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§2.4 指数与指数函数
考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.
通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解
指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根．
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂， ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂， ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是
R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y >1 ； 当x<0时， y >1 ；
当x<0时， 0< y <1 当x>0时， 0< y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
微思考
1．若函数y＝k·ax＋b为指数函数，则a，k，b满足什么条件？
提示 k＝1，b＝0，a>0且a≠1.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之
间的大小关系是什么？
提示 c>d>1>a>b>0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m0且a≠1)的图象恒过定点________．
答案 (1,3)
4．已知 则a，b，c的大小关系是________．
答案 cb>1，
又 ∴c1时，f(x)＝ax为增函数，
则a1＝2，
∴a＝2满足题意，
当00，b>0)
答案解析 原式＝ .
3．若 ，则 ＝________.
答案
解析 由 ，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
∴ ＝.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，
还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二 指数函数的图象及应用
例1 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．00，即b<0.题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例2 (2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
答案 A
解析 设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)0，所以A正确，B不正确．
因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．
[高考改编题]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案 D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)若 ，则函数y＝2x的值域是( )
A. B.
C. D．[2，＋∞)
答案 B
解析 x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，
∴
即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，
即为.(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
答案
解析 当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为.
命题点3 指数函数性质的综合应用
例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范
围是________．
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函
数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范
围是(－∞，4]．
(2)不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，
当t＝1时，y ＝1，∴a>1.
max
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，
比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练2 (1)(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3>0.93.1 D.
答案 BCD
解析 ∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确．
，y＝x为减函数，∴ ，故B正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确；y＝x为减函数，∴
又 在(0，＋∞)上递增，∴
∴ ，故D正确．
(2)设m，n∈R，则“m1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 m－n>1，
即m－n>0，
∴m－n<0，∴m1”的充要条件．
(3)函数 .若f(x)在(－∞，－3)上单调递减，则a的取值范围是________．
答案
解析 令t＝ax2－4x＋3，则y＝t，
∵y＝t为减函数，
∴t＝ax2－4x＋3在(－∞，－3)上单调递增，
则
解得a≤－.
课时精练
1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．答案 D
解析 对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C
错误；对于D， ，故D正确．
2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 y＝0.4x为减函数，
∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，
又20.2>1，即a>b>c.
3．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
答案 C
解析 作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R上为增函数．
4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本
0
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠
肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的
变化规律，指数增长率 r与R ，T近似满足R ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R ＝
0 0 0
3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
答案 B
解析 由R＝1＋rT，R＝3.28，T＝6，
0 0
得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t)＝2I(t)，
2 1
即
所以
即0.38(t－t)＝ln 2，
2 1
所以t－t＝≈≈1.8.
2 15．(多选)函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
答案 BC
解析 当a>1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1,0)，
当x＝0时，y＝1－a<0，故选项A不正确，B正确．
当00
D．f <
答案 ACD
解析 2x·2x＝2x＋x，所以A成立，
1 2 1 2
2x＋2x≠2xx，所以B不成立，
1 2 1 2
函数f(x)＝2x在R上是增函数，
若x>x，则f(x)>f(x)，则>0，
1 2 1 2
若x0，故C正确，
1 2 1 2
f <说明函数是凹函数，可知f(x)＝2x的图象满足条件，故D正确．
7．化简： (a>0，b>0)＝________.
答案
解析 原式＝
8．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
答案 或
解析 当01时，a2－a＝，
∴a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或.9．(2020·西安调研)已知0aa，babb.
综上，ab最大．
10．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0)
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以[－8,1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3,0)．
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也单调递减，所以
当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，
经检验当m＝－1时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.
(2)令＝2x＋1－a，
令t＝2x，∴t>0，
∴＝2t－a，
即a＝t＋，
∴方程a＝t＋有正实数根，∵t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号．∴a≥2.
即实数a的取值范围是[2，＋∞)．
13．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是(
)
A.∪(1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
答案 B
解析 方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a的图
象有两个交点．
(1)当01时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．
所以00，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为
________．
答案 3或
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以
t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以y ＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
max
当00，所以x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为22t－1>0 ，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1,2]，
所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
