文档内容
专题 11.6 三角形中的经典模型【九大题型】
【人教版】
【题型1 A字模型】..................................................................................................................................................1
【题型2 8字模型】...................................................................................................................................................3
【题型3 飞镖模型】..................................................................................................................................................4
【题型4 双垂直模型】..............................................................................................................................................6
【题型5 老鹰抓小鸡模型】......................................................................................................................................8
【题型6 两内角角平分线模型】............................................................................................................................10
【题型7 两外角角平分线模型】............................................................................................................................11
【题型8 一内一外角角平分线模型】....................................................................................................................13
【题型9 三角形折叠模型】....................................................................................................................................15
知识点1：A字模型
已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180°
【题型1 A字模型】
【例1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点
E，则∠BDE+∠CED=（ ）．
A．180° B．215° C．235° D．245°【变式1-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么
∠3-∠2的度数为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD，
则下列判断错误的是（ ）
A．变成四边形后对角线增加了两条
B．变成四边形后内角和增加了360°
C．外角和没有发生变化
D．若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240°
【变式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若
∠1=130°，则∠2的度数为 ．
知识点2：8字模型
①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D
1
②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P= (∠B+∠D)
2【题型2 8字模型】
【例2】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于
点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．
（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；
（2）若∠C=38°，求∠P的度数．
【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能
完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式2-2】（23-24八年级·北京怀柔·期末）如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，
∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）．A．262° B．152° C．208° D．236°
【变式2-3】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
知识点3：飞镖模型
①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D
1
②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C)
2
【题型3 飞镖模型】
【例3】（23-24·河北秦皇岛·一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且
∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将
∠BCD （填“增大”或“减小”） °．【变式3-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个
零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F= °．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，若∠EOC=115°，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
【变式3-3】（23-24·河北邯郸·一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，
这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，
则将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．知识点4：双垂直模型
已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型4 双垂直模型】
【例4】（23-24八年级·广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且
AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：
三角形内角和等于180°）
【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，
DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：AD⊥CF．
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【变式4-2】（23-24八年级·山西晋中·期中）请把下面的证明过程补充完整
如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF=CE．
证明：∵ AE平分∠CAB（已知），
∴ ∠CAE=∠FAB（ ① ），
∵ ∠ACE=90°（已知），
∴ ∠CAE+∠CEF=90°（ ② ），
∵ CD是△ABC的高（已知），
∴ ∠CDA=90°（三角形高的定义），
∴（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），
∴ ∠CEF=∠AFD（ ④ ），
∵ ∠CFE=∠AFD（ ⑤ ），
∴ ∠CFE=∠CEF（ ⑥ ），
∴ CF=CE（ ⑦ ）．
【变式4-3】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点O是BC
的中点，点P是射线CB上的一个动点(点P不与点C、O、B重合)，过点C作CE⊥AP于点E，过点B作
BF⊥AP于点F，连接EO，OF．(问题探究)
如图1，当P点在线段CO上运动时，延长EO交BF于点G．
（1）求证：△AEC≌△BFA；
（2）BG与AF的数量关系为： (直接写结论，不需说明理由)；
(拓展延伸)
（3）①如图2，当P点在线段OB上运动，EO的延长线与BF的延长线交于点G，∠OFE的大小是否变化？
若不变，求出∠OFE的度数；若变化，请说明理由；
②当P点在射线OB上运动时，若AE=2，CE=6，直接写出△OEF的面积，不需证明．
知识点5：老鹰抓小鸡模型
如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和【
题
型
5
老
鹰
抓
小
鸡
模
型
】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若
∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．35° C．30° D．25°
【变式5-1】（23-24八年级·重庆渝北·阶段练习）如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B'点重合，若
∠1+∠2=80°，则∠B的度数为 ．
【变式5-2】（23-24八年级·安徽铜陵·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的
传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－
∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
知识点6：两内角角平分线模型
1
∠I=90°+ ∠A
2
△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则
在【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，
∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相
交于点G，若∠A=66°，则∠BGC的度数为 ．
【变式6-2】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别
是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°．求∠CAD的度数．
【变式6-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC
和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②
1
∠DFE=130°；③∠EFC= ∠G：④∠ADC=∠GCD；⑤△EGC是等腰直角三角形，其中正确的结
2论是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
知识点7：两外角角平分线模型
1
∠O=90°− ∠A
2
在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则 .
1 1
∠2= ∠EBC ∠5= ∠FCB
2 2
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴ ，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
1 1 1 1
∠EBC ∠FCB (180°−∠ABC) (180°−∠ACB)
2 2 2 2
∠O=180°-∠2-∠5=180°- - =180°- - =
1 1 1
(∠ABC+∠ACB) (180°−∠A) ∠O=90°− ∠A
2 2 2
= =
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于
点E，则∠AEC= ．【变式7-1】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，G是ΔAFE两外角平分线的交点，P是ΔABC的两
外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P= 度．
【变式7-2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D
是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为
（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【变式7-3】（23-24八年级·全国·课后作业）（分类讨论思想）△ABC的两外角平分线交于点F．
(1)如图1，若∠A=30°，则∠BFC的度数为__________．
(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，
则∠A与α+β的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明
理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
知识点8：一内一外角角平分线模型
1
∠P= ∠A
2
△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则
已知
1 1
∠3= ∠ABC ∠1= ∠ACE
2 2
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
1
∠A
2
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
1
∠P= ∠A
2
比较②③式子可知： .
【题型8 一内一外角角平分线模型】
【例8】（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是
∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；
②∠A；③∠NCD-∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式8-1】（23-24八年级·四川遂宁·开学考试）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点，若
∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M=
度．【变式8-2】（23-24八年级·四川眉山·开学考试）如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分
∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④
∠ADC=90°-∠ABD．其中正确的结论有 ．（填序号）
【变式8-3】（23-24八年级·河南开封·期末）如图，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的内角∠ABC与外
角∠ACD的平分线相交于点A ，得到∠A ；∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，得到∠A ；
1 1 1 1 2 2
……按此规律继续下去，∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，要使∠A 的度数为整数，则n的
n-1 n-1 n n
最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
知识点9：三角形折叠模型
①将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时，则∠2=2∠C.
A
C'
E
2
B F C
②将 三角形纸片 ABC 沿 EF 边折叠，当点 C 落在四边形 ABFE 内部时,则1
2∠C=∠1+∠2或 ∠C= （∠1+∠2）
2
1
③将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时,则2∠C=∠2-∠1或 ∠C= （∠2-∠1）.
2
【题型9 三角形折叠模型】
【例9】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠．
(1)当点A落在四边形BCDE内部时，∠A、∠1、∠2的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，
并说明你的理由；
(2)当点A落在四边形BCDE外部时，∠A、∠1、∠2的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，
不用说明理由．
【变式9-1】（23-24八年级·上海·期中）如图，在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这
个△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点F的位置．如果DF∥BC，∠B=60°，∠CEF=10°，那么
∠F= ．【变式9-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，
将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，
△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．
【变式9-3】 （23-24八年级·四川宜宾·期末）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，点D为
AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四
个结论：
①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC'=44°；
②如图2，当点C'落在△ABC内部时，∠ADC'+∠BEC'=44°；
③如图3，当点C'落在△ABC上方时，∠BEC'-∠ADC'=44°；
④当C'E∥AB时，∠CDE=34°或∠CDE=124°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
