专题1.3不等式与复数七大题型（讲义）（举一反三）（新高考专用）（解析版）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_一、热点题型篇

b>c这个条 件,判断正负即可比较出大小. a+b a+b+c a+b +c 【解答过程】根据题意得,M= ,N= , N+c 2 a+b+2c, 3 2 P= = = 2 2 4 a+b a+b+2c a+b−2c 对于A选项,N−P= − = , 2 4 4 a+b−2c ∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴N−P= >0,∴N>P. 4 a+b+c a+b+2c a+b−2c 对于B选项,M−P= − = , 3 4 12 a+b−2c ∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴M−P= >0,∴M>P. 12 a+b+c a+b −a−b+2c 对于C选项,M−N= − = , 3 2 6 −a−b+2c ∵a>b>c,∴c−a<0,c−b<0,∴2c−a−b<0,∴M−N= <0,∴MP,N>P,∴M+N>2P. 故选：B. 【题型2 基本不等式与最值】 【例2】（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+ y=xy−3，则xy的最小值为（ ） A．3 B．2√3 C．6 D．9 【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值. 【解答过程】x+ y=xy−3≥2√xy，， (√xy) 2 −2√xy−3=(√xy−3)(√xy+1)≥0 √xy−3≥0,xy≥9， 当且仅当x= y=3时等号成立， 所以xy的最小值为9. 故选：D. 1 1 【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+ y=1，则 + 的最小值为（ ） 2x 1+ y 3+2√2 3+2√2 4 A． B． C．2 D． 2 4 3 1 1 1 ( 1 1 ) 1 【解题思路】根据x+ y=1，化简求得 (x+1+ y)=1，得到 + = + × (x+1+ y) 2 2x 1+ y 2x 1+ y 2 1 (3 1+ y x ) = ⋅ + + ，结合基本不等式，即可求解. 2 2 2x 1+ y 1 【解答过程】因为x+ y=1，可得x+ y+1=2，即 (x+1+ y)=1， 2 又因为非负实数x,y，所以x>0，y+1>0， 1 1 ( 1 1 ) 1 1 (3 1+ y x ) 则 + = + × (x+1+ y)= ⋅ + + 2x 1+ y 2x 1+ y 2 2 2 2x 1+ y 1(3 √1+ y x ) 1 (3 ) 3+2√2， ≥ +2 ⋅ = ⋅ +√2 = 2 2 2x 1+ y 2 2 4 1+ y x 当且仅当 = 时，即x=2√2−2,y=3−2√2时，等号成立， 2x 1+ y 1 1 3+2√2 所以 + 的最小值为 ． 2x 1+ y 4 故选：B． 【变式2-2】（2024·山西·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小 x>0 y>0 4x2+5xy=(4+ y)(4−y) 7x+4 y 值为（ ） A．6√3 B．6√5 C．8√3 D．8√5 【解题思路】由条件得到(4x+ y)(x+ y)=16，再由7x+4 y=4x+ y+ 3(x+ y)结合基本不等式即可求 解.【解答过程】因为 ， 4x2+5xy=(4+ y)(4−y) 所以 ， 4x2+5xy+ y2=(4x+ y)(x+ y)=16 所以7x+4 y=4x+ y+ 3(x+ y)≥2√3(x+ y)(4x+ y)=8√3， 8√3 4√3 当且仅当4x+ y=3(x+ y)，即x= ，y= 时，等号成立， 9 9 所以7x+4 y的最小值为8√3. 故选：C. 【变式2-3】（2024·山东淄博·二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则 {2 1 } max , ,x2+4 y2 的最小值为（ ） x y 1 A． B．1 C．2 D．4 2 {2 1 } 2 1 【解题思路】设M=max , ,x2+4 y2 ，可得3M≥ + +x2+4 y2 ，利用基本不等式运算求解，注 x y x y 意等号成立的条件. 【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数， {2 1 } 2 1 设M=max , ,x2+4 y2 ，则M≥ >0,M≥ >0，M≥x2+4 y2>0， x y x y 2 1 2 1 2 1 则3M≥ + +x2+4 y2≥ + +2√x2 ⋅4 y2= + +4xy， x y x y x y 当且仅当x2=4 y2，即x=2y时，等号成立， 2 1 √2 1 又因为 + +4xy≥33 ⋅ ⋅4xy=6， x y x y 2 1 当且仅当 = =4xy，即x=2y=1时，等号成立， x y {2 1 } 可得3M≥6，即M≥2，所以M=max , ,x2+4 y2 的最小值为2. x y 故选：C. 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2x+ y=6，则2x+ y的最小值为（ ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【解题思路】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【解答过程】解：已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6， 6−2x y= ， x+1 6−2x 8 8 2x+y=2x+ =2(x+1)+ −4≥4，当且仅当2(x+1)= ,x=1时取等号， x+1 x+1 x+1 故2x+y的最小值为4. 故选:A. 【变式3-1】（2024·四川成都·三模）设函数f (x)=x3−x，正实数a,b满足f (a)+f (b)=−2b，若 a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为（ ） A．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2 (a) 2 1+ b2+a2 b a 【解题思路】依题意可得a3+b3=a−b，从而得到λ≤ = ，再令t= (t>1)，最后利用基本 ab−b2 a b −1 b 不等式计算可得. 【解答过程】因为f (x)=x3−x，所以f (a)=a3−a，f (b)=b3−b， 又f (a)+f (b)=−2b， 所以a3−a+b3−b=−2b，即a3+b3=a−b， a3+b3 因为a>0，b>0，所以a3+b3>0，所以a>b>0，所以 =1， a−b a3+b3 又a2+λb2≤1，即a2+λb2≤ ， a−b (a) 2 1+ b3+a2b b2+a2 b 所以λb2≤ ，所以λ≤ = ， a−b ab−b2 a −1 b a 令t= ，则t>1， b (a) 2 1+ b 1+t2 t2−1+2 2 所以 = = =t+1+ a t−1 t−1 t−1 −1 b 2 √ 2 =(t−1)+ +2 ≥2 (t−1)⋅ +2=2+2√2， t−1 t−1 2 当且仅当t−1= ，即t=√2+1时取等号， t−1所以( b2+a2 ) ，所以 ， =2(√2+1) λ≤2+2√2 ab−b2 min 则实数λ的最大值为2+2√2. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+√xy≤a(x+ y)恒成 立，则实数a的最小值为（ ） √2−1 √2+1 A． B．√2−1 C．√2+1 D． 2 2 x+√xy x+√xy 【解题思路】分离变量将问题转化为a≥ 对于任意实数x>0,y>0恒成立，进而求出 的最大 x+ y x+ y √ y 值，设 =t(t>0)及1+t=m(m>1)，然后通过基本不等式求得答案. x x+√xy x+√xy 【解答过程】由题意可得，a≥ 对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求 的最大值即可， x+ y x+ y √ y √ y 1+ 1+ x+√xy x √ y x 1+t = ，设 =t(t>0)，则 = ，再设1+t=m(m>1)，则 x+ y y x y 1+t2 1+ 1+ x x √ y 1+ m 1 1 1 √2+1 x 1+t m = ≤ = = = = = m2−2m+2 2 √ 2 2√2−2 2 ，当且仅当 y 1+t2 1+(m−1) 2 m+ −2 2 m⋅ −2 1+ m m x 2 √ y m= ⇒ =√2−1时取得“=”. m x √2+1 √2+1 所以a≥ ，即实数a的最小值为 . 2 2 故选：D. 【变式3-3】（2024·广东湛江·二模）当 ， 时，4x4+17x2y+4 y2 m恒成立，则m的取值 x y∈(0,+∞) < x4+2x2y+ y2 4 范围是（ ）(99 ) A．(25,+∞) B．(26,+∞) C． ,+∞ D．(27,+∞) 4 【解题思路】将左侧分式的分子因式分解成 的形式，再利用均值不等式的结论进行计算 (4x2+ y)(x2+4 y) 即可以得到结果. 【解答过程】当x，y∈(0,+∞)时， (4x2+ y+x2+4 y) 2 4x4+17x2y+4 y2 (4x2+ y)(x2+4 y) 2 25 ， = ≤ = x4+2x2y+ y2 (x2+ y) 2 (x2+ y) 2 4 当且仅当4x2+ y=x2+4 y，即y=x2时，等号成立， 所以4x4+17x2y+4 y2的最大值为25． x4+2x2y+ y2 4 m 25 所以 > ，即m>25． 4 4 故选：A. 【题型4 二次不等式及其参数问题】 【例4】（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式 bx2−ax<0的解集为（ ） ( 1 ) ( 1) A． − ,0 B． −∞,− ∪(0,+∞) 4 4 ( 1) (1 ) C． 0, D．(−∞,0)∪ ,+∞ 4 4 【解题思路】先根据不等式的解集可得a,b的关系及a的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】由ax+b>0的解集为(−4,+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解为−4， b 所以− =−4，则b=4a，所以bx2−ax<0，即4ax2−ax<0，又a>0， a 1 ( 1) 所以4x2−x<0，解得00 ¿ A．m=3，n=2 B．m=−3，n=2 C．m=3，n=−2 D．m=−3，n=−2【解题思路】由题得1、2为方程x2+mx+n=0的根，利用韦达定理计算即可得解. 【解答过程】由已知可得1、2为方程x2+mx+n=0的根， 由韦达定理可得：¿，解得：¿， 故选：B. 【变式4-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式 的解集是（ ） |x2−3x|<2−2x A．( 1) B．( 1 1) C．( 5−√17) D．(5−√17 1) −1, − , −1, , 2 2 2 2 2 2 【解题思路】按照x2−3x正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当x2−3x≥0，即x≥3或x≤0时， 不等式 等价于 ，即 ， |x2−3x|<2−2x x2−3x<2−2x x2−x−2<0 解得−10 5+√17 5−√17 5−√17 解得x> 或x< ，所以00的解集为（ ） ( 1) ( 1 ) A． −1,− B．(−∞,−1)∪ − ,+∞ 5 5 (1 ) ( 1) C． ,1 D． −∞, ∪(1,+∞) 5 5 【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a,b,c的关系式，进而求得不等式 bx2+cx+a>0的解集. b c 【解答过程】由题意可知a<0，且−3+(−2)=− ,−3×(−2)=− ，所以b=5a,c=−6a， a a 所以bx2+cx+a>0化为5x2− 6x+1<0，1 (5x−1)(x−1)<0，解得 0的解为全体实数，则实数k的取值范围是 （ ） A．2≤k≤18 B．−180可化为−6x+2>0，显然不合题意； 当k≠0时，因为kx2+(k−6)x+2>0的解为全体实数， 所以¿，解得20时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范 围是（ ） A．(−8,8) B．(−∞,8] C．(−∞,8) D．(8,+∞) 16 16 【解题思路】先由x2−mx+16>0得m0时，由x2−mx+16>0得m0，故x+ ≥2 x× =8，当且仅当x= 即x=4时等号成立， x x x 16 因当x>0时，m0 a 0 0 0 的取值范围是（ ） A．(−∞,−2) B．(−∞,4) C．(−2,+∞) D．(4,+∞) 【解题思路】由题知 x ∈[−1,1] 时， a>(x2−3x ) ，再根据二次函数求最值即可得答案. 0 0 0 min【解答过程】解：因为命题“ ， ”为真命题， ∃x ∈[−1,1] −x2+3x +a>0 0 0 0 所以，命题“ ， ”为真命题， ∃x ∈[−1,1] a>x2−3x 0 0 0 所以， 时， ， x ∈[−1,1] a>(x2−3x ) 0 0 0 min 因为，y=x2−3x= ( x− 3) 2 − 9 ， 2 4 所以，当x∈[−1,1]时，y =−2，当且仅当x=1时取得等号. min 所以， 时， ，即实数 的取值范围是 x ∈[−1,1] a>(x2−3x ) =−2 a (−2,+∞) 0 0 0 min 故选：C. 【变式5-3】（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成 立；命题q：存在0≤x≤1，使得不等式2x−2≥m2−3m成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A．{m∣m<−1} B．{m∣0≤m≤3} C．{m∣0≤m<1} D．(−∞,0)∪[1,+∞) 【解题思路】先由二次函数的性质求出p为真时m<1，解二次不等式可得命题q等价于0≤m≤3，可求p， q都是真命题m的范围，进而可得答案. 【解答过程】若p为真命题，即对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成立， 等价于当 时， ， −1≤x≤1 m<(−x2+2x+4) min 当 时， ， −1≤x≤1 −x2+2x+4=−(x−1) 2+5≥−(−1−1) 2+5=1 即 ，所以 ； (−x2+2x+4) =1 m<1 min 若q为真命题，即存在0≤x≤1，不等式2x−2≥m2−3m成立， 等价于当0≤x≤1时，(2x−2) ≥m2−3m. max 由于0≤x≤1，−2≤2x−2≤0，所以m2−3m≤0，解得0≤m≤3. 若p，q都是真命题，则¿； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则m<0或m≥1. 即m∈(−∞,0)∪[1,+∞), 故选：D.【题型6 复数的四则运算】 【例6】（2024·陕西商洛·一模）若复数z=(2+i)(1−i)，则z=（ ） A．1−i B．1+i C．3−i D．3+i 【解题思路】根据复数的乘法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解. 【解答过程】因为 ，所以 ． z=(2+i)(1−i)=2−2i+i−i2=3−i z=3+i 故选：D. z+1 【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）若复数z满足 =2−i，则z=（ ） i A．1−2i B．1+2i C．−2i D．2i 【解题思路】由复数的四则运算即可求解. 【解答过程】由题意得z+1=i(2−i)=1+2i，所以z=2i. 故选：D. z−z 【变式6-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）若z=−2+i，则 =（ ） z+1 A．−1+i B．1+i C．1−i D．−1−i 【解题思路】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得. z−z (−2+i)−(−2−i) 2i 2i(−1−i) 2−2i 【解答过程】由z=−2+i，得 = = = = =1−i. z+1 −2+i+1 −1+i (−1+i)(−1−i) 2 故选：C. z+2 【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数z满足 =2−i，则z=（ ）． z A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i 【解题思路】先化简再根据复数的乘除法计算可得. z+2 2 【解答过程】因为 =2−i，所以1+ =2−i, z z 2 所以 =1−i， z 2 1−i2 z= = =1+i. 1−i 1−i 故选：D. 【题型7 复数的几何意义】 【例7】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求 解． 【解答过程】设z=a+bi,(a,b∈R)，则z=a−bi， 则a+bi+2(a−bi)=3+i，即3a−bi=3+i，所以3a=3，−b=1， 解得a=1，b=−1，故z=1−i，对应的点(1,−1)在第四象限． 故选：D． 【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知复数z所对应的点在第四象限，且|z|=2√2，z2的虚部为 −8，则复数z=（ ） A．2−2i B．2i−2 C．√2−√6i D．√6i−√2 【解题思路】设z=a+bi，根据条件列出a、b的相关等式，求解即可. 【解答过程】设 ，则 ，所以 ， z=a+bi(a,b∈R) |z|=√a2+b2=2√2 a2+b2=8 z2=a2−b2+2abi，2ab=−8， 复数z所对应的点在第四象限，所以a>0，b<0，a−b>0， ， ， (a+b) 2=a2+b2+2ab=0 (a−b) 2=a2+b2−2ab=16 所以¿，解得¿，则z=2−2i. 故选：A. 【变式7-2】（2024·宁夏·二模）已知复数z满足|z−4+5i|=1，则z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解． 【解答过程】令z=x+ yi,x,y∈R， 因为 ，所以 ， |z−4+5i|=1 (x−4) 2+(y+5) 2=1 即点(x,y)在以(4,−5)为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D. 【变式7-3】（2024·重庆·二模）若复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的 对应点的位置在（ ） A．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内 【解题思路】根据纯虚数的定义解出a，利用复数的几何意义求解． 【解答过程】∵复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，∴¿， 复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限． 故选：A． 1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√3)，则z的共轭复数z=（ ） A．1+√3i B．1−√3i C．−1+√3i D．−1−√3i 【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算. 【解答过程】z在复平面对应的点是(−1,√3)，根据复数的几何意义，z=−1+√3i， 由共轭复数的定义可知，z=−1−√3i. 故选：D. 2．（2023·全国·高考真题） （ ） |2+i2+2i3|= A．1 B．2 C．√5 D．5 【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3，然后计算其模即可. 【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2−1−2i=1−2i， 则 . |2+i2+2i3|=|1−2i|=√12+(−2) 2=√5 故选：C. 3．（2023·全国·高考真题） 5(1+i3) （ ） = (2+i)(2−i) A．−1 B．1 C．1−i D．1+i 【解题思路】利用复数的四则运算求解即可. 【解答过程】 5(1+i3) 5(1−i) = =1−i (2+i)(2−i) 5 故选：C. 4．（2023·全国·高考真题）设a∈R,(a+i)(1−ai)=2,，则a=（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【解答过程】因为 ， (a+i)(1−ai)=a−a2i+i+a=2a+(1−a2)i=2 所以¿，解得：a=1． 故选：C. 2+i 5．（2023·全国·高考真题）设z= ，则z=（ ） 1+i2+i5 A．1−2i B．1+2i C．2−i D．2+i 【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 2+i 2+i i(2+i) 2i−1 【解答过程】由题意可得z= = = = =1−2i， 1+i2+i5 1−1+i i2 −1 则z=1+2i. 故选：B. 1−i 6．（2023·全国·高考真题）已知z= ，则z−z=（ ） 2+2i A．−i B．i C．0 D．1 【解题思路】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出． 1−i (1−i)(1−i) −2i 1 1 【解答过程】因为z= = = =− i，所以z= i，即z−z=−i． 2+2i 2(1+i)(1−i) 4 2 2 故选：A． 7．（2023·全国·高考真题）在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【解答过程】因为(1+3i)(3−i)=3+8i−3i2=6+8i， 则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限. 故选：A. 8．（2024·上海·高考真题）a,b,c∈R,b>c，下列不等式恒成立的是（ ） A．a+b2>a+c2 B．a2+b>a2+c C．ab2>ac2 D．a2b>a2c 【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【解答过程】对于A，若cc，故a2+b>a2+c，故B成立， 对于C、D，若a=0，则选项不成立，故C、D错误；故选：B. z 9．（2024·北京·高考真题）已知 =−1−i，则z=（ ）． i A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i 【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案. 【解答过程】由题意得z=i(−1−i)=1−i. 故选：C. 10．（2024·全国·高考真题）设z=√2i，则z⋅z=（ ） A．−2 B．√2 C．−√2 D．2 【解题思路】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算. 【解答过程】依题意得，z=−√2i，故zz=−2i2=2. 故选：D. 11．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则i(z+z)=（ ） A．10i B．2i C．10 D．2 【解题思路】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【解答过程】由z=5+i⇒z=5−i,z+z=10，则i(z+z)=10i. 故选：A. 12．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则|z|=（ ） A．0 B．1 C．√2 D．2 【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可. 【解答过程】若 ，则 . z=−1−i |z|=√(−1) 2+(−1) 2=√2 故选：C. z 13．（2024·广东江苏·高考真题）若 =1+i，则z=（ ） z−1 A．−1−i B．−1+i C．1−i D．1+i 【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解. z z−1+1 1 1 【解答过程】因为 = =1+ =1+i，所以z=1+ =1−i. z−1 z−1 z−1 i 故选：C. 5+14i 14．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简 的结果为 4+i ． 2+3i 【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2−3i，然后计算其运算结果即可.5+14i (5+14i)(2−3i) 52+13i 【解答过程】由题意可得 = = =4+i. 2+3i (2+3i)(2−3i) 13 故答案为：4+i. 15．（2024·上海·高考真题）已知ab=1，4a2+9b2的最小值为 12 ． 【解题思路】利用不等式a2+b2≥2ab即可求解. 【解答过程】 , 4a2+9b2=(2a) 2+(3b) 2≥2×2a×3b=12ab=12 √6 √6 √6 √6 当且仅当¿,即a= ,b= 或a=− ,b=− 时,等号成立, 2 3 2 3 故4a2+9b2的最小值为12. 故答案为：12. 16．（2024·上海·高考真题）已知x∈R,则不等式x2−2x−3<0的解集为 {x|−1