第75讲切点与切点弦_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第75讲 切点与切点弦 知识梳理 1、点Mx 0 ，y 0  在圆x2+y2=r2上，过点M作圆的切线方程为x x+y y=r2． 0 0 2、点Mx 0 ，y 0  在圆x2+y2=r2外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点 弦AB的直线方程为x x+y y=r2． 0 0 3、点Mx 0 ，y 0  在圆x2+y2=r2内，过点M作圆的弦AB(不过圆心)，分别过A，B作圆 的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线x x+y y=r2． 0 0 4、点Mx 0 ，y 0  在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上，过点M作圆的切线方程为x 0 -a  (x- a)+y 0 -b  (y-b)=r2． 5、点Mx 0 ，y 0  在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A， B，则切点弦AB的直线方程为x 0 -a  (x-a)+y 0 -b  (y-b)=r2． 6、点Mx 0 ，y 0  在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内，过点M作圆的弦AB(不过圆心)，分别过 A，B作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为x 0 -a  (x-a)+y 0 -b  (y-b)=r2． 7、点Mx 0 ，y 0  x2 y2 x x 在椭圆 + =1(a>b>0)上，过点M作椭圆的切线方程为 0 + a2 b2 a2 y y 0 =1． b2 8、点Mx 0 ，y 0  x2 y2 在椭圆 + =1(a>b>0)外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别 a2 b2 x x y y 为A，B，则切点弦AB的直线方程为 0 + 0 =1． a2 b2 9、点Mx 0 ，y 0  x2 y2 在椭圆 + =1(a>b>0)内，过点M作椭圆的弦AB(不过椭圆中 a2 b2 x x y y 心)，分别过A，B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线 0 + 0 =1． a2 b2 10、点Mx 0 ，y 0  x2 y2 在双曲线 - =1(a>0，b>0)上，过点M作双曲线的切线方程为 a2 b2 x x y y 0 - 0 =1． a2 b2 11、点Mx 0 ，y 0  x2 y2 在双曲线 - =1(a>0，b>0)外，过点M作双曲线的两条切线， a2 b2 x x y y 切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为 0 - 0 =1． a2 b2 12、点Mx 0 ，y 0  x2 y2 在双曲线 - =1(a>0，b>0)内，过点M作双曲线的弦AB(不过 a2 b2 x x 双曲线中心)，分别过A，B作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线 0 - a2 y y 0 =1． b2 13、点Mx 0 ，y 0  在抛物线y2=2px(p>0)上，过点M作抛物线的切线方程为y y= 0 px+x 0  ． 14、点Mx 0 ，y 0  在抛物线y2=2px(p>0)外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦AB的直线方程为y 0 y=px+x 0  ． 第 页 共 页 780 104315、点Mx 0 ，y 0  在抛物线y2=2px(p>0)内，过点M作抛物线的弦AB，分别过A，B作 抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线y 0 y=px+x 0  ． 必考题型全归纳 1 题型一：切线问题 4224 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px(p> 0)，焦点为F.过抛物线外一点P(不在x轴上)作抛物线C的切线PA,PB，其中A、B为切 点，两切线分别交y轴于点C,D.   (1)求CA⋅CF的值； (2)证明： ①FP  是FA  与FB  的等比中项； ②FP平分∠AFB. 4225 (2024·江西·高三校联考开学考试)已知抛物线C:x2=8y，F为C的焦点，过点F的直线 l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T． (1)当l的斜率为-1时，求HI  ； (2)证明：FT⊥HI． 4226 (2024·湖北·高三校联考开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作斜 率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，当k= 2时，AB  =6. (1)求抛物线C的标准方程； (2)设线段AB的中垂线与x轴交于点P，抛物线C在A,B两点处的切线相交于点Q，设 d P,Q两点到直线l的距离分别为d,d ，求 1 的值. 1 2 d 2 4227 (2024·全国·高三专题练习)设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的 直线l与E交于A，B两点，且AB  =8． (1)求抛物线E的方程； (2)设P1,m  为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N 两点，直线PM和PN的斜率分别为k 和k ．求证：k +k 为定值． PM PN PM PN x2 y2 4228 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试)已知椭圆E: + =1(a>b>0) a2 b2 的两焦点分别为F 1- 3,0  ,F 2 3,0  π ，A是椭圆E上一点，当∠FAF = 时，△FAF 1 2 3 1 2 3 的面积为 . 3 (1)求椭圆E的方程； (2)直线l 1 :k 1 x-y+2k 1 =0k 1 >0  与椭圆E交于M，N两点，线段MN的中点为P，过P 作垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S，过S作椭圆E的切线l ，l 的斜率为k ， 2 2 2 求k -k 的取值范围. 1 2 x2 y2 4229 (2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模)已知椭圆E: + =1(a>b>0)经过点 a2 b2 0, 2  6 ，且离心率为 ，F为椭圆E的左焦点，点P为直线l:x=3上的一点，过点P作 3 椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF． (1)证明：直线AB经过定点M2,0  ； 第 页 共 页 781 1043(2)若记△AFM、△BFM的面积分别为S 1 和S 2 ，当S 1 -S 2  取最大值时，求直线AB的方 程． 参考结论：Qx 0 ,y 0  x2 y2 x x 为椭圆 + =1上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为 0 + a2 b2 a2 y y 0 =1． b2 2 题型二：切点弦过定点问题 4230 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l 是抛物线C：x2=2py(p>0)的准线，直线l ：3x 1 2 -4y-6=0，且l 与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l 和l 的距 2 1 2 离之和的最小值等于2． (1)求抛物线C的方程； (2)点M在直线l 上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，P，在平面内 1 1 2 是否存在定点N，使得MN⊥PP 恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请 1 2 说明理由． x2 y2 4231 (2024·福建宁德·校考一模)双曲线C: - =1的离心率为 2，右焦点F到渐近线y a2 b2 b = x的距离为 2． a (1)求双曲线C的标准方程； b (2)过直线x=1上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线y= x于A，B两点， a 证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F． 4232 (2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p> 0)的焦点到准线的距离为1． (1)求抛物线C的标准方程； (2)设点Pt,1  是该抛物线上一定点，过点P作圆O:(x-2)2+y2=r2(其中00)交于A，B两点，且OA ⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，点D的坐标为(1,1)． (1)求C的方程； (2)若点E是直线y=x-4上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P， Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标． 4234 (2024·贵州·校联考二模)抛物线C 1 :y2=2pxp>0  的焦点到准线的距离等于椭圆C :x2 2 +16y2=1的短轴长． (1)求抛物线C 的方程； 1 (2)设D1,t  是抛物线C 1 上位于第一象限的一点，过D作E:x-2  2+y2=r2(其中0b>0)的焦距为2，圆x2+y2 a2 b2 =4与椭圆C恰有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程； 第 页 共 页 782 1043(2)已知结论：若点x 0 ,y 0  x2 y2 为椭圆 + =1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 a2 b2 x x y y 0 + 0 =1．若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别 a2 b2 为A,B，求证：直线AB过定点． 4236 (2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试)如图所示，已知P0,1  在椭圆 x2 y2 Γ: + =1(00)，圆C在椭圆Γ内部. 4 b2 (1)求r的取值范围； (2)过P0,1  作圆C的两条切线分别交椭圆Γ于A,B点(A,B不同于P)，直线AB是否 过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由. 3 题型三：利用切点弦结论解决定值问题 4237 (2024·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆Γ 和抛物线Γ 有相同的焦点(1,0)， 1 2 1 椭圆Γ 的离心率为 ，抛物线Γ 的顶点为原点. 1 2 2 (1)求椭圆Γ 和抛物线Γ 的方程； 1 2 (2)设点P为抛物线Γ 准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ 的两条切线PA，PB，其中 2 2 A,B为切点.设直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，求证：kk 为定值. 1 2 1 2 4238 (2024·全国·高三专题练习)已知F是抛物线C：x2=2pyp>0  的焦点，以F为圆心， 2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且AB  =4 3. (1)求抛物线C和圆F的方程； (2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分 别为M，N，请问MF  ⋅NF  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4239 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2=2pxp>0  的焦点为F，过点F引圆M： x+1  2+y-1  1 2= 的一条切线，切点为N，FN 4  19 = . 2 (1)求抛物线C的方程； 第 页 共 页 783 1043(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得 3 3 △APQ的面积为 ？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由. 2 4240 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2， 圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合. (1)求抛物线C和圆M的方程； (2)设Px 0 ,y 0  x 0 ≠2  为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两 个不同的点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  和点Qx 3 ,y 3  ,Rx 4 ,y 4  .且yy y y =16，证明：点P在一 1 2 3 4 条定曲线上. 4241 (2024·全国·模拟预测)已知抛物线C:x2=2pyp>0  的焦点为F，P为抛物线上一动 点，点P到F的最小距离为1． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点A-1,-2  向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交 于点Q，求证：点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离． 4242 (2024·全国·高三专题练习)已知点P-2,m  在抛物线C:x2=2py(p>0)上，且到抛物 线C的焦点F的距离为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点A-1,-2  向抛物线C作两条切线AM,AN，切点分别为M,N，若直线AF与直 d 线MN交于点Q，且点Q到直线FM、直线FN的距离分别为d,d .求证： 1 为定值. 1 2 d 2 4243 (2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试)在以A(-2,0)为圆心，6为半径的 圆A内有一点B(2,0)，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP交 于点M． (1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；   (2)记点M的轨迹为曲线Γ，过点B的直线与曲线Γ交于C、D两点，求OC⋅OD的最大 值； (3)在圆x2+y2=14上的任取一点Q，作曲线Γ的两条切线，切点分别为E、F，试判断 QE与QF是否垂直，并给出证明过程． 4244 (2024·全国·高三专题练习)已知拋物线C:y2=2px(p>0)，F为焦点，若圆E:(x-1)2+ y2=16与拋物线C交于A,B两点，且AB  =4 3 (1)求抛物线C的方程； (2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线PM,PN，切点分别 为M,N.求证：MF  ⋅NF  恒为定值. 4245 (2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)已知抛物线C:x2=y，圆C :x2+(y 1 2 -4)2=1,P是C 上异于原点的一点. 1 (1)设Q是C 2 上的一点，求PQ  的最小值； (2)过点P作C 2 的两条切线分别交C 1 于A,B两点(异于P).若PA  =PB  ，求点P的坐 标. x2 y2 4246 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)如图，椭圆C: + =1(a>2)，圆O: a2 4 x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F,F． 1 2 第 页 共 页 784 1043(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若PF 1  ⋅PF 2  =6，求|PM|⋅ |PN|的值； (2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直． x2 y2 4247 (2024·河南·校联考模拟预测)在椭圆C： + =1(a>b>0)中，其所有外切矩形的 a2 b2 2 顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P1, 2  ， 6 1 Q- , 2 2  . (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若k ， OM k 存在，证明：k ⋅k 为定值. ON OM ON 4 题型四：利用切点弦结论解决最值问题 4248 (2024·福建泉州·高三校联考阶段练习)已知F为抛物线C：x2=2pyp>0  的焦点， M-4,m  是C上一点，M位于F的上方且MF  =5. (1)求p； (2)若点P在直线x+y+3=0上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求AF  BF  的最小值. 1 4249 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为 . 2 (1)求抛物线C的方程及焦点F的坐标； (2)如图，过抛物线C上一动点P作圆M:(x-2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B， 求四边形PAMB面积的最小值. x2 y2 4250 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F， 1 1 F，左顶点为D，离心率为 ，经过F 的直线交椭圆于A,B两点，△FAB的周长为8． 2 2 1 2 (1)求椭圆C的方程； 第 页 共 页 785 1043(2)过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N， ①证明：直线MN过定点； ②求S 的最大值． △DMN 备注：若点x 0 ,y 0  x2 y2 在椭圆C： a2 + b2 =1上，则椭圆C在点x 0 ,y 0  x x 处的切线方程为 0 a2 y y + 0 =1． b2 4251 (2024·贵州·高三校联考阶段练习)已知抛物线C:x2=2pyp>0  上的点2,y 0  到其焦 点F的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)已知点D在直线l：y=-3上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，直线 AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当MN  AB 最小时，求  MN  的值. x2 y2 4252 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F， a2 b2 1 F 2 ，Px 0 ,y 0  为C上一动点，PF 1  的最大值为4+2 3，且长轴长和短轴长之比为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若10  的焦点为F，且F与圆M: x2+y+3  2=1上点的距离的最小值为3. (1)求p； (2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A,B是切点，求三角形PAB面积 的最大值. 4255 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴 上，其上一点Mm,1  到焦点的距离为2. (1)求抛物线方程； (2)圆E：x2+y+1  2=1，过抛物线上一点Px 0 ,y 0  x 0 ≥2  作圆E的两条切线与x轴交 于M、N两点，求S 的最小值. △PMN 4256 (2024·广东茂名·高三校考阶段练习)已知平面内动点Px,y  ，P到定点F 6,0  的距 4 6 3 离与P到定直线l:x= 的距离之比为 ， 3 2 (1)记动点P的轨迹为曲线C ，求C的标准方程． (2)已知点M是圆x2+y2=10上任意一点，过点M作做曲线C的两条切线，切点分别是 A,B，求△MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标. 第 页 共 页 786 1043x2 y2 注：椭圆： + =1a>b>0 a2 b2  上任意一点Px 0 ,y 0  x x y y 处的切线方程是： 0 + 0 =1. a2 b2 x2 y2 4257 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模)已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  经过点 3 A-1, 2  ，过原点的直线与椭圆交于M，N两点，点G在椭圆上(异于M，N)，且k ⋅ GM 3 k =- ． GN 4 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点P为直线x=4上的动点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为E，F，求 tan∠EPF的最大值． 4258 (2024·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知抛物线C：x2=2pyp>0  的准线为l，圆O：x2+ y2=r2. (1)当r= 5时，圆O与抛物线C和准线l分别交于点A，B和点M，N，且AB  =MN  ， 求抛物线C的方程； (2)当r=1时，点Px 0 ,y 0  y 0 >r  是(1)中所求抛物线C上的动点.过P作圆O的两条 切线分别与抛物线C的准线l交于D，E两点，求△PDE面积的最小值. 5 题型五：利用切点弦结论解决范围问题 x2 y2 1 4259 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，且直线 1 a2 b2 2 x y l: + =1被椭圆C 截得的弦长为 7． 1 a b 1 (1)求椭圆C 的方程； 1 (2)以椭圆C 的长轴为直径作圆C ，过直线l :y=4上的动点M作圆C 的两条切线，设 1 2 2 2 切点为A,B，若直线AB与椭圆C 交于不同的两点C，D，求|CD|⋅|AB|的取值范围． 1 4260 (2024·海南·统考模拟预测)已知抛物线C:x2=2pyp>0  的焦点为F，准线为l，点P是 直线l 1 :y=x-2上一动点，直线l与直线l 1 交于点Q，QF  = 5. (1)求抛物线C的方程；   (2)过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，切点为A,B，且-9≤FA⋅FB≤5，求△PAB 面积的取值范围. x2 y2 4261 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左，右焦点分别为F， 1 2 F，离心率为 ，M为椭圆上异于左右顶点的动点，△MFF 的周长为4+2 2. 2 2 1 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B，直线AB交椭圆C于P，Q 两点，求△OPQ的面积的取值范围. 4262 (2024·辽宁沈阳·校联考二模)从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行 于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚 到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线C:x2= 2pyp>1  ，从点4,9  发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两 次反射后，反射光线由G点射出，经过点-1,5  ． 第 页 共 页 787 1043(1)求抛物线C的方程； (2)已知圆M:x2+y-3  2=4，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA   和EB，切点分别为A、B，求EA⋅EB的取值范围． x2 4263 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)直线l:y= 2x+ 6过双曲线C: - a2 y2 =1a>0,b>0 b2  的一个焦点，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直. (1)求双曲线C的方程； (2)过点N 5,0  作一条斜率为k的直线l，若直线l上存在点P，使得过点P总能作C 的两条切线互相垂直，求直线k的取值范围. 第 页 共 页 788 1043