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专题 2.5 一元一次方程全章十一类必考点
【人教版2024】
【考点1 一元一次方程的定义】..............................................................................................................................1
【考点2 等式性质的运用】......................................................................................................................................2
【考点3 一元一次方程的解法】..............................................................................................................................3
【考点4 一元一次方程含参问题】..........................................................................................................................5
【考点5 新定义方程】..............................................................................................................................................6
【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】.........................................................................8
【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】.................................................................................9
【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】...........................................................................10
【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】...........................................................................................12
【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】.....................................................................................15
【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】..................................................................................................18
【考点1 一元一次方程的定义】
【方法点拨】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元
指
方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未
知
数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次
数
必须是1．
【经典题型】
2
1．（2024春•萨尔图区校级期末）下列各式：①3+7＝10；②3x﹣5＝x2+3x；③2x+1＝1；④ =1；
x
⑤3x+2．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x
2．（2023秋•新吴区期末）已知下列方程：① =5x+1；②x2﹣4x＝3；③0.3x＝1；④x+2y＝0．其中
2一元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024春•商水县校级期中）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值
为（ ）
1 1
A．0 B．﹣1 C．− D．
2 2
4．（2023秋•任城区校级期末）若方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，则这个一元一次
方程为（ ）
A．4x+3＝﹣2 B．﹣4x+3＝﹣2 C．4x﹣3＝﹣2 D．﹣4x2+3＝﹣2
5．（2024春•项城市期末）若3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m+n＝ ．
6．（2023秋•兴城市期末）若（|a|﹣1）x2+（a﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ ．
7．（2023秋•科左中旗校级期末）若关于x的方程（3﹣m）x2|m|﹣5+7x＝2是一元一次方程，则m＝ ．
【考点2 等式性质的运用】
【方法点拨】等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【经典题型】
1．（2024秋•武汉期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么ax＝ay
x y
B．如果 = ，那么x＝y
a a
x y
C．如果x＝y，那么 =
a2+1 a2+1
D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y
2．（2023秋•瑶海区校级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
a b
A．如果 = ，那么a＝b
c c
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果ax＝bx，那么a＝b
a b
D．如果a＝b，那么 =
c2−1 c2−13．（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（ ）
a b a b
①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若 = ，则a＝b；④若a＝b，则 = ．
c c x2+1 x2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋•潮南区期末）如图，第一个天平的两侧分别放2个球体和5个圆柱体，第二个天平的两侧分
别放2个正方体和3个圆柱体，两个天平都平衡，则6个球体的质量等于（ ）个正方体的质量．
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2023秋•曲阳县期末）已知8m+3n+2＝4m+7n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n
（填“＞”“＜”“＝”）．
6．（2024秋•长安区期末）下列条件：①a+2＝b+2；②﹣3a＝﹣3b；③﹣a﹣c＝b+c；④ac﹣1＝bc﹣
a b
1；⑤ = ，其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 （填序号即可）．
c c
7．（2024•乾县开学）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码
显示的质量，求〇＝ g，□＝ g．
【考点3 一元一次方程的解法】
【方法点拨】
①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为
整数，然后再去分母（依据：等式的性质2）
②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）
（依据：乘法分配律；去括号法则）
③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1）
④合并同类项：把方程化为 的形式（依据：合并同类项的法则）⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 （依据：等式的性质2）
【经典题型】
1．（2024秋•西城区校级期中）解方程：
（1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2；
2x−1 x−2
（2） +1= ．
3 2
2．（2024秋•南岗区校级期中）解下列方程：
（1）5（y﹣2）+4＝y﹣2（3+y）；
2x−1 5x+7
（2） +1= ．
4 6
3．（2023秋•陇县期末）解方程：
（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）
1−x x+2
（2） −x＝3−
3 4
4．（2023秋•召陵区校级期中）解方程：
（1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）；
x+1 x 2x+1
（2） − =1− ．
3 2 4
5．（2024秋•镇海区校级期中）解方程：
（1）2x﹣（x+10）＝5x；
0.02x−0.01 x 1
（2） = − ．
0.7 0.3 7
6．（2023秋•石景山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
2x−0.3 x+0.4
解方程： − =1．
0.5 0.3
20x−3 10x+4
解：原方程可化为： − =1．…第①步
5 3
方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步
去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步
移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步
合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步
系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步所以x＝0.4为原方程的解．
上述小亮的解题过程中
（1）第②步的依据是 ；
（2）第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 ．
7．（2024秋•台江区校级期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，
下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
x+1 2x−1 5x+2
− = −1
4 3 6
解：3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12……第一步
3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12……第二步
3x﹣8x+10x＝4﹣12+3+4……第三步
5x＝﹣1……第四步
1
x=− ⋯⋯第五步
5
填空：
（1）以上解题过程中，第一步的变形的依据是 ；第二步去括号时依据的运算律是
；
（2）以上解题过程中从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（3）求该方程的正确解．
【考点4 一元一次方程含参问题】
2kx+a x+bk
1．（2024秋•越秀区校级期中）如果 a、b是定值，且关于x的方程 =2+ ，无论k为何值
3 6
时，它的解总是x＝1，那么2a+b的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
x
2．（2024春•德化县期末）已知关于x的一元一次方程 +5＝2024x+m的解为x＝2024，则关于y的一
2024
y−5
元一次方程 = 2024（y﹣5）+5﹣m的解为（ ）
2024
A．y＝﹣2029 B．y＝2019 C．y＝﹣2019 D．y＝2029
ax−1
3．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程x+ =b有无数个解，则ab的值为 ．
3
x 2+ax x−6
4．（2024春•渝北区校级月考）已知关于x的方程 − = 的解为负整数，则整数a的所有取值
2 6 3的和为 ．
5．（2024春•九台区校级月考）已知关于x的方程2kx+m＝x+4．当k、m为何值时：
（1）方程有唯一解；
（2）方程有无数个解；
（3）方程无解．
3x−1
6．（2024秋•北京期中）小涵在解关于x的一元一次方程 +□=3时，发现正整数“□”被污染了，
2
于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入
思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的
吗？请你求出□的值．
a 3x+a 1−5x
7．（2023秋•安康月考）已知3[x−2(x− )]=4x和 − =1是关于x的一元一次方程，且有
3 12 8
相同的解，求a的值和这个解．
【考点5 新定义方程】
1．（2024秋•南岗区校级期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们称这两个方程为
“仁爱”方程，例如：方程x+1＝0和2x﹣3＝1为“仁爱”方程．
x−1 x+6
（1）方程4（x﹣1）﹣2＝2x和 +1=x+ “仁爱”方程；（填“是”或“不是”）
2 4
（2）关于x的一元一次方程2x+m＝0和5x+3＝2x+15是“仁爱”方程，求m的值；
2 17
（3）关于x的一元一次方程 x+4=3x+k和 x+17=0是“仁爱”方程，求关于y的一元一
2023 2024
2
次方程 (y+1)+3=3 y+k+2的解．
2023
2．（2024秋•香坊区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个方程互为
“统一方程”．例如，方程2x﹣1＝3的解为x＝2，方程x+1＝0的解为x＝﹣1，2+（﹣1）＝1，所以方
程2x﹣1＝3与方程x+1＝0互为“统一方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“统一方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x方程2x﹣n+3＝0与方程x+5n﹣1＝0互为“统一方程”，求n的值．
3．（2024秋•香坊区校级期中）如果两个一元一次方程的解互为相反数时，则称这两个方程为“友好方
程”．
如：一元一次方程x+2＝3的解为x＝1；一元一次方程1﹣2x＝3的解为x＝﹣1，则称一元一次方程x+2
＝3和1﹣2x＝3为“友好方程”．（1）判断一元一次方程2x＝4x+8和2（x+2）＝3x是否为“友好方程”．
（2）如果方程①2（x﹣1）﹣n＝0②x﹣1﹣m2＝0都是关于x的一元一次方程，它们是否会与 2
（x+2）＝3x为“友好方程”，并求出能成为“友好方程”时m或n的值，如果不能，请说明理由？
4．（2024秋•镇海区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅
方程”．例如：2x＝4和2x﹣1＝0互为“优雅方程”．
（1）判断：x+1＝0 （填“是”或“不是”）﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”．
（2）若方程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，求a的值．
（3）若两个关于x的方程mx+2＝1（m为正整数）与1＝7﹣nx（n为负整数）互为“优雅方程”，求出
所有满足条件的m、n的值．
5 2
5．（2024秋•南岗区校级月考）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：2x+ =3的解为x= ，恰
3 3
5 2
巧2+ −3= ，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程ax+b＝c的解满足x＝a+b﹣c，则称
3 3
它为“巧合方程”，请解决以下问题．
3
（1）请判断方程3x+ =3是否是巧合方程： （直接写“是”或“不是”）；
4
1
（2）已知方程 x+b=1是巧合方程，请求出b的值；
2
n 15
（3）若4x+m＝n和3x+ = 都是巧合方程，请求出2mn﹣m+n的值．
2 4
6．（2023秋•东台市期末）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）
称互为“伴生方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“伴生方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“伴生方程”，则c＝ ；
（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“伴生方程”，求m、n的值；
（3）若关于x的方程5x﹣b＝0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数b的值．
7．（2023秋•铁西区期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．
例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程．
（1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值．
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系
．【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】
1．（2024秋•南岗区校级期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天 4名熟练的装修工人可装
修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修
5m2．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，设每个房间地面面积x m2，一名初级工人每天
装修ym2，下列方程中正确的有（ ）
5x+3 7x−5 5x−3 7x+5 4(y+3)+3 6 y−5 4(y+3)−3 6 y+5
① = +3；② − =3；③ = ；④ =
4 6 4 6 5 7 5 7
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2．（2024秋•上海期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才
出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 岁．
3．（2024秋•南岗区校级月考）我市计划把某一段公路的一侧全部换上丁香树，要求路的两端各栽一棵，
并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，树苗正好用
完，道路共 米．
4．（2024•中山市三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算
经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干
人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有
辆车．
5．（2024秋•永登县期中）为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，我校初一年级开展了
“数学核心素养竞赛——有理数计算”活动，设立特等奖和一、二等奖共 87人，其中二等奖人数比一
等奖人数的2倍多10人．设一等奖的人数为x人．
（1）请用含x的代数式表示：特等奖人数是 人，二等奖人数是 人（结果化为最简）；
（2）若特等奖奖品的单价为18元，一等奖奖品的单价为16元，二等奖奖品的单价为12元，请用含x
的代数式表示该校本次购买所有奖品需要的总费用，并将结果化为最简；
（3）在（2）的基础上，若一等奖的人数为20人，则该校本次购买所有奖品共花费多少元？
6．（2024秋•南岗区校级期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课
上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．
（1）七年级四班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒
底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒
底刚好配套．7．（2024秋•香坊区校级期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮
妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名
工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人
数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每
个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安
排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】
1．（2024秋•两江新区校级月考）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经
理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价 5%，由于
张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元．
商品利润
2．（2024秋•南岗区校级月考）已知：商品利润率= ×100%，某商人经营甲、乙两种商
商品成本价
品，每件甲种商品的利润率为80%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的乙种商品比售出的甲种商
品的件数多20%时，这个商人得到的总利润率为60%，甲、乙两种商品进价的比值是 ．
3．（2024秋•香坊区校级期中）甲、乙两城相距780千米，一辆货车和一辆客车分别从两城同时出发，相
3
向而行．货车每小时行50千米，货车每小时行驶的路程比客车每小时行驶的路程少 ，从出发开始经
8
过
小时两车相距130千米．
4．（2024秋•南岗区校级期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小
岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影
4
响休息，所以两人准备一起先完成前 的工作量，求两位同学应该合作几小时？
5
5．（2024秋•上海期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4
1
小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有 的水，开放乙、丙两管2
4
小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？6．（2024春•嘉定区期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千
米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但
以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米．
7．（2024秋•汉阳区期中）甲、乙两人分别从 AB两地同时出发，相向而行，出发时甲和乙的速度比是
1 2
3：2，相遇后甲的速度提高 ，乙的速度提高 ，当甲到达B地时，乙离A地还有26km，两地相距多少
5 5
千米？
【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】
1．（2024秋•浙江期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的
数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每
一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个
规律，则x的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣8 C．5 D．9
2．（2024秋•江阴市期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文
化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六
角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为 ．
3．（2024秋•雁塔区校级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，记P 表示第m
mn
行第n个数，如，P 表示第3行第2个数是27．
32
（1）P ＝ ．
56
（2）若将数表中的7字形框上下左右移动，当T字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数；
（3）用含m，n的代数式表示P ＝ ．
mn
4．（2024秋•宿城区期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行
三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等．
（1）如图1，请用1﹣9这九个整数填写幻方数阵；
（2）如图2，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都
1
等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即a= （b+c），你
2
认为他们的发现正确吗？说说你的道理；
（3）如图3，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入连续的8个整数，使每
一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及外圈（4个数）的和都相等，请你填写出这 8个数．
5．（2024秋•邳州市期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方
有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字
之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等．
（1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ ，b＝ ；
（2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值．6．（2024秋•东西湖区期中）观察下面有规律排列的三行数：
（1）第一行数中，第7个数是 ，第二行数中，第7个数是 ，第三行数中，第7个数是
；
（2）取每行数的第2024个数，计算这三个数的和是多少？
（3）如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住 4个数，左右移动“阶
梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为﹣5118，若存在，求这四个数，若不存在，请说明理由．
7．（2024秋•西城区校级期中）如图所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，从上到下依次
为第1行，第2行，……；从左到右依次为第1列，第2列，……．
请回答：
（1）第6行第5列的数字是 ；数字58在 行 列；
（2）第m行第n列的数字是 ；
（3）用形如正方形的框框出9个数字，这9个数字的和能否等于234？如果可以，求出位于正方形框中
心的数字；如果不可以，请说明理由．
【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】
1．（2024秋•杭州期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表．
每月用电量 单价
不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时
超出180千瓦时不超出400千瓦 0.6元/千瓦时时的部分
超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时
（1）若月用电140千瓦时，应交电费 元，若月用电240千瓦时，应交电费 元；
（2）若居民王大爷家12月用电量为x千瓦（x＞400），请计算他们家12月应缴电费 元（用含
x的代数式表示）；
（3）若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电
a千瓦时（80＜a＜180），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）
2．（2024秋•黄埔区期中）水果批发市场批发丰水梨的价格如表：
购买丰水梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 9元/千克
超过10千克但不超过20千克的部分 8元/千克
超过20千克的部分 6元/千克
（1）若陈阿姨第一次购买丰水梨5千克，需要付费 元；
第二次购买丰水梨15千克，需要付费 元；
第三次购买丰水梨x千克（x超过20千克），需要付费 元（化简结果用含x的式子表示）．
（2）若陈阿姨购买丰水梨花了200元，求她买了多少千克的丰水梨？
（3）若陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，且第一次购买的数量为a千克（0＜a≤20），请问她这
两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含a的式子表示）
3．（2024秋•金水区期中）网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表：
项目 时长费 里程费 远途费
单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米
乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实
际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程 10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米
的，超出部分每千米收0.4元．
（1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费 元；
（2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a，b的代数式表示车费，
并化简：当a≤10时，小明应付车费 元；当a＞10时，小明应付车费 元；
（3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是 7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那
么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 分钟．
4．（2024秋•南海区期中）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单
外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元，小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手．
（1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单
外卖．
（2）根据国家个人所得税率标准，工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如表所示：
级数 工资范围 个人税率
1 不超过5000元 0
2 超过5000元至不超过8000元的部分 3%
3 超过8000元至不超过17000元的部分 10%
… … …
问题：如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？
5．（2024秋•丽水期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水
价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小
青家水费发票的部分信息：（居民生活水费＝自来水费+污水处理费）
（1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水 20吨及以内为 元/吨，每
月用水20～30吨（含30吨）为 元/吨，30吨及以上为 元/吨．
（2）随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知 2024年2月份小青家所缴的水费为55.20
元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？
（3）为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何
控制？
丽水市xx县自来水公司水费专用发票联
计费日期：2023﹣07﹣01至2023﹣08﹣11
付款期限：
上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨
884 919 35
自来水费 污水处理费
用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元
阶梯一20 1.3 26.00 20 0.50 10.00
阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00
阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50
本期实付金额 （大写）柒拾柒元伍角整77.50元
6．（2024秋•建湖县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表：
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量 单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米不超出10立方米的部分 4
超出10立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费 元
（2）若某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 ．
（3）若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为 立方米；
（4）若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份用水量超过了10立方米），设5月份用水x立
方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？
【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】
1．（2023秋•武都区期末）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副
定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优
惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）．
（1）当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款 元；若该球馆按方案二购买，需付款
元；
（2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
（3）若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所
需费用；如果不能，请说明理由．
2．（2023秋•潮阳区期末）某企业加工一批员工制服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批制服，已知甲
工厂每天能加工这种制服18套，乙工厂每天能加工这种制服27套，且单独加工这批制服甲厂比乙厂要
多用10天．在加工过程中，企业需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元．
（1）求这批制服共有多少套．
（2）为了尽快完成这批制服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂1
每天的生产速度提高 ，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的 2倍
9
还少7天，求乙工厂共加工多少天．
（3）经企业研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成：方案二：由乙工厂单独完成：方案
三：按（2）问方式完成：并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由
企业提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮企业选择一种最省钱的加工方案．
3．（2023秋•荔湾区期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神
和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格
表如下：
购票张数 1至40 41至80 80以上
每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元
该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40．
（1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数；
（2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请
你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案．
4．（2023秋•和县期末）冬季已经来临，学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为
160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：
“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．
（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．
（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若
租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪
大世界？（司机不占用客车座位数）
（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
5．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a（0＜a＜100）
千米/小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/小时，设客车行驶时间为t（小时）
（1）当t＝5时，客车与乙城的距离为 千米（用含a的代数式表示）
（2）已知a＝70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米
①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答）
②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立
即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：
方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在M处换乘客车返回乙城．
试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？
6．（2023秋•邵阳期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学
生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45 46至90套 91套及以上
套
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
（2）如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
（3）如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明
哪一种最省钱．
7．（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 0.1万元；经粗加
工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元．当地一家蔬菜公司收购
这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行
精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15
天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案：
方案一；将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案利润最大，为什么？
【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】
1．（2024秋•镇江期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，O为原
点．若电子蚂蚁M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若电子蚂蚁N向右运动遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动，遇到
电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动…，循环运动一直到电子蚂蚁M运动到
点B处结束，此时电子蚂蚁N的运动路程为 ；（3）电子蚂蚁N到点A后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①求t为何值时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同；
②求t为何值时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，直接写出答案．
2．（2024秋•海珠区期中）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，
点O为原点．
（1）请直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向
左运动，设运动时间为t（秒）．
①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由；
②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别
AB−OQ
取OB和AQ的中点E，F，试判断 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明
EF
理由．
3．（2024秋•南沙区期中）已知式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系
数为b，在数轴上有A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，如图所示，已知
AC＝6AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）动点P从C出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．当点P运动到A点时，
点Q也从C点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，Q点到达B点后，再立即以同样的速度返回，运
动到终点C．在点Q开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为8？请说明理由．
4．（2024秋•香洲区校级期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完
美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B
a+b
两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ；
2
【问题情境】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速
度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）A、B两点的距离为 个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 ；
（2）当t＝2时，求出此时P，Q两点在数轴上表示的数；
（3）用含t的代数式表示P，Q两点在数轴上对应的数；
（4）求出当t为何值时，P，Q两点的距离为5．
5．（2024秋•靖江市校级期中）【背景知识】若数轴上的点 A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点
a+b
之间的距离为|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
2
利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点 A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A
出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的
速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：A、B两点间的距离AB＝ ，线段PQ的中点表示的代数式为 ；
1
（2）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，在运动过程中，当t为何值时，MN= AB；
2
（3）点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度
沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如
果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
6．（2024秋•广州期中）初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两
根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题：
如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使
点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木
棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个
单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍
然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为 t
秒．
（1）当t＝16时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ；
（2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值；（3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N
的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由．
7．（2024秋•天津期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美
地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则
A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
【综合运用一】如图，数轴上点E表示为﹣3，点F表示为2．
（1）线段EF的长度是 ．
（2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题：
①当|x+3|+|x﹣2|＝7，则x＝ ．
式子|x+3|+|x﹣2|是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简
求出最小值？
【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足（c﹣7）2+|b﹣13|＝
1
0，且a为− 的倒数．
12
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速
度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（t＞0）．
①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ；
②当PO＝6时，求t的值．
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单
位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ＝2MP？
