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专题23.10 中心对称（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·四川内江·统考中考真题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川凉山·统考中考真题）点 关于原点对称的点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州遵义·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点成中心对
称，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（2022·广西梧州·统考中考真题）下列命题中，假命题是（ ）
A． 的绝对值是 B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形 D．如果直线 ，那么直线
5．（2022·广西·统考中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是 ，则点A关于原点对称的点表示的
数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2022·江苏无锡·统考中考真题）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索
并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
7．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·浙江绍兴·统考中考真题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向
点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
9．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 按
逆时针依次排列，若点 的坐标为 ，则 点与 点的坐标分别为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019·河南·统考中考真题）如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正
方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 ，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）A． B． C． ） D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022·湖南湘西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）
关于原点对称，则m＝ ．
12．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转
180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13．（2020·贵州黔东南·统考中考真题）以
▱
ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
14．（2019·青海·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，已知点 ，将 绕点 逆时针方向
旋转 后得到 ，则点 的坐标是 ．
15．（2018·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为（3,5），（6,1）．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的
两部分，则直线l的函数解析式为 ．
16．（2017·四川乐山·中考真题）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点
A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ．
17．（2018·陕西·统考中考真题）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边
上的点，且EF＝ AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ BC；若S ,S 分别表示∆EOF和∆GOH的面
1 2
积，则S ,S 之间的等量关系是
1 2
18．（2012·江西·中考真题）以图1（以O为圆心，半径为1 的半圆）作为“基本图形”，分别经历
如下变换能得到图2的序号是 （多填或错填得0分,少填酌情给分）
①只要向右平移1个 单位；
② 先以直线AB为对称轴进行对称变换，再向右平移1个单位；
③先绕着O旋转180°，再向右平移1个单位；
④只要绕着某点旋转180°．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在 的方格纸 中，每个小方格的边长为
1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图中画一个等腰三角形 ，使底边长为 ，点E在 上，点F在 上，再画出该三角
形绕矩形 的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个 ，使 ，点Q在 上，点R在 上，再画出该三角形向右平移
1个单位后的图形．
20．（8分）（2014·广西南宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，
2），C（3，4）．
（1） 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
（2） 请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
（3） 在 轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．21．（10分）（2019·山东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在
对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点
A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
22．（10分）（2014·湖北武汉·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，A（0，4）、C（3，0），
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD//x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y＝kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．23．（10分）（2012·贵州贵阳·中考真题）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，
我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S ＜S ，过点A画出四边形ABCD
ABC ACD
△ △
的面积等分线，并写出理由．
24．（12分）（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与x轴交于点
．
（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 旋转 ，此时点A、B的对应点分别为点
C、D．
①连结 ，当四边形 为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线 上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、
M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 后与原图重合是关键．
2．D
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：点 关于原点对称的点 的坐标是 ，
故选D．
【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”．
3．C
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得 的值即可求解．
解：∵点 与点 关于原点成中心对称，
∴ ，
，
故选C．
【点拨】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关
于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
4．A
【分析】根据绝对值的意义，对顶角的性质，平行四边形的性质，平行线的判定逐一判断即可．
解：A． 的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B．对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
D． 如果直线 ，那么直线 ，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符
合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
5．C
【分析】根据数轴上表示一对相反数的点关于原点对称即可求得答案．
解：∵数轴上的点A表示的数是−1，
∴点A关于原点对称的点表示的数为1，
故选：C．
【点拨】本题考查了实数与数轴之间的对应关系，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．
【点拨】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对
折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转
180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题关键．
7．B
【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
解：∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为 ，
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标
特点是解题的关键．
8．B
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点拨】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位
置关系即可求解．
9．B
【分析】连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证 AFO≌△OED
△
（AAS），则 ，DE=OF=2， ，因为B、D关于原点对称，所以 .
解：如图，连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，易证 ，
， ，
，
关于原点对称，
，
故选 ．
【点拨】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题
的关键．
10．D
【分析】先求出 ，再利用正方形的性质确定 ，由于 ，所以第70次旋转
结束时，相当于 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转 ，此时旋转前后的
点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
解： ， ，
，
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转
2次，每次旋转 ，
点D的坐标为 ．
故选D．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质
来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如： ， ， ， ， ．
11．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点
的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．解：根据 、 两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，
熟练掌握该特征是解题的关键．
12．
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加
右减”的法则进行解答即可．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线 先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为 ，
再向下平移5个单位， 即 ．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点拨】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
13．（2，﹣1）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即
▱
可得到点C的坐标．
解：∵
▱
ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点拨】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
14． ．
【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．
解：由题意 关于原点对称，，
，
故本答案为： ．
【点拨】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．
【分析】如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成
面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，
再根据待定系数法可求直线l的函数解析式．
解：∵点A，B的坐标分别为（3，5），（6，1），
∴C的坐标为（4，2.5），
则直线l经过点C．
设直线l的函数解析式为y=kx，依题意有
2.5=4k，
解得k= ．
故直线l的函数解析式为y= x．
故答案为y= x．
【点拨】本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，熟知过中心对称图形对称中心的直
线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键.
16．6
解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点
B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为：6．
【点拨】考点：中心对称．
17．2S ＝3S
1 2
【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的
对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S = EF•ON，S = GH•OM，EF＝
1 2
AB，GH＝ BC，则可得到答案．
解：过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S =AB•2ON， S =BC•2OM，
平行四边形ABCD 平行四边形ABCD
∴AB•ON=BC•OM，
∵S = EF•ON，S = GH•OM，EF＝ AB，GH＝ BC，
1 2
∴S = AB•ON，S = BC•OM，
1 2
∴2S ＝3S ，
1 2
故答案为2S ＝3S ．
1 2
【点拨】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是
解题的关键．
18． / / / / /
【分析②】③观④察②两个④半③圆③的位④置②关③系，②根④据④轴对②称③、④平移③、②旋转的性质确定图象变换的方式即可．
解：①只要向右平移1个单位，半圆仍然在直径AB的下边，此变换错误；
②先以直线AB为对称轴进行对称变换，得到直径为AB的上半圆，再向右平移1个单位，得到图2，
此变换正确；
③先绕着O旋转180°，得到直径为AB的上半圆，再向右平移1个单位，得到图2，此变换正确；④只要绕着线段OB的中点旋转180°，得到图2，此变换正确．
故答案为②③④．
【点拨】本题考查了旋转、轴对称、平移的性质．关键是根据变换图形的位置关系，确定变换规律．
19．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）底边长为 即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线
找到在格点上的顶点即可得到等腰 ，然后根据中心旋转性质作出绕矩形 的中心旋转180°后的
图形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
解：（1）（1）画法不唯一，如图1（ ， ），或图2（
）．
（2）画法不唯一，如图3或图4．
【点拨】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或
平行的线段．
20．（1）图形见分析；（2）图形见分析；（3）图形见分析，点P的坐标为：（2，0）
【分析】（1）按题目的要求平移就可以了；
（2）关于原点对称的点的坐标变化是∶横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可．
（3）AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的
两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线
的对称点，然后连接对称点与另一点．解：
（1）△ABC 如图所示；
1 1 1
（2）△ABC 如图所示；
2 2 2
（3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点，
则BA＇的解析式为 ，
当 时， ．
∴△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）．
21．（1）详见分析；（2）AE＝5．
【分析】（1）由“ASA”可证 COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边
形； △
（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
解：证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝△（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点拨】此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运
用.
22．（1）①作图见分析；②作图见分析；（2） ．
【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）将面积平分的直线经过平行四边形ABCD的对角线交点（1.5，2）．
解：（1）①如图，线段AB即为所求线段，
②如图，线段CD即为所求线段；
（2）由（1）知四边形ABCD是平行四边形，
∵直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，
∴直线y=kx必过平行四边形ABCD对角线的交点E，且E为AC的中点，
∵A（0，4）、C（3，0），
∴点E坐标为∴2= ，
解得： ．
23．（1）6；无数（2）见分析（3）图见分析，理由见分析
【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；
过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分
线，平行四边形有无数条面积等分线．
（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
（3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等
推知S =S ；由“割补法”可以求得 ．
ABC AEC
△ △
解：（1）6；无数．
（2）这个图形的一条面积等分线如图：
连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面
积等分线．
（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：
理由如下：
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S =S ．
ABC AEC
△ △
∴ ．
∵S ＞S ，
ACD ABC
△ △∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
24．（1） （或 ）；（2）① ，②存在符合条件的点Q，其坐标为
或 或
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为 ，再把
代入即可得出答案；
（2）①过点 作 轴于点E，根据 ，又因为 ，证明出
，从而得出 ，将 ， ， 代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到 ，点M的横坐标为4， ，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行
四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以 为边时，存在平行四边形为 ；2）当以 为边时，
存在平行四边形为 ；3）当以 为对角线时，存在平行四边形为 ；即可得出答案．
解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的表达式为 ，
又∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ （或 ）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ ，
过点 作 轴于点E，∴ ， ，
在 中， ，
当四边形 为矩形时， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
②由题可得点 与点C关于点 成中心对称，
∴ ，
∵点M在直线 上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，2）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，
3）、当以 为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
得： ，
∴ ，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存
在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
