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专题 1.3《集合与常用逻辑用语》单元测试卷
时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·宁夏高三二模（文））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
直接根据交集的定义求解即可.
【详解】
集合 ， ，
所以 .
故选：A.
2．（2021·吉林高三其他模拟（文））已知全集 ， ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题设，结合韦恩图，即可求集合B.
【详解】
由 ， ，∴ .
故选：C.
3．（2021·全国高三月考（文））已知集合 ， ，则 中元
素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
化简集合 ，进而求交集即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，则 中元素个数为 ，
故选:B.
4．（2021·山西高三一模（文））“ ， ， ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
利用充分必要条件定义判断
【详解】当 ， 成立 ；反之，当 ， 推不出 ，故“
， ， ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
5．（2021·辽宁高三一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解不等式确定集合 ，然后由补集定义计算．
【详解】
由已知 ，所以 ．
故选：C．
6．（2020·全国高二课时练习）“双曲线C的方程为 ”是“双曲线C的渐近线方
程为 ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
分成充分性和必要性分别讨论
充分性：双曲线C的方程为 ”，能否推出“双曲线C的渐近线方程为 ”；
必要性：“双曲线C的渐近线方程为 ”，能否推出“双曲线C的方程为 ”【详解】
因为“双曲线C的方程为 ”，可得“双曲线C的渐近线方程为 ”，符合双曲线的基
本性质；
而“双曲线C的渐近线方程为 ”，则“双曲线C的方程为 =m，m≠0”，
所以命题甲推出命题乙，命题乙不能说明命题甲，
说明甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2021·全国高一课时练习）若 ， 是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线 ， ， ；
②存在一个平面 ， ， ；
③存在两条平行直线 ， ， ， ， ， ；
④存在两条异面直线 ， ， ， ， ， .
那么可以是 的充分条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
由题意判断分析出能得出 的选项，然后根据线面、面面的位置关系判断即可.
【详解】
对①.当 ､ 不平行时，不存在直线 与 ､ 都垂直， ， ，故①正确；
对②， ， ， ､ 可以相交也可以平行， ②不正确；
对③， ， ， ， ， 时， ､ 位置关系不确定， ③不正确；对④， 异面直线 ， . ，
过直线 作一平面 ，使得 ，则 且 ， ，所以
若直线 与直线 平行或重合，则 ，与 ， 异面相矛盾，所以直线 与直线 相交
所以相交直线 均与平面 平行，所以可得 ， ④正确.
故选:C.
8．（2021·全国高三专题练习）已知等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
设等比数列 的公比为 ，根据当 时，满足 ，但不满足 ，可知充分性不成立；根
据 可推出 且 ，可推出 ，可知必要性成立.从而可得答案.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
由 得 得 ，又 ，∴ ，解得 ，
当 且 时， ；
当 时， ；
当 时， ，所以充分性不成立；
由 得 ，又 ，解得 ，所以 且 ；
当 时， 成立，所以 ，得 ；
当 时， 成立，所以 ，得 ；所以必要性成立，故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·全国高一单元测试）下列“若 ，则 ”形式的命题中， 是 的必要条件的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】
利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，取 ， ，则 ，但 ，即“ ”不是“ ”的必要条件；
对于B选项，若 ，则 ，即“ ”是“ ”的必要条件；
对于C选项，若 ，则 ，即“ ”是“ ”的必要条件；
对于D选项，若 ，则 ，即“ ”是“ ”的必要条件.
故选：BCD.
10．（2021·全国高一单元测试）下列说法中正确的个数是（ ）
A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
B．命题“ ”是全称量词命题；
C．命题“ ， ”是存在量词命题．
D．命题“不论 取何实数，方程 必有实数根”是真命题；
【答案】BC
【解析】
根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.
【详解】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；
B中命题“ ”是全称量词命题,故B正确；
C中命题“ , ”是存在量词命题,故C正确；
D中选项中当 时，即当 时，方程 没有实数根,因此，此命题为假命题.
故选：BC
11．（2021·广东高三其他模拟）已知集合 ，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
【答案】ABC
【解析】
求出集合 ，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】
，若 ，则 ，且 ，故A正确.
时， ，故D不正确.
若 ，则 且 ，解得 ，故B正确.
当 时， ，解得 或 ，故C正确.
故选：ABC．
12．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）集合 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为 .若集合
， ， 则下列说法中正确
的有（ ）A．若 ，则实数 的取值范围为
B．存在 ，使
C．无论 取何值，都有
D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
对于A，要使 ，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出 的取值范围；对于B，
C，由于直线 过定点 ，而点 在圆 内，从而可得 ；对于
D，设原点到直线 的距离为 ，则 ，分母有理化后可求出
其最大值，从而可判断D
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，解得 ，故A正确.
对于B和C，直线 过定点 ，因为 ，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线 的距离为 ，则
，所以 的最大值，即 的最大值，于是 的最大值为 ，故D正
确.
故选：ACD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江高一期末）写出命题 的否定： ___________
【答案】
【解析】
根据命题的否定的定义求解．
【详解】
命题 的否定是： ．
故答案为： ．
14．（2021·全国高三月考（文））若命题“ ，使得 成立”是假命题，则实数
的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
由题意可知，命题“ ，使得 成立”是真命题，可得出 ，结合基本不等
式可解得实数 的取值范围．
【详解】
若命题“ ，使得 成立”是假命题，
则有“ ，使得 成立”是真命题.
即 ，则 ，
又 ，当且仅当 时取等号，故 ．
故答案为：
15．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设有下列四个命题：： ， ； ： ， ；
：方程 有两个不相等实根； ：函数 的最小值是2．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①②④
【解析】
命题 ：构造函数，利用导数、结合任意的定义进行判断本命题的真假，
命题 ：利用特殊值法，结合存在的定义进行判断本命题的真假，
命题 ：利用一元二次方程根的判别式进行判断本命题的真假，
命题 ：利用特殊值法进行判断本命题的真假.
然后利用或、且、非命题的真假命题的判断方法进行判断即可.
【详解】
， ， ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ，所以 为真．
当 时成立，所以 为真．
，方程有两个不相等实根，所以 为真．
当 时， ，所以 为假．
所以 ， ， 为真，
故答案为：①②④．16．（2020·全国高一专题练习）已知集合 ，集合 ，
若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________；若“x∈A”是“x∈B”的必要不
充分条件，则实数a的取值范围是_________.
【答案】[1,+∞） （0, ].
【解析】
根据集合的含义，结合充分性和必要性，数形结合解决问题.
【详解】
根据题意，集合 ，
其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，
集合 ，
其几何意义为圆x2+y2＝a2的圆周及其内部区域，
而圆x2+y2＝a2的圆心为 ，半径r＝a，
若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则正方形ABCD在圆x2+y2＝a2的内部，必有a≥1，
此时a的取值范围为[1,+∞）；
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则圆x2+y2＝a2在正方形ABCD的内部，
由点到直线的距离公式可知当圆与正方形相切时候半径为 .则要满足题意，只需a≤ ，
此时a的取值范围为（0, ]；
故答案为：[1,+∞）；（0, ].
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国高一课时练习）已知U={x∈R|1
