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专题 1.2 集合与常用逻辑用语
【新高考专用】
题型一 集合中元素个数问题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）已知集合 ， ，则集合
P={n|n=2k−1,k∈N∗,k≤10} Q={2,3,5}
中元素的个数为（ ）
T={xy|x∈P,y∈Q}
A．30 B．28 C．26 D．24
2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合A=¿，若A中恰有2个元素，则m的取值范围是（ ）
1
A．(−∞,0)∪(0, ) B．{0}
3
1 1
C．(−∞,0)∪(0, ] D．(−∞, )
3 3
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合 ，则 中元素的个数为
A={(x,y)|x2+ y2≤2,x∈N,y∈N} A
.
4．（2024高三·河北·学业考试）设集合A={1,2,3}，B={4,5}，M=¿，则M中的元素个数为 ．
题型二 集合间的关系
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合A={x|x2≤1,x∈N}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的
取值范围是（ ）
A．(−∞,0] B．(−∞,0) C．(1,+∞) D．[1,+∞)
6．（2024·黑龙江·三模）已知集合A={2,3}， B={x|01}，若A∪B=R，则整数a的
值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（2024·云南·模拟预测）设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}，A={(x,y)|2x−y+m≥0}，
，若点 ，则 的最小值为（ ）
B={(x,y)|x+ y−n>0} P(2,3)∈A∩(∁ B) m+n
U
A．−6 B．1 C．4 D．5
15．（2024·江苏常州·三模）集合A=¿，B=¿，若A∪B=A，则实数m的取值范围为 ．
16．（2024·安徽·模拟预测）已知A=¿，P=¿，若(∁ A)⊆(∁ B)，则m的取值范围为 ．
R R
题型五 集合的新定义问题
17．（2024·湖南·模拟预测）定义集合A÷B=¿．已知集合A={4,8}，B={1,2,4}，则A÷B的元素的个数
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（2024·四川成都·模拟预测）对于非空实数集A，记A∗={y¿.设非空实数集合M⊆P，若m>1时，
则m∉P.现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有P∗⊆M∗；
②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∗∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∩P∗=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数a，使得对任意的b∈M∗，恒有a+b∈P∗，
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
19．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）对于集合M,N，定义M−N={x¿，且x∉N}，
M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={t|t=x2−3x,x∈R},B={x|x<0}，则A⊕B=
.
20．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合
，定义集合
A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤3,|y|≤2,x,y∈Z}
，则 中有 个元素．
A⊕B={(x +x ,y + y )|(x ,y )∈A,(x ,y )∈B} A⊕B
1 2 1 2 1 1 2 2
题型六 充分条件与必要条件
21．（2024·四川绵阳·一模）“ac2>bc2”，是“a>b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（2024·海南海口·二模）已知a>0,b>0，设甲：a−b>1，乙：√a−√b>1，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
23．（2024·陕西西安·模拟预测）若“x>2”是“x2−a>2”的充分不必要条件，则a的取值范围是
．
24．（2024·江苏无锡·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分
不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不
充分又不必要四选一）
题型七 全称量词与存在量词命题
25．（2024·湖北·一模）命题“∃a>0,a2+1<2”的否定为（ ）A．∃a>0,a2+1≥2 B．∃a≤0,a2+1≥2
C．∀a>0,a2+1≥2 D．∀a≤0,a2+1≥2
26．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“∃a∈[1,3],ax2+(a−2)x−2>0”是假命题，则x不能等于
（ ）
2
A．−1 B．0 C．1 D．
3
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，2x>1，则¬p是 .
28．（2024·吉林·二模）若命题：“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 的值可以为
A={x|x2−ax=0},B={2a,0,1} A⊆B a
（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
2．（2024·云南昆明·模拟预测）命题“∀x∈R，x2−3x+4<0”的否定是（ ）
A． ， B． ，
∃x ∉R x2−3x +4≥0 ∃x ∈R x2−3x +4>0
0 0 0 0 0 0
C． ， D． ，
∃x ∈R x2−3x +4≥0 ∀x∉R x2−3x+4≥0
0 0 0
3．（2024·陕西汉中·二模）已知全集U={x∈Z∣−3≤x<3}，集合A={−2,0,2},B={−1,0}，则
∁ (A∪B)=（ ）
U
A．{−3,1} B．{−3,3}
C．{−3,1,3} D．∅
4．（2024·天津北辰·三模）对于实数x，“x≠5”是“|x−3|≠2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合
，且 ，则
P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z} a∈P,b∈Q
（ ）A．a+b∈M B．a+b∈Q C．a−b∈P D．a⋅b∈Q
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，若集合C={z∈N* ¿且y∈B}，则C
的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
7．（2024·河北保定·二模）已知集合A=¿，B=¿，若A∩B中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A．[2,4) B．[1,2) C．[2,4] D．[1,2]
8．（2024·全国·二模）已知集合A={−2,−1,0,1,2}，集合B=¿，则满足A∩B={0,1}的实数a的取值范围
是（ ）
A．[0,2] B．(2,6] C．(0,2] D．(0,6]
二、多选题
9．（2024·重庆·三模）命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．m>−2 B．m>−1 C．m>0 D．m>1
10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合
U={2,3,5,7,11,13,17},A={2,5,7,13},B={3,7,13,17},C={7,13}，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
(∁ A)∩(∁ B)= ∁ (A∪B) ∁ (∁ A)= ∁ (∁ B)
U U U U U U U
C．A∩C=B∩C D．∁ (A∩B)= ∁ C
U U
11．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B
为集合A，B的对称差．例如：若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}．下列命题中，为真命题的是
（ ）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁ A⊕∁ B
U U
三、填空题
{1 1}
12．（2024·山东菏泽·二模）已知A={3,5},B= , ，集合C={x|x=ab,a∈A,b∈B}．则集合C中
2 8
所有元素之和为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）设集合 .若 且 ，则
A={1,n,5},B={x|x2−4x+m=0} {1}⊆(A∩B) B⊆A
m+n=
.14．（2024·全国·模拟预测）已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若
A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤ y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是
.
四、解答题
15．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合A=¿.
(1)当a=2时，A中只有一个元素，求b的值；
(2)当b=2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围.
16．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题p:关于x的方程mx2+2x−1=0有实数根.命题
q:∀x∈[1，4]，不等式−x2+4x−3≥m2−4m恒成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围;
(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围.
17．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=¿.
(1)若b=4，存在集合M使得P为M 的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合U为实数集，A=¿或x≥8}，B=¿.
(1)若 ，求 ；
a=5 (∁ A)∩B
U
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.19．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的
a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=¿且a∈Z,b∈Z}，A=¿且a∈Z,b∈Z}，B=¿.
(1)求集合U；
(2)求集合A；
(3)集合 是否能满足 ？若能，求出实数 的取值范围；若不能，请说明理由.
A,B (∁ A)∩B=∅ m
U
