文档内容
第 03 讲 指数与指数函数
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断对数函数的单调性
2024年新I卷，第6题,5分 判断指数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2023年新I卷，第4题,5分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性
用导数判断或证明已知函数的单调性
2022年新I卷，第7题,5分 比较指数幂的大小
比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及
指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考知识讲解
1. 指数的基本知识
（1）根式的基本性质
① 的定义域为 , 的定义域为
② ，定义域为
③ ，定义域为
④ ，定义域为
⑤ ，定义域为
（2）指数的基本性质
①零指数幂: ;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂: ;
④负分数指数幂:
（3）指数的基本计算①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
2. 指数函数
（1）指数函数的定义及一般形式
一般地，函数 ，叫做指数函数
（2）指数函数的图象和性质
图
象
定义域
值域
过定点
当 时， ； 当 时， ；
性质
时, 时,
在 上是增函数 在 上是减函数
考点一、 指数与指数幂的运算
1．（2023·全国·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】 ．
故选：A．
2．（2024·广东·模拟预测）若 ，则 ．
【答案】
【分析】
分 和 两种情况分类计算.
【详解】当 时， ，
当 时， .
故答案为：
3．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
1．（2024·上海宝山·二模）将 （其中 ）化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
【详解】
故答案为：2．（2023·山东·模拟预测）若 ， 则 的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【答案】D
【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：因为 ，
所以 .
故选：D．
3．（2023·四川宜宾·一模）计算: .
【答案】
【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：
，
即 .
故答案为： .
考点二、 指数函数的图象及其应用
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数 与 的图象（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．关于 对称
【答案】C
【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数 与 ，如果它们的图象关于原点对称，即
在定义域内恒成立，则称 与 为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结
论.
【详解】令函数 ，
所以
即 ，所以函数 与 的的图象关于原点对称，即函数 与 的图象的的图象关于原点对称，
故选：C.
2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当 时， ，排除B，C，
当 时， ，此时函数图象对应的图形可能为A，
当 时， ，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【答案】A
【分析】令 ，即 ，构造函数 与函数 ，画出函数图象，可知两个函
数图象相交于两点，设为 ，得 ，进而得到 ，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 的实数根，令 ，
则 ，显然 ，所以 ，构造函数 与函数 ，则方程 的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数 有两个零点，
设为 ，所以 ， ，
即 ，
另外发现，将 代入，可得 ，
所以 也是函数 的零点，说明 ，即 .
故选:A.
1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.
【详解】因为 ， ，
所以，为了得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象向右平移 个单位，
故选：D.
2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数 与 的
图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．
【详解】当 时，对应的图象可能为选项A；当 时，对应的图象可能为选项C.
故选：AC.
3．（2024·黑龙江·二模）已知函数 的图象经过原点，且无限接近直线 ，但又不与该直线
相交，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 且 ，求出a，即可求解.
【详解】因为函数 图象过原点，所以 ，
得 ，又该函数图象无限接近直线 ，且不与该直线相交，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：C
考点三、 指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 单调递增 B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称 D．函数 的图象关于 对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函
数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义， 与 的关系，即可判断CD.
【详解】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，
所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，
所以函数 关于点 对称，故C错误，D正确.
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，即可判断 为奇函数，又 ，可得 图象的对称中心为，则 ，再判断 的单调性，不等式 ，即
，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设 ， ，则 ，所以 为奇函数．
又 ，
则 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的，
所以 图象的对称中心为 ，所以 ．
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故满足 的 的取值范围为 ．
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 是 上的减函数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数 是减函数，所以 ．
又因为函数 5） 图像的对称轴是直线 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选:B．1．（2024·江西·模拟预测）函数 的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】令 ，则 ，
由复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为函数 的单调递减区间，
又函数 ，
即函数 为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数 的单调递减区间为 和 ，
即 的单调递减区间为 和 ．
故选：C．
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 单调递减，所以 ，解得 ．
故选：D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 单调递增
B．函数 值域为C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求
解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义， 与 的关系，即可判断CD.
【详解】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，所以函数 关于点 对称，故C错误，D
正确.
故选：ABD
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数 的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】 ，易知 在 单调递减，
在 单调递减，且 在 处连续，故 在R上单调递减，
由 ，则 ，解得 ,
故不等式 的解集为 .故选：A
考点 四 、 指数（型）函数的值域与最值
1．（23-24高三·阶段练习）已知函数 ，则 的单调递增区间为 ，值域为
．
【答案】
【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.
【详解】令 ，解得 或 ，
∴ 的定义域为 ，
令 ，则其在 上递减，在 上递增，
又 为减函数，故 的增区间为 ．
∵ ，∴ ，故 的值域为 ．
故答案为： ， .
2．（2024·上海松江·二模）已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则实
数 的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】令 ， ， ， ，分类讨论 的取值范围，判断
， 的单调性，结合 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令 ， ， ， ，
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，则 在 上的值域为 ，
因为 存在最小值，故需 ，解得 ，
结合 ，此时 ；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，则 在 上的值域为
，因为 存在最小值，故需 ，即 ，解得 ，
这与 矛盾；
当 时， 在 上单调递减，且在 上的值域为 ， ，此时存在最小
值2；
则实数 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对实数 分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时，因为函数 的值域为 满足 ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 的最小值小于或等于零；
若 时，依题意有 的最小值 ，即 ，
若 时，不符合题意；
综上： ，
故选：B.
1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出 的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由 ，而 ，
因为 单调递增，所以 ，则 的最大值是16.
故答案为：162．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数 ，则函数 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出 的值域，再借助二次函数求出 的值
域，最后利用指数函数单调性求解即得.
【详解】函数 在 上单调递增， ，
令 ，
而函数 在 上单调递增，则 ，
所以函数 的值域为 .
故选：D
3．（2024·河北保定·三模）已知 的值域为 ， ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数 的取值范围.
【详解】①若 ，
当 时， 在 上单调递减，此时 ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域D满足 ，则 解得 ；
②若 ，
当 时， 在 上单调递增，此时 ，当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域D满足 ，不合题意；
③当 时， ，
若 ，有 （当且仅当 时取等号）符合题意，
综上所述： .
故选：D.
考点 五 、 指数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1．（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中间数 比较 与 ，根据中间数 比较 与 .
【详解】因为 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：D.
2．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，得到 ，利用函数 的单调性，即可得到 ，而 ，即可求出结
果.
【详解】因为 ，得到 ，又 ，函数 是减函数，所以 ，又 ，得到 ，
所以 ，
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·三模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，应用导数得其单调性，可判断 ，再结合指数函数 的
单调性即可判断.
【详解】根据题意，构造函数 ，则 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
因此可得 ，即 ，
所以 ，
又指数函数 为单调递增，可得 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
1．（2024·四川·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.
【详解】因为指数函数 是单调减函数，所以 ，
又由幂函数 在 上单调增函数，所以 ，
又因为指数函数 是单调增函数，所以 ，
综上可得： ，
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
3．（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式 ，可得 ；根据不等式的性质可证得 ，则 ，
即可求解.
【详解】对于函数 ， ，
令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 .
所以 ， .
由 ，得 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 .
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
一、单选题1．（2024·陕西渭南·二模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数值域化简集合 ，再利用并集的定义求解即得.
【详解】当 时， ，则 ，而 ，
所以 .
故选：C
2．（2024·河南·模拟预测）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造函数 ，根据函数单调性得到 ，故 .
【详解】构造函数 ，则 在 上单调递增，
所以 ．
故选：C．
3．（2024·湖南邵阳·三模）“ ”是“函数 （ 且 ）在 上单调递减”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分 和 两种情况讨论 的单调性，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若 ，则 的图象为：
可知 在 上单调递增；
若 ，则 的图象为：可知 在 上单调递减；
综上所述：“ ”是“函数 （ 且 ）在 上单调递减”的充要条件.
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 为偶函数，则函数 的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，解得 ，
所以函数 ，其增区间为 .
故选：B．
5．（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设 ， ，则 在 上单调递增.
因为 在区间 内单调递减，所以函数 在区间 内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得： ，解得 4.
故选：
6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数 是奇函数，则 时， 的解析式为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】设 ，利用 时， 和 可求得 的解析式.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
又函数 是奇函数，所以 ，即 ， .
即 .
故选：C
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 为偶函数，若函数 的零点个数为
奇数个，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【分析】由函数 的图象关于 对称得零点关于 对称，但 的零点个数为奇数个可得答案.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，
所以 的图象关于 对称，
令 ，则 ，
可得函数 的图象关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称，
则函数 的零点关于 对称，但 的零点个数为奇数个，
则 .
故选：D.
二、填空题
8．（2024·山东济宁·三模）已知函数 ，则 .
【答案】
【分析】利用已知的分段函数，可先求 ，再求 即可.【详解】因为 ，所以 .
所以 .
故答案为： .
9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 ．
① ；② 的值域为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.
【详解】对于任意指数函数函数 且 ,
条件①，对于任意 ，都有 ，
条件②， 是指数函数，所以 的值域为 ，
例如：函数 为指数函数，满足条件①②.
故答案为： （答案不唯一）.
10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，推得 ， 为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
【详解】命题“ ， ”为假命题，
则 ， 为真命题，又
则 ，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得 .【详解】由对称中心性质可知函数 满足 ，
即 ，
整理可得 ，即 ，
解得 .
故选：C
2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的值为
（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以当 时，函数为增函数，当 时，函数为减函数，
因为 ，
所以 ，故 .
故选：B
3．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，若 ，且 ，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断 ，根据基本不等式判断 ，根据指数的运算判断 .
【详解】由指数函数的单调性可知 在 上单调递增，
又 ，所以 ，故 正确；
因为 ， ，
所以 ，又 ，所以上式取不到等号，所以 ，故 正确；
， ，
， ， ，故 错误；
， ，故 正确.
故选：C.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程 有两个
不同的根，分别是 则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个交点，作
出函数 与 的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得： 为R上的增函数，且
当 时， ， ，
当 时， ， ，
方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个交点，
作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知 与 图象关于 对称，
则 两点关于 对称，中点 在 图象上，
由 ，解得： .
所以 .
故选：B5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.
【详解】由题意知 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.
6．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
【详解】令 ，求导得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
则 ，即 ，而 ，于是 ，
所以 .
故选：D
二、多选题
7．（2024·山东临沂·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为B． 的值域为
C．当 时， 为奇函数
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分 、 分别求出函数值的
取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.
【详解】对于函数 ，令 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，故A正确；
因为 ，当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
综上可得 的值域为 ，故B错误；
当 时 ，则 ，
所以 为奇函数，故C正确；
当 时 ，则 ，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在 ， 为真命题，即 ，求出
的最小值得解.
【详解】若命题任意“ ， ”为假命题，
则命题存在 ， 为真命题，
因为 时， ，
令 ，则 ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
9．（2024·上海·三模）若 ， ，则满足 的m的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】先判断函数 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到
的最大值.
【详解】当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
于是，在 上， 都成立，即 为偶函数.
由指数函数的单调性可知， 在 上单调递增，
因此，不等式 等价于 ，
即 ，解得 .
故m的最大值为 .
故答案为： .
10．（2024·广东广州·三模）函数 ，其中 且 ，若函数是单调函数，则
a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意， 在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为 且 ，若函数是单调函数，结合二次函数可知： 在R上单调递增，，解得 .
故答案为：4（答案不唯一）.
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
2．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
4．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
6．（上海·高考真题）方程 的解为 .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质，化简得到 ，得出方程，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，解得 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质是解答
的关键，着重考查运算与求解能力.
7．（福建·高考真题）函数 的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】由函数单调性判断 与 的大小，再由图象与 轴的交点位置判断 的正负.
【详解】由图象可知，函数 为减函数，
从而有 ；
法一：由 图象，函数与 轴的交点纵坐标 ，
令 ，得 ，
由 ，即 ，解得 .
法二：函数 图象可看作是由 向左平移得到的，
则 ，即 .
故选：D.
8．（山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当 时， ，所以 在 上递减，
是偶函数，所以 在 上递增.
注意到 ，
所以B选项符合.
故选：B
