文档内容
微专题：反函数
【考点梳理】
指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数 y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)互为
a
反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线 y ＝ x 对称.
【题型归纳】
题型一： 求反函数
1．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，
欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函
数与指数函数互为反函数，即对数函数 （ 且 ）的反函数为 （ 且 ）．
已知函数 ， ，则对于任意的 ，有 恒成立，则实数k的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．设 为指数函数 （ 且 ），函数 的图象与 的图象关于直线 对称.在
， ， ， 四点中，可能是函数 与 的图象的公共点的有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．已知函数 ，其反函数为（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 反函数的性质应用
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．若 满足 ， 满足 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知 ， 分别是方程 ， 的根，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
6．若 且 ）恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．
【双基达标】
7．函数 的反函数的图象经过点（ ）
A． B． C． D．
8．以下说法正确的有（ ）
①偶函数一定不存在反函数；
②若函数 和其反函数 的图象存在交点，则交点必定在直线 上；
③函数 和其反函数 的图象的交点可能有无数个；
④定义域上严格单调的函数必存在反函数．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．函数 的反函数的图象为（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
10．已知 、 分别是函数 、 的零点，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．设 为指数函数 （ 且 ），函数 的图象与 的图象关于直线 对称．
在 ， ， ， 四点中，函数 与 的图象的公共点只可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
12．已知 （ 且 ， 且 ），则函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．函数 是 （ ，且 ）的反函数，则（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数 是奇函数，当 时，函数 的图象与函数 的图象关于 对称，则
（ ）
A．-7 B．-9 C．-11 D．-13
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．已知函数 的图象与函数 且 的图象关于直线 对称，函数 的图象经过点 与
点 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．设集合 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数 为R上的单调函数， 是它的反函数，点 和点 均在函数 的图象上，则
不等式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
18．设k>0，若不等式 ≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（ ）
A．e B．eln3 C．log e D．3
3
19．若 是方程 的解， 是方程 的解，则 等于（ ）
A． B． C． D．
20．若函数 的反函数为 ，则 等于（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
21．已知 是方程 的解， 是方程 的解，则（ ）
A． B．
C． D．
22．若直线 与直线 是曲线 的两条切线，也是曲线 的两条切线，则
的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．
23．若关于x的方程 与 的根分别为m、n，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．设函数 的图象与 的图象关于直线 对称，若， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
25．已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知 的反函数为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
27．设 ，若存在正实数x，使得不等式 成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
28．若 的反函数为 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
29．如果函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，那么 的解析式是（ ）.
A． B． C． D．
30．已知函数 ， .若对于 图象上的任意一点 ，在 的图象上总存在一点 ，满足
，且 .则实数 （ ）
A． B． C．2 D．4
31．已知函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，若点P，Q分别在 ， 的图
象上.当a取最大值时， 的最小值是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
二、多选题
32．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．命题 的否定为
B．若 ，则 ．
C．函数 与函数 是相同的函数
D．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
33．下列说法正确的是（ ）
A． 是函数 为奇函数的充要条件
B．设函数 的反函数为 ，则
C．若函数 是奇函数，当 时 ，则当 时
D．若函数 是偶函数，且在 上单调递增，则
34．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数 的最大值为
B．若定义在R上的奇函数 在 内有100个零点，则函数 有201个零点
C．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
D．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数，则实数a的取值范围是
35．下面说法正确的有（ ）
A． 的零点是
B． 与 互为反函数
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．已知 ，则 ；
D． 不是偶函数
三、填空题
36．若 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，已知函数
，则关于 的方程 的解集是___________.
37．若函数 的反函数的图象经过点 ，则 __________．
38．方程 的根为 ，方程 的根为 ，则 __________
39．若函数 的反函数为 ，且 ，则 ________.
40．若函数 的反函数的图像经过点 ，则 ____________.
41．函数 的反函数为 ， __________.
四、解答题
42．已知函数 的反函数为 ，且 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若关于 的方程 在区间 内有解，求实数m的取值范围.
43．已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）判断 的奇偶性；
（3）求 ；
（4）求使 的 的取值范围.
44．求下列函数的反函数：
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1） ；
（2） ；
（3）
45．已知函数 （ 且 ）， 为 的反函数.
(1)写出函数 的解析式；
(2)解关于x的不等式 .
46．已知函数 .
（1）求函数 的反函数 ，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明 的单调性.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
依据题意构造函数 为增函数，并利用导数得到关于实数k的不等式，进而求得实数k的取
值范围
【详解】
由题意， 的反函数 ．
对于任意的 ，有 ，
即 ，可转化为 ，
则函数 在 上单调递增．
设 ，则 在 上恒成立
即 在 上恒成立
又 ，则 ，
故选：D．
2．B
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数的关系可知知 ，再将点一一代入验证即可；
【详解】
解：由题意，根据指数函数与对数函数的关系可知知 .
显然 不在指数函数 （ 且 ）上，故错误，
又点 不在对数函数 （ 且 ）上，故错误，
若 满足 （ 且 ），则 解得 ，
若 满足 （ 且 ），则 解得 ，显然不是公共点，
若 满足 （ 且 ），则 解得 ，
若 满足 （ 且 ），则 解得 ，符合题意；
故仅点 可能同时在两条曲线上.
故选：B.
3．D
【解析】
第 9 页【分析】
利用反函数定义求解.
【详解】
的反函数为 ，即 ，故其反函数为 .
故选：D
4．D
【解析】
【分析】
将所给式化简可得 ， ，进而 和 是直线 和曲线 、曲线 交点的横
坐标.再根据反函数的性质求解即可
【详解】
由题意 ，故有
故 和 是直线 和曲线 、曲线 交点的横坐标.
根据函数 和函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
故曲线 和曲线 的图象交点关于直线 对称.
即点（x，5﹣x）和点（x，5﹣x）构成的线段的中点在直线y=x上，
1 1 2 2
即 ，求得x+x=5，
1 2
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， 分别是函数 ， 的图象与直线 交点的横坐标，由于 的图象与
图象关于直线 对称，而直线 也关于直线 对称，所以两交点的中点就是直线 与
的交点，求出交点坐标，再利用中点坐标公式可求出 的值
【详解】
由题意可得 是函数 的图象与直线 交点 的横坐标， 是函数 图象与直线 交点
的横坐标，
因为 的图象与 图象关于直线 对称，而直线 也关于直线 对称，
所以线段 的中点就是直线 与 的交点，
由 ，得 ，即线段 的中点为 ，
所以 ，得 ，
故选：B
6．C
【解析】
第 10 页【分析】
当 时，原题等价于 在区间 上恒成立，令 ，利用导数求得 的单调区间和最
值，分析计算，即可得答案，当 ，分析得不符合题意，综合即可得答案.
【详解】
当 时，由题意 与 互为反函数，
所求等价于 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，则 为减函数，
当 时， ，则 为增函数，
所以 在 处取得极小值，也为最小值，
所以 ，整理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，解得 ；
当 时，不符合题意，故舍去，
所以a的取值范围是
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
写出函数 的反函数，判断选项中的点是否满足即可.
【详解】
函数 的反函数为 ，经过点
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
根据反函数的知识确定正确选项.
【详解】
第 11 页因为函数 ， 是偶函数，且存在反函数，所以①错；
因为函数 和函数 互为反函数，且 为它们图象的交点，但不在直线 上，所以②错；
因为函数 的反函数就是其本身，两者交点有无数个，所以③对；
根据反函数的定义，可知④对．
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
求出函数 的反函数，即可得出结论.
【详解】
由 得 ，可得 ，
故函数 的反函数的解析式为 ，
而函数 的图象可由函数 的图象向下平移 个单位得到.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
由题意 为函数 与 的交点的横坐标， 函数 与 的交点的横坐标，又由函数 与
函数 互为反函数，其图象关于直线 对称，而直线 也关于直线 对称，从而交点也直线
对称，可得答案.
【详解】
根据题意，已知 、 分别是函数 、 的零点，
函数 的零点为函数 与 的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为 ，
函数 的零点为函数 与 的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为 ，
又由函数 与函数 互为反函数，其图象关于直线 对称，
而直线 也关于直线 对称，则点 和 也关于直线 对称，则有 ，则有
，
故选：C.
第 12 页【点睛】
关键点睛：本题考查函数零点的定义，考查互为反函数的两个函数的图像关系，解答本题的关键是函数 与函
数 互为反函数，其图象关于直线 对称，从而得出点 和 也关于直线 对称，从而得
出答案，属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
求出 ，将四个选项逐一代入检验，得到正确答案.
【详解】
由题意，知 ．逐一代入验证，
点 代入 中，求得： ，不合要求，舍去；
点 代入 中，解得： ，将 代入 中， ，Q点不在 上，不合要
求，舍去；
点 代入 中，解得： ，将 代入 中， ，解得： ，故与
矛盾，舍去；
代入 中， ，解得： ，将 代入 中， ，解得： ，满
足题意.
故仅点N可能同时在两条曲线上．
故选：D．
12．B
【解析】
【分析】
由 （ 且 ， 且 ），得 ，从而得到 与 互为反函数，根据
互为反函数的性质即可得到结果．
【详解】
∵ （ 且 ， 且 ），
第 13 页∴ ，∴ ，
∴ ，函数 与函数 互为反函数，
∴函数 与 的图象关于直线 对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
13．B
【解析】
【分析】
先求出反函数，再验证每一个选项即可.
【详解】
∵函数 是 （ ，且 ）的反函数，
∴ （ ，且 ），∴ ，故A不正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
14．C
【解析】
根据当 时,函数 的图象与函数 的图象关于 对称可求得 的解析式,再根据奇偶性求解
即可.
【详解】
因为当 时,函数 的图象与函数 的图象关于 对称,
故 .
又函数 是奇函数,故
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了奇偶性与反函数的性质运用,需要根据题意将自变量转换到已知解析式的区间上求解,属于中档题.
15．A
【解析】
【分析】
根据函数图象关于 对称，可得 且 ，将 代入求出 ， ，再根据指数函数、对
数函数的单调性即可求解.
第 14 页【详解】
由题意知 且 ，
又 ，则 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：A．
16．D
【解析】
【分析】
利用因为 与 互为反函数，所以，互相关于 对称，得到 ，进而得出集合 的范围；对于
集合 ，化简得 ，设 ，进而利用导数求出 的最值，得出集合
的范围，即可求解
【详解】
对于集合 ，因为 与 互为反函数，所以，互相关于 对称，而
，所以，只需要 即可，因为 ，所以，
，得 ，设 ，得 ，所以，
， ， 单调递增； ， ， 单调递减，所以，
，得到 ，所以， ；
对于集合 ，化简得 ，设 ，
，因为 ，
可设 ， ，
单调递减，又 ，所以，当 时， ， ， ， 单调递减，利用洛必达法则，
时， ，
所以， ，所以， ；
由于 ， ，所以，D正确
故选：D
17．C
第 15 页【解析】
【分析】
根据给定条件判断函数 的单调性，可得 的单调性，借助单调性解不等式即可作答.
【详解】
依题意， ， ，而函数 为R上的单调函数，则 在R上单调递减，
而 是 的反函数，于是得函数 在其定义域上是减函数，又 ，
由 得： ，即有 ，则 ，解得 ，
不等式 的解集为 .
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
根据题意，将不等式转化为 ，进而通过反函数的定义发现 互为反函数，而它
们的图象关于直线 对称，则必须满足 对 恒成立，然后分离参数求出答案即可.
【详解】
由题意， 对 恒成立.容易判断，函数 互为反函数，
且均在 上单调递增.因为 与 的图象关于直线 对称，所以问题等价于 对 恒
成立，即 .
记 ， ，则 时， ，函数单调递减，
时， ，函数单调递增，所以 .
于是， ，即k的最大值为 .
故选：B.
19．A
【解析】
【分析】
先由题意，分别得到 是函数 与 交点 的横坐标； 是函数 与 交点 的横坐标；根据反
函数的对称性，以及函数 的对称性，可得 ， 两点关于直线 对称，进而可得出结果.
【详解】
因为 是方程 的解，所以 是函数 与 交点 的横坐标；
第 16 页又 是方程 的解，所以 是函数 与 交点 的横坐标；
因为函数 与 互为反函数，所以函数 与 图像关于直线 对称，
又 的图像关于直线 对称，
因此， ， 两点关于直线 对称，所以有 ，
因此 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.
20．B
【解析】
【分析】
先求出反函数，直接代入即可求解.
【详解】
由 得 ，
又 ，∴ ，∴ （ ），∴ .
故选：B
21．C
【解析】
【分析】
在 中，令 ，则有 ，则由题可知 ， 就是直线 与曲线 ， 交点的
横坐标，由反函数的性质可得 ，从而可得
【详解】
在 中，令 ，则有 ，
因为 与 互为反函数，图象关于 对称.
依题意可知 ， 就是直线 与曲线 ， 交点的横坐标，
所以 ，所以 ，即 .
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
利用 和 互为反函数推得两条公切线 和 也互为反函数，结合导数的几何意义表示
出 ， ，进而化简可得 ，代入 化简可得答案.
第 17 页【详解】
由 和 互为反函数可知，
两条公切线 和 也互为反函数，
即 满足 ， ，即 ， ，
设直线 与 和 分别切于点 和 ，
可得切线方程为 和 ，
整理得： 和 ，则 ， ，
由 ，得 ，且 ，
则 ，所以 ，
所以
,
故选：C
【点睛】
本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写出切线方程并进
行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.
23．B
【解析】
【分析】
由题意得 ， ，作出函数 ， ， 的图像（如图），由指数函数和对数
函数的关系可得A、B关于直线 对称，联立 求解可得答案.
【详解】
解：由题意，可知 ， ，作出函数 ， ， 的图像（如图），
A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线 对称，AB的中点为C，联立 可得点C的横坐
标为2，因此 ．
故选：C.
第 18 页24．A
【解析】
【分析】
在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，结合题目条
件可得答案．
【详解】
因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；
故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即 ，
两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，
解得a＝1011，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的对称性的应用，本题的关键是理解点 关于 的对称点是 .
25．D
【解析】
【分析】
分析得出函数 的解析式，即可得出 的表达式.
【详解】
因为函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ，
因此， .
故选：D.
26．C
【解析】
【分析】
的反函数为 ，代入计算得到答案.
【详解】
第 19 页∵ 的反函数为 ，又 ，∴ ，∴ .
故选：C.
27．A
【解析】
【分析】
由题意可得 ，可令 ，则 成立，由 和 互为反函数，可得图象关于直线
对称，可得 有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到 的最大值．
【详解】
不等式 ，
所以 ，
即为 ，
即有 ，
可令 ，
则 成立，
由 和 互为反函数，可得图象关于直线 对称，
可得 有解，
则 ，即 ，
可得 ，导数为 ，
可得 时，函数 递减， 时，函数 递增，
则 时， 取得最大值 ，
可得即有 ，所以 ，
可得 ，
即 的最大值为 ．
故选：A
【点睛】
关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有 ，想到令 换元，则 成立，；其二，通
过转化得到 有解，再利用导数解答.
28．B
【解析】
【分析】
第 20 页先求解出反函数并根据条件得到 的关系式，再结合基本不等式求解出 的最小值.
【详解】
因为 是互为反函数，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 且 ，
又 ，取等号时 ，
所以 的最小值为 ，
故选：B.
29．B
【解析】
【分析】
，则 ， ，计算反函数得到答案.
【详解】
函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，
即 为 的反函数， ，则 ， ，
故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了求函数的反函数，属于简单题.
30．B
【解析】
【分析】
设点 ，点 ，分类讨论 和 两种情况，结合已知条件可以得到 的关系式，分析化简知
，代入化简即可得解.
【详解】
设点 ，点
当 时，点 ，根据指数函数与对数函数的性质知，此时 ，显然满足条件；
当 ， ，由 ，知 ，即 ，即 （*）
又 ，知 ，即
将（*）式代入，得
由于 ，有
第 21 页因此有 ，即 ，即
由于 ，所以（*）式可知 不满足条件，则有
代入（*）式得
所以 ，故
故选：B
31．C
【解析】
【分析】
函数 的图象上存在点 满足条件，用t表示出a，利用导数求出a的最大值，
再在 的图象上任取点，求该点到直线 距离最小值即可作答.
【详解】
依题意，函数 的图象上存在点 ，它关于直线 对称的点 在函数 的图象上，
于是有 ，即 ，令 ，则 ，显然 在 上单调递增，在 上
单调递减，
从而得当 时， ，即 ，此时 的图象即是直线 ，
设函数 的图象上任意点 ，点Q到直线 的距离为d，P是 的图象上任意点，则必
有 ，
，
令 ，则 ，于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，即 ，当且仅当 时取“=”，
所以 的最小值是 .
故选：C
【点睛】
思路点睛：直线l与函数 的图象无公共点，求这两个图象上各取一点的两点距离的最小值，可以转化为曲
线 的与l平行的切线到直线l的距离；也可以在曲线 上任取点，求该点到直线l的距离的最小值.
32．AD
【解析】
【分析】
选项A，命题的否定修改量词否定结论；选项B可以举反例，正负不确定；选项C函数定义域不同，选项D反函
第 22 页数关于直线 对称.
【详解】
选项A，命题的否定修改量词否定结论,所以正确；
选项B，取 ，故不正确；
选项C，函数定义域不同， 的 定义域为 ， 的定义域为 ,故不是相同
的函数,所以不正确；
选项D,函数 与 是一对反函数，图象关于直线 对称，所以正确.
故选：AD.
33．BD
【解析】
【分析】
利用特殊值排除AC，根据反函数确定B选项的正确性，根据函数的奇偶性和单调性确定D选项的正确性.
【详解】
A， 满足 ，但 不是奇函数，所以A选项错误.
B，函数 的反函数为 ， ，所以B选项正确.
C， ，所以C选项错误.
D，函数 是偶函数，且在 上单调递增，所以 在 上递减，所以 ，
D选项正确.
故选：BD
34．BC
【解析】
【分析】
对A，根据函数的单调性与最值求解即可；对B，根据奇函数的对称性判断即可；对C，根据反函数的性质判定即
可；对D，根据对数函数的单调性与参数的关系判断即可；
【详解】
对A， ，故当 时， 取得最小值 ， 取得最小值 ，故A错误；
对B，若定义在R上的奇函数 在 内有100个零点，则函数 在 内有100个零点，又 ，
故 有201个零点，故B正确；
对C，因为函数 与 互为反函数，故图象关于直线 对称，故C正确；
对D，函数 （ 且 ）在 上是减函数，则因为 为减函数，故 .又由定义域，
在 上恒为正，故 ，解得 ，故数a的取值范围是 ，故D错误.
故选；BC.
35．BD
【解析】
第 23 页【分析】
A. 的零点是 ，不是 ，所以错误；
B. 与 互为反函数，所以正确；
C. 或 ，所以错误；
D. 的定义域是 ，不关于原点对称，所以不是偶函数，所以正确.
【详解】
A. 令 ，所以 的零点是 ，不是 ，所以错误；
B. 与 互为反函数，所以正确；
C. 已知 ，则 或 ，所以错误；
D. 的定义域是 ，不关于原点对称，所以不是偶函数，所以正确.
故选：BD
36．
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到 分别是直线 与函数 ､函数 图象交点的横坐标的值，再由 和
图象关于 对称，求出 ，进而可求出对应方程的解.
【详解】
依题意， 是方程 的解， 是方程 的解，
因此 分别是直线 与函数 ､函数 图象交点的横坐标的值，
又 和 图象关于 对称，则由 ，所以 ，
则方程 ，即为 ，解得 或
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据互为反函数的两函数的对称性求出 ；先由题中条件，将题中条件转化为 分别是
直线 与函数 ､函数 图象交点的横坐标的值，再由 与 互为反函数，即可求出 .
37．
【解析】
【分析】
由反函数所过点求得 图象所过点，由此求得 的值.
【详解】
第 24 页依题意函数 的反函数的图象经过点 ，
所以 的图象经过点 ，
所以
故答案为：
38．2
【解析】
【分析】
利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解
【详解】
是方程 的根，就是 和 图象交点的横坐标；
是方程 的根，就是 和 图象交点的横坐标；
在同一坐标系中画出函数 ， ， 的图象，如图所示：
由图可知， 是 和 图象交点 的横坐标，
是 和 图象交点 的横坐标，
因为 与 互为反函数，
所以图象关于直线 对称，
故点 ， 也关于直线 对称，
所以点 ， 为 ， ，
而点 ， 又在 上，
所以 ， ，
即 ，
所以 ，
故答案为：2
39．
第 25 页【解析】
【分析】
由反函数的定义可求出 的值.
【详解】
解：对于函数 ，当 时， ，又 的反函数为 ，
所以当 时， ，即 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了反函数的概念，属于基础题.
40．4
【解析】
【分析】
由题意可得 ，由此可求得实数 的值，进而可得 ，即可得解.
【详解】
由于函数 的反函数的图象经过点 ，
则 ，解得 ，
∴函数 ，
∴ .
故答案为：4.
41．
【解析】
【分析】
根据互为反函数的函数间的关系，求反函数值问题可转化为原函数求自变量求解.
【详解】
由 的反函数为 ，
令 ，
解得 ，
所以
故答案为：
42．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的反函数，再利用对数的运算法则求解；
第 26 页（2）将关于 的方程 在区间 内有解， 在区间 内有解，令
，利用复合函数的单调性得到 的单调性求解.
(1)
解：因为函数 的反函数为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
解得 ；
(2)
因为关于 的方程 在区间 内有解，
所以 在区间 内有解，
令 ，
令 ，且 在 上递增
又 在 上递减，在 上递增，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 或0时， ，
所以实数m的取值范围是 .
43．（1） 或 ；（2）奇函数；（3） （ ）；（4） .
【解析】
【分析】
（1）解不等式 即可求解；
（2）先判断 的定义域关于原点对称，再比较 与 的关系即可求解；
（3）反解 ，再交换 和 ，注明定义域即可求解；
（4）根据对数函数的单调性可得 ，再解不等式即可求解.
第 27 页【详解】
（1）因为 ，即 ，解得： 或 ，
所以 的定义域为 或 ；
（2）因为 的定义域关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数；
（3）因为令 ，则 ，可得 ，
所以 ，
交换其中的 和 ，可得： ，
所以 （ ）.
（4）由 可得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
解得： .
所以使 的 的取值范围为 .
44．（1） .
（2） .（3）
【解析】
【分析】
通常情况下，求一个函数的反函数相当于把 看成关于x的方程，其中y看成常数，解出 ，然后将
x与y互换，得到所要求的反函数 .反函数的定义域为原函数的值域.
【详解】
（1）函数 的值域为 .
， ，∴ .
第 28 页所以该函数的反函数为 .
（2） .∵ ，∴ .
∴ .所以，该函数的值域为 .
又 .
所以该函数的反函数为 .
（3）当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
所以该函数的反函数为
【点睛】
本题考查了反函数的求解.注意， ①根据反函数的定义，不是所有的函数都存在反函数，例如函数 就
没有反函数.如何判断函数 是否存在反函数？可以通过判断对任意函数值y是否存在唯一的自变量x与之对
应.这在解方程的过程中也能体现出来，若由 解得的 的表达式是唯一的，那么函数 存在
反函数，否则不存在；②函数 的反函数的定义域就是原函数的值域，而不是根据 的解析
式自身确定，因此在求反函数的过程中一般先求原函数的值域.
45．(1) （ 且 ）
(2)当 时，解集为 ，当 时，解集为
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数与对数函数互为反函数，即可求解；
（2）根据题意，得到不等式 ，分 和 分类讨论，结合单调性，列出不等式组，即可
求解.
(1)
解：因为函数 （ 且 ），
由指数函数与对数函数互为反函数，可得 的反函数为 （ 且 ）.
(2)
解：由（1）知 ，可得 ，
当 时，因为函数 在 上为增函数，
第 29 页所以 ，解得 ；
当 时，因为函数 在 上为减函数，
所以 ，解得 .
综上，当 时，原不等式的解集为 ，当 时，原不等式的解集为 .
46．（1） ，定义域为 ；（2） 在区间 上单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用反函数的定义以及函数值域的求法即可求解.
（2）利用函数的单调性定义即可求解.
【详解】
（1）解析：∵ ，开平方得 ，
整理得 ，
∴ ，定义域为 .
（2） 在区间 上单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
则
，
因为 ， ， ，
所以 ，即
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