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专题 1.3 集合与常用逻辑用语综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合 ，则集合A的真子集个数是
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由题意列举出集合 中的元素，再用真子集个数公式 （ 为集合中元素个
数）计算即可．
【详解】因为 ，
所以 ，
所以集合A的真子集个数是 ，
故选：B．
2．下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据全称命题的定义即可判断答案.
【详解】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，
故选：D．
3．（湖北省圆梦杯2023届高一下学期统一模拟（二）数学试题）已知等差数列 的前
项和为 ，命题 “ ”，命题 “ ”，则命题 是命题 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由 ，不能推出 ，
例如 ，则 ，所以 ，
故命题 是命题 的不充分条件；
由 ，不能推出 ，
例如 ，则 ，
所以 ，
故命题 是命题 的不必要条件；
综上所述：命题 是命题 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知 ，“直线 与
平行”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据平行的成比例运算即可求解.
【详解】直线 与 平行
则 ，
所以 ，
解得 ，
经检验， 均符合题意，
故选：C.
5．（江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题）“ ”的一个充分
条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判
断即可.
【详解】解：由 ，即 ，所以
对选项A，当 ， 时， ，但 不满足，故A不正确，
选项B，由 ，则 ，则 或 ，故B项不正确，
选项C， ，
则 或 ，故C不正确，
选项D，由 知 ，
所以 ，成立，故D正确，
故选：D.
6．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）若命题：“存在整数 使不等式
成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知“对任意的整数 ， 恒成立”是真命题，对实数
的取值进行分类讨论，解不等式 ，结合已知条件可得出关于 的等式
或不等式，综合可求得实数 的取值范围.
【详解】“存在整数 使不等式 成立”是假命题，
则“对任意的整数 ， 恒成立”是真命题，
当 时，则 对任意的整数 恒成立，不合乎题意；
当 且 时，原不等式化为 .
因为 ，则不等式的解集为 或 ，
所以， ，即 ，解得 且 ；
当 时，则有 对任意的整数 恒成立，合乎题意；
当 时， ，不等式 的解集为 ，不合乎
题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.7．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知全集 ，集合 ，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为 ， ，再根据集合运算
求解即可.
【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 .
故选：B.
8．（2022秋·浙江温州·高三瓯海中学校考阶段练习）设 ， ， 为非零实数，则
的所有值所组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分 、 、 是大于 还是小于 进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结
果．
【详解】解： ， ， 为非零实数，
当 ， ， 时， ；
当 ， ， 中有一个小于 时，不妨设 ， ， ，
；
当 ， ， 中有两个小于 时，不妨设 ， ， ，
；
当 ， ， 时， ；的所有值组成的集合为 ．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
B．“ ， ”的否定是“ ， ”
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据元素和集合的关系判断A；根据全称量词命题的否定可判断B；根据充分条
件以及必要条件的判断可判断C，D.
【详解】对于A， 的元素是 ，故 ，正确；
对于B，“ ， ”为全称量词命题，它的否定是“ ， ”，
B错误；
对于C，由 ，可得 ，则 成立，
当 时，比如取 ，推不出 成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，C正确；
对于D，当 时，若 ，则 不成立，
当 成立时，则 ，则 ，故 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，D正确，
故选：ACD
10．（2022秋·高三课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．a=0是a∈{-1，0，1}的充分不必要条件
B．a=0是a∈{-1，0，1}的必要不充分条件
C．a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的既不充分也不必要条件
D．a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的充要条件
【答案】AD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】解：a=0 a∈{-1，0，1}，但a∈{-1，0，1} a=0，故A正确，B不正确.
因为{x|x(x2-1)=0}={-1，0，1}，
⇒
所以a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的充要条件，故D正确，C不正确.故选：AD.
11．（2023秋·贵州遵义·高三统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，
x∈R}． ＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】ABC
【分析】首先求集合 ，再结合补集的定义，讨论 和 两种情况，求实数 的取
值范围.
【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则 ，此时A＝U；
若a≠0，则 ＝ .
此时 ＝3或 ＝5，
∴a＝ 或a＝ .
综上a的值为0或 或 .
故选：ABC
12．（2022秋·江苏苏州·高三校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整
数组成一个“类”，记为 ，即 ， ，1，2，3，4，5，则
（ ）
A．
B．
C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ ”
D．“整数a，b满足 ”是“ ”的必要不充分条件.
【答案】BC
【分析】对A，由定义得 ，再判断元素与几何关系即可；
对B，由定义及被6除所得余数为0至5的整数可判断；
对C，分别根据定义证明充分性及必要性即可；
对D，由定义证充分性，必要性可举反例即可判断
【详解】对A，因为 ，由 可得 ，所以
，A错；对B，
，B对；
对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而
被6除所得余数为0，即 ；
必要性：若 ，则 被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，
所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“ ”，C对；
对D，若整数a，b满足 ，则 ，
所以 ，故 ；
若 ，则可能有 ，
故整数a，b满足 ”是“ ”的充分不必要条件，D错
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知全集 ，集合 或
与 关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合为______.
【答案】
【分析】根据Venn图可知阴影部分表示集合 ，结合集合运算的性质进行求解即
可.
【详解】根据Venn图可知阴影部分表示集合 .
集合 或 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故答案为： .
14．（2023·高二课时练习）方程 表示圆的充要条件是______．
【答案】 或【分析】由方程表示圆得到不等式，求解即可.
【详解】由题意知： ，即 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
15．（2023秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知集合
．若 ，则m的取值范围为____________．
【答案】 或 ．
【分析】解不等式求得集合A，通过讨论B是否为空集，结合题意得到关于m的不等式，
解出即可．
【详解】由 ，得 ，解得： ，则
若 ，则 ，解得： ，满足 ，
若 ，则 或 ，解得： 或 ，
综上， 的取值范围为： 或 ．
故答案为： 或 ．
16．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）函数 ，若命
题“ ”是假命题，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由命题“ ”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，
即可得解.
【详解】因为命题“ ”是假命题，
所以命题“ ”是真命题，
即 在 上恒成立，
因为当 时， ，
所以 在 上恒成立，
而 ，所以 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）（1） ，求实
数a的取值范围;
（2） ，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 或 .
【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义
求解.
【详解】(1)因为 ，
所以 ，即 ，
解得 .
(2)因为 ，
所以 ，即 ，
解得 或 .
18．已知集合 ，集合 ．
(1)求集合 ；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
（2）先解分式不等式得到集合A，再根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）当 时，不等式的解为 或 ，
当 时，不等式的解为 ，
当 时，不等式的解为 或 ，
综上所述：当 时，集合 或 ；
当 时，集合 ，当 时，集合 或 .
（2）集合 或 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以集合 是集合A的真子集，
当 时， ，所以 ；
当 时，不合题意；
当 时， ， 无解；
综上，实数 的取值范围为 ．
19．设 ，已知集合 ，集合 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求实数 的取值范围，使_______成立．
从① ② ③ 中选择一个填入横线处并解答．
注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先解分式不等式求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合
并集的概念和运算即可得出结果；
（2）①根据集合 没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出
，利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出 ，
利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数.
【详解】（1）因为
所以 .
因为 ，
所以 .
所以（2）① ，又 ，
或 ，
或 .
② ， ，又
或 ，
或 .
③ ， ，又
或
或
20．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）已知集合 ，
，且 ．
(1)若 都有 ，求 的取值范围；
(2)若 且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得 ，由 得到 ，则只需 ，即可求出参数的取
值范围.
【详解】（1）∵ 都有 ，∴ ，
又由题知 ，所以 ，
解得 ，故 的取值范围是 .
（2）由于 且 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时，一定有 ，要想满足 ，则要满足 ，解得 ，
故 时， ，故 的取值范围是 .
21．设集合 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合A与B，后由集合交集与并集定义可得答案；
（2）由题可得 ，据此可得答案.
【详解】（1）由 得 ，所以 ，因为 ，所以
，所以 ；
（2）因为 是 成立的充分不必要条件，所以 .
又 ，故 不为空集，故 ，得 ，所以实数 的范围 .
22．已知命题：“ ，使得不等式 成立”是真命题，设实数 取
值的集合为 .
(1)求集合 ；
(2)设不等式 的解集为 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求实
数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将命题为真命题转化成一元二次不等式在区间 上恒成立问题，即可求
得实数 取值范围得集合 ；（2）由题可知， 是 的子集，根据集合间的基本关系即可
求得实数 的取值范围.
【详解】（1）令 ，
因为函数 在 时取最小值 ，
所以“ ，使得不等式 成立”是真命题，
需满足 ，解得 ，
即 ；（2）因为不等式 的解集为 ，
且“ ”是“ ”的充分条件，则 是 的子集；
①当 ，即 时，解集 ，
所以 ,解得
综合得 ；
②当 ，即 时，不满足题设条件；
③当 ，即 时，解集 ，
所以 ,解得
综合可得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
