|=|−4+2i|=2√5. （2）由(m+z) 2=(m+2i) 2=m2−4+4mi在复平面内对应的点在第四象限， 所以¿， 又z=2i为实系数方程x2+(m2−9)x+4=0的根， 则4+2(m2−9)i−4=0， 所以m2−9=0，m=±3， 又m<−2，所以m=−3. 16．（2024·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次 出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案： 每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的 平均价格（平均价格=总价格/总升数）； (2)分别用m，n（m≠n）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选 择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 【解题思路】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果. 【解答过程】（1）第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4=270元，两次共加了60升燃油， 270 所以平均价格为 =4.5元/升； 60 (200 200) 第二种方案，两次加油共花费200+200=400元，两次共加了 + =90升燃油，所以平均价格为 5 4400 40 = 元/升； 90 9 （2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费(30m+30n)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为 30m+30n m+n = 元/升； 60 2 (200 200) 第二种方案，两次加油共花费200+200=400元，两次共加了 + 升燃油，所以平均价格为 m n 400 2mn = 200 200 m+n元/升； + m n m+n 2mn (m+n) 2−4mn (m−n) 2 且 − = = >0，所以选择第二种加油方案比较经济划算. 2 m+n 2(m+n) 2(m+n) 17．（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=4√3. (1)求证：a2+b2≥24； (a2+1)(b2+1) (2)求 的最小值. ab 【解题思路】（1）将a+b=4√3两边平方后利用基本不等式证明； (a2+1)(b2+1) （2）将 变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. ab 【解答过程】（1）由a+b=4√3得48=(a+b) 2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2)， 当且仅当a=b=2√3时等号成立， 所以a2+b2≥24； （2）由已知a>0,b>0，则ab>0， (a2+1)(b2+1) a2b2+a2+b2+1 a2b2+(a+b) 2−2ab+1 a2b2+48−2ab+1 则 = = = ab ab ab ab 49 =ab+ −2≥2√49−2=12， ab 当且仅当¿，即a,b一个为2√3+√5，一个为2√3−√5时等号成立.(a2+1)(b2+1) 所以 的最小值12. ab 18．（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=|2x+1|−|2x−4| ． (1)求f (x)>0的解集； (2)若f (x)+4|x−2|>2m2−3m恒成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）分区间讨论去掉绝对值号求解即可； （2）求出g(x)=f (x)+4|x−2|的最小值，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）当x≥2时，f (x)=2x+1−(2x−4)=5，f (x)>0恒成立，则x≥2； 1 当− ≤x<2时，f (x)=2x+1+2x−4=4x−3，f (x)>0，即4x−3>0， 2 3 解得 0不成立，则x∈∅． 2 (3 ) 综上，不等式f (x)>0的解集为 ,+∞ ． 4 （2）令g(x)=f (x)+4|x−2|， 则g(x)=|2x+1|+|2x−4|≥|2x+1−(2x−4)|=5， 1 当且仅当(2x+1)(2x−4)≤0时，即− ≤x≤2时，等号成立， 2 即g(x)的值域为[5,+∞)． 所以不等式g(x)>2m2−3m恒成立，可转化为2m2−3m<5恒成立， 5 即2m2−3m−5<0，解得−1