专题 1.3 不等式与复数【七大题型】
【新高考专用】
1、不等式
不等式是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求
解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题
工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中
利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。
2、复数
复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳
定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何
意义，属于简单题.【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么b
b.即a>b bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
⇔
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
⇒
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【知识点2 基本不等式】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存
在取等号的条件．
2．常见的求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
(1)模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
(2)模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号
成
立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
(3)模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,00，它的解集
为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
【知识点4 复数有关问题的解题策略】
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；
若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 ，即 .
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 ，则 ，即 ，若
，则 .
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量
与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【题型1 不等式性质及其应用】
【例1】（2024·河南驻马店·二模）已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a>b+c B．a2b2 D．ab+bc>b2+ac
1 1
【变式1-1】（2024·陕西商洛·三模）已知a,b∈R，则“ < ”是“a3>b3”的（ ）
√a √b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
π π
【变式1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知 <α<β< ，则2α−2β的取值范围是（ ）
4 2
π π π
( ) ( )
A． − , B． − ,0
2 2 2
C．(−π,π) D．(−π,0)
【变式1-3】（2024·浙江金华·模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.
若a>b>c,则（ ）
A．N0,y>0，且满足x+ y=xy−3，则xy的最小值为（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．9
1 1
【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+ y=1，则 + 的最小值为（ ）
2x 1+ y
3+2√2 3+2√2 4
A． B． C．2 D．
2 4 3
【变式2-2】（2024·山西·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小
x>0 y>0 4x2+5xy=(4+ y)(4−y) 7x+4 y
值为（ ）
A．6√3 B．6√5 C．8√3 D．8√5
【变式2-3】（2024·山东淄博·二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则{2 1 }
max , ,x2+4 y2 的最小值为（ ）
x y
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2x+ y=6，则2x+ y的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式3-1】（2024·四川成都·三模）设函数f (x)=x3−x，正实数a,b满足f (a)+f (b)=−2b，若
a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为（ ）
A．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2
【变式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+√xy≤a(x+ y)恒成
立，则实数a的最小值为（ ）
√2−1 √2+1
A． B．√2−1 C．√2+1 D．
2 2
【变式3-3】（2024·广东湛江·二模）当 ， 时，4x4+17x2y+4 y2 m恒成立，则m的取值
x y∈(0,+∞) <
x4+2x2y+ y2 4
范围是（ ）
(99 )
A．(25,+∞) B．(26,+∞) C． ,+∞ D．(27,+∞)
4
【题型4 二次不等式及其参数问题】
【例4】（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式
bx2−ax<0的解集为（ ）
( 1 ) ( 1)
A． − ,0 B． −∞,− ∪(0,+∞)
4 4
( 1) (1 )
C． 0, D．(−∞,0)∪ ,+∞
4 4
【变式4-1】（2024·浙江绍兴·三模）若关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
x |x2+mx+n|>0 ¿
A．m=3，n=2 B．m=−3，n=2 C．m=3，n=−2 D．m=−3，n=−2
【变式4-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式 的解集是（ ）
|x2−3x|<2−2xA．( 1) B．( 1 1) C．( 5−√17) D．(5−√17 1)
−1, − , −1, ,
2 2 2 2 2 2
【变式4-3】（2024·河南·模拟预测）某同学解关于 的不等式 时，因弄错了常数 的
x ax2+bx+c<0(a≠0) c
符号，解得其解集为(−∞,−3)∪ (−2,+∞)，则不等式bx2+cx+a>0的解集为（ ）
( 1) ( 1 )
A． −1,− B．(−∞,−1)∪ − ,+∞
5 5
(1 ) ( 1)
C． ,1 D． −∞, ∪(1,+∞)
5 5
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】
【例5】（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+(k−6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是
（ ）
A．2≤k≤18 B．−180时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范
围是（ ）
A．(−8,8) B．(−∞,8] C．(−∞,8) D．(8,+∞)
【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实数
∃x ∈[−1,1] −x2+3x +a>0 a
0 0 0
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,4) C．(−2,+∞) D．(4,+∞)
【变式5-3】（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成
立；命题q：存在0≤x≤1，使得不等式2x−2≥m2−3m成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m
的取值范围为（ ）
A．{m∣m<−1} B．{m∣0≤m≤3}
C．{m∣0≤m<1} D．(−∞,0)∪[1,+∞)
【题型6 复数的四则运算】
【例6】（2024·陕西商洛·一模）若复数z=(2+i)(1−i)，则z=（ ）
A．1−i B．1+i C．3−i D．3+i
z+1
【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）若复数z满足 =2−i，则z=（ ）
i
A．1−2i B．1+2i C．−2i D．2iz−z
【变式6-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）若z=−2+i，则 =（ ）
z+1
A．−1+i B．1+i C．1−i D．−1−i
z+2
【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数z满足 =2−i，则z=（ ）．
z
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
【题型7 复数的几何意义】
【例7】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知复数z所对应的点在第四象限，且|z|=2√2，z2的虚部为
−8，则复数z=（ ）
A．2−2i B．2i−2 C．√2−√6i D．√6i−√2
【变式7-2】（2024·宁夏·二模）已知复数z满足|z−4+5i|=1，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式7-3】（2024·重庆·二模）若复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的
对应点的位置在（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内
C．第三象限内 D．第四象限内
1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+√3i B．1−√3i
C．−1+√3i D．−1−√3i
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
|2+i2+2i3|=
A．1 B．2 C．√5 D．5
3．（2023·全国·高考真题） 5(1+i3) （ ）
=
(2+i)(2−i)
A．−1 B．1 C．1−i D．1+i
4．（2023·全国·高考真题）设a∈R,(a+i)(1−ai)=2,，则a=（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2
2+i
5．（2023·全国·高考真题）设z= ，则z=（ ）
1+i2+i5
A．1−2i B．1+2i C．2−i D．2+i
1−i
6．（2023·全国·高考真题）已知z= ，则z−z=（ ）
2+2i
A．−i B．i C．0 D．1
7．（2023·全国·高考真题）在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024·上海·高考真题）a,b,c∈R,b>c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b2>a+c2 B．a2+b>a2+c
C．ab2>ac2 D．a2b>a2c
z
9．（2024·北京·高考真题）已知 =−1−i，则z=（ ）．
i
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
10．（2024·全国·高考真题）设z=√2i，则z⋅z=（ ）
A．−2 B．√2 C．−√2 D．2
11．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则i(z+z)=（ ）
A．10i B．2i C．10 D．2
12．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则|z|=（ ）
A．0 B．1 C．√2 D．2
z
13．（2024·广东江苏·高考真题）若 =1+i，则z=（ ）
z−1
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
5+14i
14．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简 的结果为 ．
2+3i
15．（2024·上海·高考真题）已知ab=1，4a2+9b2的最小值为 ．
16．（2024·上海·高考真题）已知x∈R,则不等式x2−2x−3<0的解集为 ．
z
17．（2024·上海·高考真题）已知 =i，则z= .
1+i
2
18．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且z+ =m(m∈R)，则实数m为 ．
z19．（2024·天津·高考真题） 是虚数单位，复数 ．
i (√5+i)⋅(√5−2i)=
