专题 1.3 不等式与复数【七大题型】
【新高考专用】
1、不等式
不等式是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求
解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题
工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中
利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。
2、复数
复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳
定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何
意义，属于简单题.【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b b<a.
(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
⇔
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
⇒
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【知识点2 基本不等式】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存
在取等号的条件．
2．常见的求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
(1)模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
(2)模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号
成
立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
(3)模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,0<x< ) x=
(4)模型四： m m 2 4m m ，当且仅当 2m
时
等号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求 的最值”的问题，先将 转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【知识点3 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集
为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
【知识点4 复数有关问题的解题策略】
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；
若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 ，即 .
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 ，则 ，即 ，若
，则 .
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量
与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【题型1 不等式性质及其应用】
【例1】（2024·河南驻马店·二模）已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a>b+c B．a2<bc
C．ac>b2 D．ab+bc>b2+ac
【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.
【解答过程】当a=3,b=2,c=1时，a=b+c，且ac<b2，故A，C项错误；
因为a>b>0，a>c>0，所以a2>bc，故B项错误；
ab+bc−(b2+ac)=(b−c)(a−b)>0，故D项正确.
故选：D.
1 1
【变式1-1】（2024·陕西商洛·三模）已知a,b∈R，则“ < ”是“a3>b3”的（ ）
√a √b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解.
1 1
【解答过程】若 < ，则a>b>0，所以a3>b3，充分性成立；
√a √b
1 1
若a3>b3，则a>b，但 < 不一定成立，不满足必要性，
√a √b
1 1
所以“ < ”是“a3>b3”的充分不必要条件．
√a √b
故选：A．
π π
【变式1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知 <α<β< ，则2α−2β的取值范围是（ ）
4 2
π π π
( ) ( )
A． − , B． − ,0
2 2 2
C．(−π,π) D．(−π,0)
【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出2α−2β的取值范围.
π π π π π π
【解答过程】因为 <α< , <β< ，所以 <2α<π,−π<−2β<− ，
4 2 4 2 2 2π π
则− <2α−2β< ，又α<β，所以2α−2β<0，
2 2
π
从而− <2α−2β<0．
2
故选：B．
【变式1-3】（2024·浙江金华·模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.
若a>b>c,则（ ）
A．N<P B．P<M
C．N<M D．M+N<2P
【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的M,N,P,用a,b,c表示,后作差变形,运用a>b>c这个条
件,判断正负即可比较出大小.
a+b
a+b+c a+b +c
【解答过程】根据题意得,M= ,N= , N+c 2 a+b+2c,
3 2 P= = =
2 2 4
a+b a+b+2c a+b−2c
对于A选项,N−P= − = ,
2 4 4
a+b−2c
∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴N−P= >0,∴N>P.
4
a+b+c a+b+2c a+b−2c
对于B选项,M−P= − = ,
3 4 12
a+b−2c
∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴M−P= >0,∴M>P.
12
a+b+c a+b −a−b+2c
对于C选项,M−N= − = ,
3 2 6
−a−b+2c
∵a>b>c,∴c−a<0,c−b<0,∴2c−a−b<0,∴M−N= <0,∴M<N.
6
对于D选项,∵M>P,N>P,∴M+N>2P.
故选：B.
【题型2 基本不等式与最值】
【例2】（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+ y=xy−3，则xy的最小值为（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．9
【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.
【解答过程】x+ y=xy−3≥2√xy，，
(√xy) 2 −2√xy−3=(√xy−3)(√xy+1)≥0
√xy−3≥0,xy≥9，
当且仅当x= y=3时等号成立，
所以xy的最小值为9.
故选：D.
1 1
【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+ y=1，则 + 的最小值为（ ）
2x 1+ y
3+2√2 3+2√2 4
A． B． C．2 D．
2 4 3
1 1 1 ( 1 1 ) 1
【解题思路】根据x+ y=1，化简求得 (x+1+ y)=1，得到 + = + × (x+1+ y)
2 2x 1+ y 2x 1+ y 2
1 (3 1+ y x )
= ⋅ + + ，结合基本不等式，即可求解.
2 2 2x 1+ y
1
【解答过程】因为x+ y=1，可得x+ y+1=2，即 (x+1+ y)=1，
2
又因为非负实数x,y，所以x>0，y+1>0，
1 1 ( 1 1 ) 1 1 (3 1+ y x )
则 + = + × (x+1+ y)= ⋅ + +
2x 1+ y 2x 1+ y 2 2 2 2x 1+ y
1(3 √1+ y x ) 1 (3 ) 3+2√2，
≥ +2 ⋅ = ⋅ +√2 =
2 2 2x 1+ y 2 2 4
1+ y x
当且仅当 = 时，即x=2√2−2,y=3−2√2时，等号成立，
2x 1+ y
1 1 3+2√2
所以 + 的最小值为 ．
2x 1+ y 4
故选：B．
【变式2-2】（2024·山西·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小
x>0 y>0 4x2+5xy=(4+ y)(4−y) 7x+4 y
值为（ ）
A．6√3 B．6√5 C．8√3 D．8√5
【解题思路】由条件得到(4x+ y)(x+ y)=16，再由7x+4 y=4x+ y+ 3(x+ y)结合基本不等式即可求
解.【解答过程】因为 ，
4x2+5xy=(4+ y)(4−y)
所以 ，
4x2+5xy+ y2=(4x+ y)(x+ y)=16
所以7x+4 y=4x+ y+ 3(x+ y)≥2√3(x+ y)(4x+ y)=8√3，
8√3 4√3
当且仅当4x+ y=3(x+ y)，即x= ，y= 时，等号成立，
9 9
所以7x+4 y的最小值为8√3.
故选：C.
【变式2-3】（2024·山东淄博·二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则
{2 1 }
max , ,x2+4 y2 的最小值为（ ）
x y
1
A． B．1 C．2 D．4
2
{2 1 } 2 1
【解题思路】设M=max , ,x2+4 y2 ，可得3M≥ + +x2+4 y2 ，利用基本不等式运算求解，注
x y x y
意等号成立的条件.
【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数，
{2 1 } 2 1
设M=max , ,x2+4 y2 ，则M≥ >0,M≥ >0，M≥x2+4 y2>0，
x y x y
2 1 2 1 2 1
则3M≥ + +x2+4 y2≥ + +2√x2 ⋅4 y2= + +4xy，
x y x y x y
当且仅当x2=4 y2，即x=2y时，等号成立，
2 1 √2 1
又因为 + +4xy≥33 ⋅ ⋅4xy=6，
x y x y
2 1
当且仅当 = =4xy，即x=2y=1时，等号成立，
x y
{2 1 }
可得3M≥6，即M≥2，所以M=max , ,x2+4 y2 的最小值为2.
x y
故选：C.
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2x+ y=6，则2x+ y的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【解题思路】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【解答过程】解：已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，
6−2x
y= ，
x+1
6−2x 8 8
2x+y=2x+ =2(x+1)+ −4≥4，当且仅当2(x+1)= ,x=1时取等号，
x+1 x+1 x+1
故2x+y的最小值为4.
故选:A.
【变式3-1】（2024·四川成都·三模）设函数f (x)=x3−x，正实数a,b满足f (a)+f (b)=−2b，若
a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为（ ）
A．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2
(a) 2
1+
b2+a2 b a
【解题思路】依题意可得a3+b3=a−b，从而得到λ≤ = ，再令t= (t>1)，最后利用基本
ab−b2 a b
−1
b
不等式计算可得.
【解答过程】因为f (x)=x3−x，所以f (a)=a3−a，f (b)=b3−b，
又f (a)+f (b)=−2b，
所以a3−a+b3−b=−2b，即a3+b3=a−b，
a3+b3
因为a>0，b>0，所以a3+b3>0，所以a>b>0，所以 =1，
a−b
a3+b3
又a2+λb2≤1，即a2+λb2≤ ，
a−b
(a) 2
1+
b3+a2b b2+a2 b
所以λb2≤ ，所以λ≤ = ，
a−b ab−b2 a
−1
b
a
令t= ，则t>1，
b
(a) 2
1+
b 1+t2 t2−1+2 2
所以 = = =t+1+
a t−1 t−1 t−1
−1
b
2 √ 2
=(t−1)+ +2 ≥2 (t−1)⋅ +2=2+2√2，
t−1 t−1
2
当且仅当t−1= ，即t=√2+1时取等号，
t−1所以(
b2+a2
) ，所以 ，
=2(√2+1) λ≤2+2√2
ab−b2
min
则实数λ的最大值为2+2√2.
故选：A.
【变式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+√xy≤a(x+ y)恒成
立，则实数a的最小值为（ ）
√2−1 √2+1
A． B．√2−1 C．√2+1 D．
2 2
x+√xy x+√xy
【解题思路】分离变量将问题转化为a≥ 对于任意实数x>0,y>0恒成立，进而求出 的最大
x+ y x+ y
√ y
值，设 =t(t>0)及1+t=m(m>1)，然后通过基本不等式求得答案.
x
x+√xy x+√xy
【解答过程】由题意可得，a≥ 对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求 的最大值即可，
x+ y x+ y
√ y √ y
1+ 1+
x+√xy x √ y x 1+t
= ，设 =t(t>0)，则 = ，再设1+t=m(m>1)，则
x+ y y x y 1+t2
1+ 1+
x x
√ y
1+ m 1 1 1 √2+1
x 1+t m = ≤ = =
= = = m2−2m+2 2 √ 2 2√2−2 2 ，当且仅当
y 1+t2 1+(m−1) 2 m+ −2 2 m⋅ −2
1+ m m
x
2 √ y
m= ⇒ =√2−1时取得“=”.
m x
√2+1 √2+1
所以a≥ ，即实数a的最小值为 .
2 2
故选：D.
【变式3-3】（2024·广东湛江·二模）当 ， 时，4x4+17x2y+4 y2 m恒成立，则m的取值
x y∈(0,+∞) <
x4+2x2y+ y2 4
范围是（ ）(99 )
A．(25,+∞) B．(26,+∞) C． ,+∞ D．(27,+∞)
4
【解题思路】将左侧分式的分子因式分解成 的形式，再利用均值不等式的结论进行计算
(4x2+ y)(x2+4 y)
即可以得到结果.
【解答过程】当x，y∈(0,+∞)时，
(4x2+ y+x2+4 y) 2
4x4+17x2y+4 y2 (4x2+ y)(x2+4 y) 2 25 ，
= ≤ =
x4+2x2y+ y2 (x2+ y) 2 (x2+ y) 2 4
当且仅当4x2+ y=x2+4 y，即y=x2时，等号成立，
所以4x4+17x2y+4 y2的最大值为25．
x4+2x2y+ y2 4
m 25
所以 > ，即m>25．
4 4
故选：A.
【题型4 二次不等式及其参数问题】
【例4】（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式
bx2−ax<0的解集为（ ）
( 1 ) ( 1)
A． − ,0 B． −∞,− ∪(0,+∞)
4 4
( 1) (1 )
C． 0, D．(−∞,0)∪ ,+∞
4 4
【解题思路】先根据不等式的解集可得a,b的关系及a的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【解答过程】由ax+b>0的解集为(−4,+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解为−4，
b
所以− =−4，则b=4a，所以bx2−ax<0，即4ax2−ax<0，又a>0，
a
1 ( 1)
所以4x2−x<0，解得0<x< ，即关于x的不等式bx2−ax<0的解集为 0, .
4 4
故选：C.
【变式4-1】（2024·浙江绍兴·三模）若关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
x |x2+mx+n|>0 ¿
A．m=3，n=2 B．m=−3，n=2 C．m=3，n=−2 D．m=−3，n=−2【解题思路】由题得1、2为方程x2+mx+n=0的根，利用韦达定理计算即可得解.
【解答过程】由已知可得1、2为方程x2+mx+n=0的根，
由韦达定理可得：¿，解得：¿，
故选：B.
【变式4-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式 的解集是（ ）
|x2−3x|<2−2x
A．( 1) B．( 1 1) C．( 5−√17) D．(5−√17 1)
−1, − , −1, ,
2 2 2 2 2 2
【解题思路】按照x2−3x正负分类讨论取绝对值，运算得解.
【解答过程】当x2−3x≥0，即x≥3或x≤0时，
不等式 等价于 ，即 ，
|x2−3x|<2−2x x2−3x<2−2x x2−x−2<0
解得−1<x<2，所以−1<x≤0；
当 ，即 时，不等式 等价于不等式 ，即 ，
x2−3x<0 0<x<3 |x2−3x|<2−2x 3x−x2<2−2x x2−5x+2>0
5+√17 5−√17 5−√17
解得x> 或x< ，所以0<x< .
2 2 2
综上，不等式 的解集是( 5−√17).
|x2−3x|<2−2x −1,
2
故选：C.
【变式4-3】（2024·河南·模拟预测）某同学解关于 的不等式 时，因弄错了常数 的
x ax2+bx+c<0(a≠0) c
符号，解得其解集为(−∞,−3)∪ (−2,+∞)，则不等式bx2+cx+a>0的解集为（ ）
( 1) ( 1 )
A． −1,− B．(−∞,−1)∪ − ,+∞
5 5
(1 ) ( 1)
C． ,1 D． −∞, ∪(1,+∞)
5 5
【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a,b,c的关系式，进而求得不等式
bx2+cx+a>0的解集.
b c
【解答过程】由题意可知a<0，且−3+(−2)=− ,−3×(−2)=− ，所以b=5a,c=−6a，
a a
所以bx2+cx+a>0化为5x2− 6x+1<0，1
(5x−1)(x−1)<0，解得 <x<1.
5
故选：C.
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】
【例5】（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+(k−6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是
（ ）
A．2≤k≤18 B．−18<k<−2
C．2<k<18 D．0<k<2
【解题思路】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当k=0时，不等式kx2+(k−6)x+2>0可化为−6x+2>0，显然不合题意；
当k≠0时，因为kx2+(k−6)x+2>0的解为全体实数，
所以¿，解得2<k<18；
综上：2<k<18.
故选：C.
【变式5-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范
围是（ ）
A．(−8,8) B．(−∞,8] C．(−∞,8) D．(8,+∞)
16 16
【解题思路】先由x2−mx+16>0得m<x+ ，由基本不等式得x+ ≥8，故m<8.
x x
16
【解答过程】当x>0时，由x2−mx+16>0得m<x+ ，
x
16 √ 16 16
因x>0，故x+ ≥2 x× =8，当且仅当x= 即x=4时等号成立，
x x x
16
因当x>0时，m<x+ 恒成立，得m<8，
x
故选：C.
【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实数
∃x ∈[−1,1] −x2+3x +a>0 a
0 0 0
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,4) C．(−2,+∞) D．(4,+∞)
【解题思路】由题知
x ∈[−1,1]
时，
a>(x2−3x )
，再根据二次函数求最值即可得答案.
0 0 0 min【解答过程】解：因为命题“ ， ”为真命题，
∃x ∈[−1,1] −x2+3x +a>0
0 0 0
所以，命题“ ， ”为真命题，
∃x ∈[−1,1] a>x2−3x
0 0 0
所以， 时， ，
x ∈[−1,1] a>(x2−3x )
0 0 0 min
因为，y=x2−3x= ( x− 3) 2 − 9 ，
2 4
所以，当x∈[−1,1]时，y =−2，当且仅当x=1时取得等号.
min
所以， 时， ，即实数 的取值范围是
x ∈[−1,1] a>(x2−3x ) =−2 a (−2,+∞)
0 0 0 min
故选：C.
【变式5-3】（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成
立；命题q：存在0≤x≤1，使得不等式2x−2≥m2−3m成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m
的取值范围为（ ）
A．{m∣m<−1} B．{m∣0≤m≤3}
C．{m∣0≤m<1} D．(−∞,0)∪[1,+∞)
【解题思路】先由二次函数的性质求出p为真时m<1，解二次不等式可得命题q等价于0≤m≤3，可求p，
q都是真命题m的范围，进而可得答案.
【解答过程】若p为真命题，即对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成立，
等价于当 时， ，
−1≤x≤1 m<(−x2+2x+4)
min
当 时， ，
−1≤x≤1 −x2+2x+4=−(x−1) 2+5≥−(−1−1) 2+5=1
即 ，所以 ；
(−x2+2x+4) =1 m<1
min
若q为真命题，即存在0≤x≤1，不等式2x−2≥m2−3m成立，
等价于当0≤x≤1时，(2x−2) ≥m2−3m.
max
由于0≤x≤1，−2≤2x−2≤0，所以m2−3m≤0，解得0≤m≤3.
若p，q都是真命题，则¿；
所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则m<0或m≥1.
即m∈(−∞,0)∪[1,+∞),
故选：D.【题型6 复数的四则运算】
【例6】（2024·陕西商洛·一模）若复数z=(2+i)(1−i)，则z=（ ）
A．1−i B．1+i C．3−i D．3+i
【解题思路】根据复数的乘法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解.
【解答过程】因为 ，所以 ．
z=(2+i)(1−i)=2−2i+i−i2=3−i z=3+i
故选：D.
z+1
【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）若复数z满足 =2−i，则z=（ ）
i
A．1−2i B．1+2i C．−2i D．2i
【解题思路】由复数的四则运算即可求解.
【解答过程】由题意得z+1=i(2−i)=1+2i，所以z=2i.
故选：D.
z−z
【变式6-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）若z=−2+i，则 =（ ）
z+1
A．−1+i B．1+i C．1−i D．−1−i
【解题思路】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得.
z−z (−2+i)−(−2−i) 2i 2i(−1−i) 2−2i
【解答过程】由z=−2+i，得 = = = = =1−i.
z+1 −2+i+1 −1+i (−1+i)(−1−i) 2
故选：C.
z+2
【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数z满足 =2−i，则z=（ ）．
z
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
【解题思路】先化简再根据复数的乘除法计算可得.
z+2 2
【解答过程】因为 =2−i，所以1+ =2−i,
z z
2
所以 =1−i，
z
2 1−i2
z= = =1+i.
1−i 1−i
故选：D.
【题型7 复数的几何意义】
【例7】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求
解．
【解答过程】设z=a+bi,(a,b∈R)，则z=a−bi，
则a+bi+2(a−bi)=3+i，即3a−bi=3+i，所以3a=3，−b=1，
解得a=1，b=−1，故z=1−i，对应的点(1,−1)在第四象限．
故选：D．
【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知复数z所对应的点在第四象限，且|z|=2√2，z2的虚部为
−8，则复数z=（ ）
A．2−2i B．2i−2 C．√2−√6i D．√6i−√2
【解题思路】设z=a+bi，根据条件列出a、b的相关等式，求解即可.
【解答过程】设 ，则 ，所以 ，
z=a+bi(a,b∈R) |z|=√a2+b2=2√2 a2+b2=8
z2=a2−b2+2abi，2ab=−8，
复数z所对应的点在第四象限，所以a>0，b<0，a−b>0，
， ，
(a+b) 2=a2+b2+2ab=0 (a−b) 2=a2+b2−2ab=16
所以¿，解得¿，则z=2−2i.
故选：A.
【变式7-2】（2024·宁夏·二模）已知复数z满足|z−4+5i|=1，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．
【解答过程】令z=x+ yi,x,y∈R，
因为 ，所以 ，
|z−4+5i|=1 (x−4) 2+(y+5) 2=1
即点(x,y)在以(4,−5)为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，
所以z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D.
【变式7-3】（2024·重庆·二模）若复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的
对应点的位置在（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内
【解题思路】根据纯虚数的定义解出a，利用复数的几何意义求解．
【解答过程】∵复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，∴¿，
复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限．
故选：A．
1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+√3i B．1−√3i
C．−1+√3i D．−1−√3i
【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.
【解答过程】z在复平面对应的点是(−1,√3)，根据复数的几何意义，z=−1+√3i，
由共轭复数的定义可知，z=−1−√3i.
故选：D.
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
|2+i2+2i3|=
A．1 B．2 C．√5 D．5
【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3，然后计算其模即可.
【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2−1−2i=1−2i，
则 .
|2+i2+2i3|=|1−2i|=√12+(−2) 2=√5
故选：C.
3．（2023·全国·高考真题） 5(1+i3) （ ）
=
(2+i)(2−i)
A．−1 B．1 C．1−i D．1+i
【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.
【解答过程】 5(1+i3) 5(1−i)
= =1−i
(2+i)(2−i) 5
故选：C.
4．（2023·全国·高考真题）设a∈R,(a+i)(1−ai)=2,，则a=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【解答过程】因为 ，
(a+i)(1−ai)=a−a2i+i+a=2a+(1−a2)i=2
所以¿，解得：a=1．
故选：C.
2+i
5．（2023·全国·高考真题）设z= ，则z=（ ）
1+i2+i5
A．1−2i B．1+2i C．2−i D．2+i
【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2+i 2+i i(2+i) 2i−1
【解答过程】由题意可得z= = = = =1−2i，
1+i2+i5 1−1+i i2 −1
则z=1+2i.
故选：B.
1−i
6．（2023·全国·高考真题）已知z= ，则z−z=（ ）
2+2i
A．−i B．i C．0 D．1
【解题思路】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．
1−i (1−i)(1−i) −2i 1 1
【解答过程】因为z= = = =− i，所以z= i，即z−z=−i．
2+2i 2(1+i)(1−i) 4 2 2
故选：A．
7．（2023·全国·高考真题）在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【解答过程】因为(1+3i)(3−i)=3+8i−3i2=6+8i，
则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.
故选：A.
8．（2024·上海·高考真题）a,b,c∈R,b>c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b2>a+c2 B．a2+b>a2+c
C．ab2>ac2 D．a2b>a2c
【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.
【解答过程】对于A，若c<b<0，则b2<c2，选项不成立，故A错误；
对于B，因为b>c，故a2+b>a2+c，故B成立，
对于C、D，若a=0，则选项不成立，故C、D错误；故选：B.
z
9．（2024·北京·高考真题）已知 =−1−i，则z=（ ）．
i
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解答过程】由题意得z=i(−1−i)=1−i.
故选：C.
10．（2024·全国·高考真题）设z=√2i，则z⋅z=（ ）
A．−2 B．√2 C．−√2 D．2
【解题思路】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.
【解答过程】依题意得，z=−√2i，故zz=−2i2=2.
故选：D.
11．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则i(z+z)=（ ）
A．10i B．2i C．10 D．2
【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解答过程】由z=5+i⇒z=5−i,z+z=10，则i(z+z)=10i.
故选：A.
12．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则|z|=（ ）
A．0 B．1 C．√2 D．2
【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解答过程】若 ，则 .
z=−1−i |z|=√(−1) 2+(−1) 2=√2
故选：C.
z
13．（2024·广东江苏·高考真题）若 =1+i，则z=（ ）
z−1
A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i
【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
z z−1+1 1 1
【解答过程】因为 = =1+ =1+i，所以z=1+ =1−i.
z−1 z−1 z−1 i
故选：C.
5+14i
14．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简 的结果为 4+i ．
2+3i
【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2−3i，然后计算其运算结果即可.5+14i (5+14i)(2−3i) 52+13i
【解答过程】由题意可得 = = =4+i.
2+3i (2+3i)(2−3i) 13
故答案为：4+i.
15．（2024·上海·高考真题）已知ab=1，4a2+9b2的最小值为 12 ．
【解题思路】利用不等式a2+b2≥2ab即可求解.
【解答过程】 ,
4a2+9b2=(2a) 2+(3b) 2≥2×2a×3b=12ab=12
√6 √6 √6 √6
当且仅当¿,即a= ,b= 或a=− ,b=− 时,等号成立,
2 3 2 3
故4a2+9b2的最小值为12.
故答案为：12.
16．（2024·上海·高考真题）已知x∈R,则不等式x2−2x−3<0的解集为 {x|−1<x<3} ．
【解题思路】求出方程x2−2x−3=0的解后可求不等式的解集.
【解答过程】方程x2−2x−3=0的解为x=−1或x=3，
故不等式x2−2x−3<0的解集为{x|−1<x<3}，
故答案为：{x|−1<x<3}.
z
17．（2024·上海·高考真题）已知 =i，则z= −1−i .
1+i
【解题思路】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.
【解答过程】由题意可得z=i(1+i)=−1+i，故z=−1−i.
故答案为：−1−i.
2
18．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且z+ =m(m∈R)，则实数m为 2 ．
z
【解题思路】设z=1+bi,b∈R且b≠0，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【解答过程】设z=1+bi，b∈R且b≠0.
则 2 2 (b2+3) (b3−b) ，
z+ =1+bi+ = + i=m
z 1+bi 1+b2 1+b2
∵m∈R，∴¿，解得m=2，
故答案为：2.
19．（2024·天津·高考真题） 是虚数单位，复数 ．
i (√5+i)⋅(√5−2i)= 7−√5i
【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【解答过程】 .
(√5+i)⋅(√5−2i)=5+√5i−2√5i+2=7−√5i
故答案为：7−√5i.
