专题 1.2 集合与常用逻辑用语
【新高考专用】
题型一 集合中元素个数问题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）已知集合P={n|n=2k−1,k∈N∗,k≤10}，Q={2,3,5}，则集合
T={xy|x∈P,y∈Q}中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【解题思路】
根据题意得到P={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，再结合T={xy|x∈P,y∈Q}求解即可.
【解答过程】P={n|n=2k−1,k∈N∗,k≤10}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，Q={2,3,5}，
因为T={xy|x∈P,y∈Q}，
当x∈P,y=2时，xy为偶数，共有10个元素.
当x∈P,y=3时，xy为奇数，
此时xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.
当x∈P,y=5时，xy为奇数，
此时xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.
综上T={xy|x∈P,y∈Q}中元素的个数为10+10+8=28个.
故选：B.
2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合A=¿，若A中恰有2个元素，则m的取值范围是（ ）
1
A．(−∞,0)∪(0, ) B．{0}
3
1 1
C．(−∞,0)∪(0, ] D．(−∞, )
3 3【解题思路】利用集合A的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得.
【解答过程】由集合A中恰有2个元素，得方程mx2−2x+3=0有两个不相等的实数根，
1
因此¿，解得m< 且m≠0，
3
1
所以m的取值范围是(−∞,0)∪(0, ).
3
故选：A.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合A={(x,y)|x2+ y2≤2,x∈N,y∈N}，则A中元素的个数为
4 .
【解题思路】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【解答过程】将满足x2+ y2≤2的整数对(x,y)列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个.
故答案为：4.
4．（2024高三·河北·学业考试）设集合A={1,2,3}，B={4,5}，M=¿，则M中的元素个数为 4 ．
【解题思路】求出所有a+b的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【解答过程】因为集合M中的元素x=a+b，a∈A，b∈B，所以当b=4时，a=1，2，3，此时x=5，
6，7．当b=5时，a=1，2，3，此时x=6，7，8．
根据集合元素的互异性可知，x=5，6，7，8．即M={5,6,7,8}，共有4个元素．
故答案为：4．
题型二 集合间的关系
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合A={x|x2≤1,x∈N}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的
取值范围是（ ）
A．(−∞,0] B．(−∞,0) C．(1,+∞) D．[1,+∞)
【解题思路】根据几集合中的元素化简集合A，再根据集合间的关系即可得实数a的取值范围.
【解答过程】因为集合A={x|x2≤1,x∈N}={0,1}，B={x|x>a}，
若A⊆B，则a<0，故实数a的取值范围是(−∞,0).
故选：B.
6．（2024·黑龙江·三模）已知集合A={2,3}， B={x|0<x<5，x∈N}，，则满足A⊆C⊆B的集
合C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】利用子集求解即可.【解答过程】由题知B={x|0<x<5,x∈N)={1,2,3,4}.
因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，
集合C必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，
即集合{1,4}的子集个数为22=4个.
故选：C.
7．（2024·重庆·三模）已知集合A=¿，B=¿，则满足A⊆CB的集合C的个数为 7 .
【解题思路】化简集合A,B，结合求集合的子集的结论即可求得结果.
【解答过程】因为A=¿，
B=¿，
所以满足A⊆CB的集合C中必有元素2，3，
所以求满足A⊆CB的集合C的个数，即求{0,1,4}集合的真子集个数，
所以满足A⊆CB的集合C的个数为23−1=7个.
故答案为：7.
8．（2024·广西·二模）已知集合A={m+2,1,4}，B={m2,1}，若B⊆A，则实数m= −2 ．
【解题思路】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值.
【解答过程】因为B⊆A，所以m2=m+2或m2=4，⇒m=−1或m=±2，
又由集合中元素的互异性可知m+2≠1且m+2≠4且m2≠1，⇒m≠±1且m≠2，
综上m=−2.
故答案为：−2.
题型三 集合的交、并、补集运算
9．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合A=¿，B=¿，则A∩B=（ ）
A．{−1,0,1,2} B．{−1,0,1} C．N∗ D．N
【解题思路】根据根式的性质化简集合A=¿，即可根据交集的定义求解.
【解答过程】由题，2−x≥0得x≤2，故A=¿，进而A∩B= {−1,0,1,2}，
故选：A.
10．（2024·四川·模拟预测）已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,2},B={1,2}，则集合{0}=（ ）
A．(∁ A)∩(∁ B) B．∁ (A∩B)
U U U
C．(∁ A)∩B D．(∁ B)∩A
U U【解题思路】根据集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可.
【解答过程】因为(∁ A)∩(∁ B)={3,4}∩{0,3,4}={3,4}，故A错误；
U U
因为∁ (A∩B)={0,3,4}，故B错误；
U
因为(∁ A)∩B={3,4}∩{1,2}=∅，故C错误；
U
因为(∁ B)∩A={0,3,4}∩{0,1,2}={0}，故D正确.
U
故选：D.
11．（2024·天津和平·二模）设集合U={x∈N|x≤7}，S={0,2,4,5}，T={3,5,7}，则S∩(∁ T)=
U
{0,2,4} ．
【解题思路】根据集合的交运算以及补集定义即可求解.
【解答过程】U={x∈N|x≤7}={0,1,2,3,4,5,6,7}，∁ T={0,1,2,4,6}，
U
故S∩(∁ T)={0,2,4}，
U
故答案为：{0,2,4}.
12．（2024·江西吉安·模拟预测）设集合A={1,2,3,4},B=¿，则集合A∩B的子集个数为 4 .
【解题思路】由交集的运算得到A∩B，再由集合子集的个数计算公式计算即可.
【解答过程】由题意可得A∩B={2,3}，故A∩B的子集个数为22=4.
故答案为：4.
题型四 集合中的含参问题
13．（2024·贵州遵义·二模）已知集合A={x∣2<x<6}，B={x||x−a|>1}，若A∪B=R，则整数a的
值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】先求出集合B,再根据A∪B=R即可求解.
【解答过程】因为不等式|x−a|>1⇒x−a>1或x−a<−1，解得x<a−1或x>a+1，
所以B=¿或x>a+1}，
因为A∪B=R，所以¿，解得3<a<5，则整数a的值为4，
故选：A.
14．（2024·云南·模拟预测）设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}，A={(x,y)|2x−y+m≥0}，，若点 ，则 的最小值为（ ）
B={(x,y)|x+ y−n>0} P(2,3)∈A∩(∁ B) m+n
U
A．−6 B．1 C．4 D．5
【解题思路】根据P(2,3)∈A∩(∁ B)列不等式组，由此化简求得m+n的最小值.
U
【解答过程】A={(x,y)|2x−y+m≥0}、∁ B={(x,y)|x+ y−n≤0}，
U
由于P(2,3)∈A∩(∁ B)，
U
所以¿，¿，
所以m+n≥4，即m+n的最小值为4.
故选：C.
15．（2024·江苏常州·三模）集合A=¿，B=¿，若A∪B=A，则实数m的取值范围为
(−∞,−2]∪[−1,2] ．
【解题思路】结合B是否为空集进行分类讨论可求m的范围．
【解答过程】由A∪B=A⇒ B⊆A，且A={x|−2≤x≤5}，
当B=∅时，B⊆A，则m−1≥2m+1，即m≤−2，
当B≠∅时，若B⊆A，则¿，解得−1≤m≤2，
综上，实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[−1,2]．
故答案为：(−∞,−2]∪[−1,2]．
16．（2024·安徽·模拟预测）已知A=¿，P=¿，若(∁ A)⊆(∁ B)，则m的取值范围为 (−∞,1) ．
R R
【解题思路】由(∁ A)⊆(∁ B)，可得B⊆A，然后分集合B=∅和B≠∅进行分类讨论.
R R
【解答过程】由题意知，A=(0,10)，
由(∁ A)⊆(∁ B)，可得B⊆A，
R R
若m<0，则B=∅，符合题意．
当m≥0时，B=¿，要使B⊆A，
则¿，解得m<1，因此0≤m<1,
综上，m的取值范围为(−∞,1)．
故答案为：(−∞,1).
题型五 集合的新定义问题
17．（2024·湖南·模拟预测）定义集合A÷B=¿．已知集合A={4,8}，B={1,2,4}，则A÷B的元素的个数
为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据题中条件，直接进行计算即可.
【解答过程】因为A={4,8}，B={1,2,4}，
所以A÷B={1,2,4,8}，故A÷B的元素的个数为4．
故选：B.
18．（2024·四川成都·模拟预测）对于非空实数集A，记A∗={y¿.设非空实数集合M⊆P，若m>1时，
则m∉P.现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有P∗⊆M∗；
②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∗∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∩P∗=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数a，使得对任意的b∈M∗，恒有a+b∈P∗，
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解题思路】根据集合定义得A∗为不小于集合A中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集
合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.
【解答过程】由已知，A∗为不小于集合A中最大值的所有数构成的集合.
①因为M⊆P，设集合M和P中最大值分别为m和p，则p≥m，故有P∗⊆M∗，正确；
②设M=P={x|0<x<1}，则M∗={x|x≥1}，故M∗∩P=∅，错误；
③设M=P={x|0<x≤1}，则P∗={x|x≥1}，故M∩P∗≠∅，错误；
④令a=P∗ −M∗ ，则对任意的b∈M∗，a+b=P∗ −M∗ +b≥P∗ ，故恒有a+b∈P∗，正确.
min min min min min
故选：B.
19．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）对于集合M,N，定义M−N={x¿，且x∉N}，
M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={t|t=x2−3x,x∈R},B={x|x<0}，则A⊕B=
9
{x|x<− 或x≥0} .
4
【解题思路】利用二次函数最值求出集合A，再利用给定的定义求出结果.
3 2 9 9 3 9
【解答过程】由x∈R，得t=(x− ) − ≥− ，当且仅当x= 时取等号，则A={x|x≥− }，
2 4 4 2 49
而B={x|x<0}，于是A−B={x|x≥0}，B−A={x|x<− }，
4
9
所以A⊕B={x|x<− 或x≥0}.
4
9
故答案为：{x|x<− 或x≥0}.
4
20．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合
A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤3,|y|≤2,x,y∈Z}，定义集合
A⊕B={(x +x ,y + y )|(x ,y )∈A,(x ,y )∈B}，则A⊕B中有 63 个元素．
1 2 1 2 1 1 2 2
【解题思路】根据题意，得到集合A中有9个元素，集合B中有35个元素，进而得到x +x 有9个值，
1 2
y + y 有7个值，结合图形，进而求得集合A⊕B中的元素个数，得到答案.
1 2
【解答过程】A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1,x,y∈Z}中有3×3=9个元素（即9个点），
即图中正方形FGHI内部及其正方形FGHI边上的整点，
集合B={(x,y)||x|≤3,|y|≤2,x,y∈Z}中有7×5=35个元素（即42个点），
即图中长方形ABCD内部及其长方形ABCD边上的整点，
所以x +x =−4或−3或−2或−1或0或1或2或3或4，共有9个值，
1 2
y + y =−3或−2或−1或0或1或2或3，共有7个值，
1 2
所以A⊕B=¿中的元素可看作正方形NOPQ中的整点，即7×9=63个．
故答案为：63.
题型六 充分条件与必要条件
21．（2024·四川绵阳·一模）“ac2>bc2”，是“a>b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】若ac2>bc2，则c≠0,c2>0，因此a>b，
当a>b，c=0时，ac2=0=bc2，
所以“ac2>bc2”，是“a>b”的充分不必要条件.
故选：A.
22．（2024·海南海口·二模）已知a>0,b>0，设甲：a−b>1，乙：√a−√b>1，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【解题思路】先举出反例得到充分性不成立，√a−√b>1⇒√a>√b+1两边平方后推出必要性成立.
【解答过程】不妨设a=3,b=1，满足a−b>1，此时√a−√b=√3−1<1，充分性不成立，
√a−√b>1⇒√a>√b+1，两边平方得a>1+b+2√b，
又b>0，故a−b>1+2√b>1，必要性成立，
故甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
23．（2024·陕西西安·模拟预测）若“x>2”是“x2−a>2”的充分不必要条件，则a的取值范围是
(−∞,2] ．
【解题思路】根据题意转化为当x>2时，x2−a>2恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】由x>2是x2−a>2的充分不必要条件，可转化为当x>2时，x2−a>2恒成立，
即当x>2时，a<x2−2恒成立，
又由函数f (x)=x2−2在(2,+∞)上为单调递增函数，且f (2)=2，所以a≤2，
经验证，当a≤2时，x2−a>2不等价于x>2，所以a的取值范围是(−∞,2]．
故答案为：(−∞,2].
24．（2024·江苏无锡·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分
不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的 充分不必要 条件.（充分不必要、必要不充分、充
要、既不充分又不必要四选一）
【解题思路】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解答过程】因为A是B的必要不充分条件，所以B⇒A，但A⇒ B，
A是C的充分不必要条件，所以A⇒C，但C⇒A，D是B的充分必要条件，所以D⇒B，但B⇒D，
所以D⇒B⇒A⇒C，但C⇒D，
故D是C的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
题型七 全称量词与存在量词命题
25．（2024·湖北·一模）命题“∃a>0,a2+1<2”的否定为（ ）
A．∃a>0,a2+1≥2 B．∃a≤0,a2+1≥2
C．∀a>0,a2+1≥2 D．∀a≤0,a2+1≥2
【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.
【解答过程】因为“∃a>0,a2+1<2”的否定是“∀a>0,a2+1≥2”.
故选：C.
26．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“∃a∈[1,3],ax2+(a−2)x−2>0”是假命题，则x不能等于
（ ）
2
A．−1 B．0 C．1 D．
3
【解题思路】转化为命题的否定“∀a∈[1,3],ax2+(a−2)x−2≤0”为真命题.用关于a的一次函数来考
虑，即可解.
【解答过程】根据题意，知原命题的否定“∀a∈[1,3],ax2+(a−2)x−2≤0”为真命题.
2
令f(a)=(x2+x)a−2x−2,¿,解得−1≤x≤
.
3
故选:C.
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，2x>1，则¬p是 ∃x ∈R,2x 0≤1 .
0
【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得.
【解答过程】由p:∀x∈R，2x>1可得：¬p:∃x ∈R,2x 0≤1.
0
故答案为：∃x ∈R,2x 0≤1.
0
28．（2024·吉林·二模）若命题：“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为
1
[ ,+∞) .
4
【解题思路】分析可知命题“∀x∈R,ax2+x+1≥0”为真命题，对实数a的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
【解答过程】由题意可知，题“∀x∈R,ax2+x+1≥0”为真命题，
当a=0时，由x+1≥0可得x≥−1，不符合题意，
当a≠0时，根据题意知不等式恒成立则¿，
1
解之可得a≥ .
4
1
故答案为：[ ,+∞).
4
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A={x|x2−ax=0},B={2a,0,1}，若A⊆B，则a的值可以为
（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
1
【解题思路】根据互异性可知a≠0且a≠ ，求出集合A，然后根据包含关系求解即可.
2
1
【解答过程】对于集合B，由元素的互异性知a≠0且a≠ ，则A={0,a}．
2
由A⊆B得{0,a}⊆{2a,0,1}．
若a=1，则B={2,0,1}，满足A⊆B；
若a=2a，则a=0，矛盾，舍去．
故选：A.
2．（2024·云南昆明·模拟预测）命题“∀x∈R，x2−3x+4<0”的否定是（ ）
A．∃x ∉R，x2−3x +4≥0 B．∃x ∈R，x2−3x +4>0
0 0 0 0 0 0
C．∃x ∈R，x2−3x +4≥0 D．∀x∉R，x2−3x+4≥0
0 0 0
【解题思路】根据全称命题与存在性命题的关系直接判断即可.
【解答过程】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“∀x∈R，x2−3x+4<0”的否定为：“
∃x∈R，x2−3x+4≥0”，
故选：C．
3．（2024·陕西汉中·二模）已知全集U={x∈Z∣−3≤x<3}，集合A={−2,0,2},B={−1,0}，则∁ (A∪B)=（ ）
U
A．{−3,1} B．{−3,3}
C．{−3,1,3} D．∅
【解题思路】根据条件，求出全集U，再利用集合的运算，即可求出结果.
【解答过程】因为U={x∈Z∣−3≤x<3}={−3,−2,−1,0,1,2}，又A∪B={−2,−1,0,2},
所以∁ (A∪B)={−3,1}，
U
故选：A.
4．（2024·天津北辰·三模）对于实数x，“x≠5”是“|x−3|≠2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】分析可知|x−3|≠2，等价于x≠1且x≠5，再利用包含关系分析充分、必有条件.
【解答过程】因为|x−3|≠2，等价于x≠1且x≠5，
且(−∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)是(−∞,5)∪(5,+∞)的真子集，
所以“x≠5”是“|x−3|≠2”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合
P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z}，且a∈P,b∈Q，则
（ ）
A．a+b∈M B．a+b∈Q C．a−b∈P D．a⋅b∈Q
【解题思路】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.
【解答过程】因为a∈P，所以a=2k ,k ∈Z，因为b∈Q，所以b=2k +1,k ∈Z
1 1 2 2
所以a+b=2k +2k +1=2(k +k )+1∈Q，故A错误，B正确；
1 2 1. 2
所以a−b=2k −2k −1=2(k −k −1)+1∈Q，故C错误；
1 2 1. 2
所以a⋅b=2k ⋅(2k +1)=2(2k k +k )∈P，故D错误；
1 2 1 2 1
故选：B．
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，若集合C={z∈N* ¿且y∈B}，则C
的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64【解题思路】首先求集合C中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解.
【解答过程】由条件可知，xy=0×1=0×2=0×3=0，xy=1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，
2×2=4，2×3=6，
所以集合C={1,2,3,4,6}，集合C的子集的个数为25=32个.
故选：C.
7．（2024·河北保定·二模）已知集合A=¿，B=¿，若A∩B中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A．[2,4) B．[1,2) C．[2,4] D．[1,2]
【解题思路】根据A∩B={0,1}即可求解.
【解答过程】A=¿，
因为A∩B中只有2个元素，则A∩B={0,1}，所以1≤a<2.
故选：B.
8．（2024·全国·二模）已知集合A={−2,−1,0,1,2}，集合B=¿，则满足A∩B={0,1}的实数a的取值范围
是（ ）
A．[0,2] B．(2,6] C．(0,2] D．(0,6]
【解题思路】根据交集的结果，代入不等式，即可求解.
【解答过程】由条件可知¿，解得：0<a≤2.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·重庆·三模）命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．m>−2 B．m>−1 C．m>0 D．m>1
1−2x 1−2x
【解题思路】根据题意，转化为存在x>0，设定m>
，利用二次函数的性质，求得 的最小值
x2 x2
为−1，求得m的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
1−2x 1 2 1 1 2
【解答过程】由题意，存在x>0，使得mx2+2x−1>0，即m> =( ) −2× =( −1) −1，
x2 x x x
1 1−2x
当 −1=0时，即x=1时， 的最小值为−1，故m>−1；
x x2
所以命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>−1}的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合
U={2,3,5,7,11,13,17},A={2,5,7,13},B={3,7,13,17},C={7,13}，则下列关系正确的是（ ）
A．(∁ A)∩(∁ B)= ∁ (A∪B) B．∁ (∁ A)= ∁ (∁ B)
U U U U U U U
C．A∩C=B∩C D．∁ (A∩B)= ∁ C
U U
【解题思路】根据题意，结合集合的运算法则，逐项计算，即可求解.
【解答过程】因为集合U={2,3,5,7,11,13,17},A={2,5,7,13},B={3,7,13,17},C={7,13}，
可得A∪B={2,3,5,7,13,17}，A∩B={7,13}，∁ A={3,11,17},∁ B={2,5,11}且
U U
∁ (∁ A)=A,∁ (∁ B)=B，
U U U U
对于A中，由(∁ A)∩(∁ B)={11}，∁ (A∪B)={11}，可得(∁ A)∩(∁ B)= ∁ (A∪B)，
U U U U U U
所以A正确；
对于B中，由∁ (∁ A)=A,∁ (∁ B)=B，可得∁ (∁ A)≠∁ (∁ B)，所以B不正确；
U U U U U U U U
对于C中，由A∩C={7,13},B∩C={7,13}，可得A∩C=B∩C，所以C正确；
对于D中， 由∁ (A∩B)={2,3,5,11,17}，∁ C={2,3,5,11,17}，所以∁ (A∩B)= ∁ C，所以D
U U U U
正确.
故选：ACD.
11．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B
为集合A，B的对称差．例如：若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}．下列命题中，为真命题的是
（ ）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁ A⊕∁ B
U U
【解题思路】A选项，根据题意得到A⊆B且B中元素不能出现在A∩B中，故A=∅；B选项，A∪B与
A∩B是相同的，所以A=B；C选项，推出B⊆A；D选项，表达出
∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ A∪∁ B,x∉∁ A∩∁ B}，结合∁ A∪∁ B= ∁ (A∩B)，
U U U U U U U U U
∁ A∩∁ B= ∁ (A∪B)，得到∁ A⊕∁ B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，故
U U U U U
A⊕B= ∁ A⊕∁ B.
U U【解答过程】A选项，A,B⊆R且A⊕B=B，则B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
故A⊆B，且B中元素不能出现在A∩B中，故A=∅，A正确；
B选项，A,B⊆R且A⊕B=∅，则∅={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，B正确；
C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A，故B⊆A，C错误；
D选项，∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ A∪∁ B,x∉∁ A∩∁ B}，
U U U U U U
其中∁ A∪∁ B= ∁ (A∩B)，∁ A∩∁ B= ∁ (A∪B)，
U U U U U U
故∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ (A∩B),x∉∁ (A∪B)}={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
U U U U
而A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
故A⊕B= ∁ A⊕∁ B，D错误.
U U
故选：AB.
三、填空题
{1 1}
12．（2024·山东菏泽·二模）已知A={3,5},B= , ，集合C={x|x=ab,a∈A,b∈B}．则集合C中
2 8
所有元素之和为 5 ．
【解题思路】根据题意，求出C，即可得集合C中所有元素之和．
{3 5 3 5}
【解答过程】由题意，得C= , , , ，
2 2 8 8
3 5 3 5
则集合C中所有元素之和为 + + + =5.
2 2 8 8
故答案为：5.
13．（2024·全国·模拟预测）设集合A={1,n,5},B={x|x2−4x+m=0}.若{1}⊆(A∩B)且B⊆A，则
m+n=
6 .
【解题思路】根据集合间的关系可知1∈B，可得m=3，再由B⊆A求得n=3，即可得解.
【解答过程】因为集合A={1,n,5},B={x|x2−4x+m=0}，
若{1}⊆(A∩B)，则1∈A且1∈B，可得1−4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，又B⊆A，所以n=3，所以m+n=6.
故答案为：6.
14．（2024·全国·模拟预测）已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若
A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤ y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是
[1,+∞) .
【解题思路】由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即
求.
【解答过程】∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，
又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤ y≤m}，
∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
四、解答题
15．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合A=¿.
(1)当a=2时，A中只有一个元素，求b的值；
(2)当b=2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【解题思路】（1）借助根与系数的关系计算即可得；
（2）分a=0及a≠0进行讨论，若a=0，可计算出结果，若a≠0，则需借助根与系数的关系计算.
【解答过程】（1）当a=2时，A=¿，
由A中只有一个元素，则有Δ =b2−8=0，解得b=±2√2；
1
（2）当b=2时，A=¿，
由A中至多有一个元素，故A中可能没有元素或1个元素，
当a=0时，A=¿，符合要求；
当a≠0时，对ax2+2x+1=0有：
Δ =4−4a≤0，解得a≥1；
2
综上所述：a=0或a≥1.
16．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题p:关于x的方程mx2+2x−1=0有实数根.命题
q:∀x∈[1，4]，不等式−x2+4x−3≥m2−4m恒成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围;
(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）p为真命题，则方程mx2+2x−1=0有实数根，分m=0与m≠0两种情况讨论即可.
（2）由一元二次不等式恒成立求得当命题q为真命题时m的范围，利用交集运算求解即可.
【解答过程】（1）若命题p为真命题，则关于x的方程mx2+2x−1=0有实数根，
当m=0时，2x−1=0有实数根，
当m≠0时，则Δ=4+4m≥0，解得m≥−1且m≠0，
综上，实数m的取值范围为[−1，+∞).
（2）命题q为真命题，则∀x∈[1，4]，不等式−x2+4x−3≥m2−4m恒成立，
当x∈[1，4]时，−x2+4x−3=−(x−2) 2+1∈[−3，1]，
则m2−4m≤−3，解得1≤m≤3.
m≥−1
当p真q假时，有{ ，则−1≤m<1或m>3；
m>3或m<1
当p假q真时，有¿，则解集为：∅
综上，−1≤m<1或m>3，
故实数m的取值范围为[−1，1)∪(3，+∞).
17．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=¿.
(1)若b=4，存在集合M使得P为M 的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
【解题思路】（1）确定P=∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；
（2）分类讨论，P=∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得
集合P检验即可．
【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=(−3) 2−4×1×4<0，所以P=∅.
又Q=¿，故P⊊Q.
由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，
用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{−4},{−1},{1},{−4,−1},{−4,1},{−1,1}.
（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2−3x+b=0，
9
有Δ=9−4b<0，所以b>
.
4
当P≠∅时，因为Q={−4,−1,1}，所以当−1∈P时，
(−1) 2−3×(−1)+b=0，即b=−4，此时P=¿，
因为4∉Q，所以P不是Q的子集；同理当−4∈P时，b=−28，P={7,−4}，也不是Q的子集；
当1∈P时，b=2，P={1,2}，也不是Q的子集.
综上，满足条件的b的取值范围是¿.
18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合U为实数集，A=¿或x≥8}，B=¿.
(1)若a=5，求(∁ A)∩B；
U
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由题意可得B=¿，再利用补集与交集定义计算即可得；
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分B=∅及B≠∅讨论并计算即可得.
【解答过程】（1）当a=5时，B=¿，且∁ A=¿，
U
故(∁ A)∩B=¿；
U
（2）∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，
当B=∅，即a−1>2a+1，即a<−2时，此时满足题意；
当B≠∅，即a−1≤2a+1，即a≥−2时，
只需2a+1≤−5或a−1≥8，即a≤−3或a≥9，
又a≥−2，所以a≥9；
综上所述，实数a的取值范围为(−∞,−2)∪[9,+∞).
19．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的
a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=¿且a∈Z,b∈Z}，A=¿且a∈Z,b∈Z}，B=¿.
(1)求集合U；
(2)求集合A；
(3)集合A,B是否能满足(∁ A)∩B=∅？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由.
U
【解题思路】（1）根据新定义运算可得U=¿，分a=1,b=1、a=1,b=2与a=2,b=2讨论即可求解；
a⊗b ab+1
（2）根据新定义运算可得4(a⊕b)+ =4ab+ ，代入a=1,b=2即可求解；
b b
（3）易知∁ A={3,4}，假设集合A,B能满足(∁ A)∩B=∅，则B=∅，或3∉B且4∉B，代入求解
U U
即可.
【解答过程】（1）因为对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1，
全集U=¿且a∈Z,b∈Z}，
所以U=¿因为0<a≤b<3,a,b∈Z，所以a=1,b=1，或a=1,b=2，或a=2,b=2.
当a=1,b=1时，ab+ab+1=1+1+1=3；
当a=1,b=2时，ab+ab+1=2+1+1=4；
当a=2,b=2时，ab+ab+1=4+4+1=9，
所以U={3,4,9}.
a⊗b ab+1
（2）4(a⊕b)+ =4ab+ ,
b b
因为0<a<b<3且a∈Z,b∈Z，所以a=1,b=2，
a⊗b ab+1 12+1
所以4(a⊕b)+ =4ab+ =4×1×2+ =9
b b 2
所以A={9}.
（3）因为U={3,4,9}，A={9}，所以∁ A={3,4}.
U
假设集合A,B能满足(∁ A)∩B=∅，
U
则B=∅，或3∉B且4∉B.
又B=¿，
9
当B=∅时，Δ=(−3) 2−4m<0，解得m> ；
4
当3∈B时，32−3×3+m=0，解得m=0；
当4∈B时，42−3×4+m=0，解得m=−4.
所以若3∉B且4∉B，则m≠0且m≠−4.
综上所述，实数m的取值范围为¿.
所以集合A,B能满足(∁ A)∩B=∅，实数m的取值范围为¿.
U
