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专题 1.4 集合与常用逻辑用语真题训
练
1．（2023·全国甲卷（文））设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
2．（2023·新课标全国Ⅱ卷）设集合 ， ，若 ，则
（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
3．（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等
式成立，所以 ．
故选：C．
4．（2023年新高考天津卷）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
5．（2023年高考全国乙卷数学(理)）设集合 ，集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
6．（2023年高考全国甲卷数学(理)）设集合
，U为整数集， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 ，，所以， ．
故选：A．
7．（2022年新高考天津卷）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当 为整数时， 必为整数；当 为整数时， 比一定为整数；即可选
出答案.
【详解】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2022年新高考浙江卷）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
9．（2022年新高考浙江卷）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
10．（2022年新高考全国I卷）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
11．（2022年高考全国乙卷数学(文)）集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
12．（2022年高考全国甲卷数学(文)）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
13．（2022年高考全国甲卷数学(理)）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ,
所以 .故选：D.
14．（2022年新高考北京卷）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数
列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、
必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数
列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
15．（2022年新高考全国Ⅰ卷）若集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D16．（2022年新高考北京卷）已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
17．（2021年高考天津卷）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
18．（2021年高考浙江卷）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示， ,当 时， 与 垂直，
，所以 成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件故选：B.
19．（2021年全国高考乙卷数学(理)）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
20．（2021年全国高考甲卷数学(理)）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲：
，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有
成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛
盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须
要给予其证明过程．21．（2021年全国高考甲卷数学（理)）设集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为 ，所以 ,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本
概念即可求解.
