文档内容
微专题：指数函数的图象及应用
【考点梳理】
1.指数函数
定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数
图象 0＜a＜1 a＞1
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
过定点 (0 ， 1) ，即 x ＝ 0 时，y＝1
性质
减函数 增函数
2. 指数函数相关结论
(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线.
(2)作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(0，1)，(1，a).
(3)当x>0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大.
【题型归纳】
题型一：判断指数型函数的图象形状
1．在同一直角坐标系中，函数 ，且 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的图像大致是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
3．如图所示，函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：根据指数型函数图象判断参数的范围
4．函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． ， B． ， C． ， D． ，
5．若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 且 ， ，当 时均有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：指数型函数图象过定点问题
7．已知函数 （ 且 ）的图像经过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B．0 C．7 D．
8．已知函数 （ ，且 ）的图象过定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．函数 ( 且 )的图象恒过定点 ，点 又在幂函数 的图象上，则 的值为
（ ）
A．-8 B．-9 C． D．
题型四：指数函数图像应用
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．已知正数 满足 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知过原点的直线与函数 的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
13．如果直线 和函数 的图象恒过同一个定点，且该定点始终
落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数 ，若对于任意一个正数 ，不等式 在 上都有解，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
15．函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）在同一个坐标系内的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
16．函数 且 的图象恒过定点（ ）
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－2)
17．函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
18．函数 与 ，其中 ，且 ，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
19．已知在同一坐标系下，指数函数 和 的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则函数 与函
数 的图象在 上所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2020 B．1010 C．1012 D．2022
21．在同一直角坐标系中，函数 与 在 上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
22．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（ ）
A． B．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
23．已知定义在R上的奇函数 满足 ，已知当 时， ，若
恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
24．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
25．幂函数 在 上单调递增，则 过定点（ ）
A． B． C． D．
26．函数 的图象如图所示，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．设 、 、 依次表示函数 ， ， 的零点，则 、 、 的
大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
28．设函数 ，则满足 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．对任意实数 且 关于x的函数 图象必过定点( )
A． B． C． D．
30．函数 的图像大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数 的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
32．已知函数 ，则 在区间 上的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共0分)
33．函数 ，存在实数 使得 ，则下列关系式中成立的是（ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
34．已知正实数x，y，z满足 ，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
35．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
36．若直线 与函数 ，且 的图象有两个公共点，则 可以是（ ）
A．2 B． C． D．
37．(多选)已知函数 的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）
A． B．
C． D．
38．（多选）在同一直角坐标系中，函数 （a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
三、填空题(共0分)
39．函数 的图象恒过定点_____________.
40．不论 为何值时，函数 且 恒过定点__________．
41．若函数 ，则不等式 的解集为___________.
42．已知函数 ，则它的反函数过定点___________．
43．已知函数 ，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．
44．已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为____________.
45．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．
46．已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为___________．
四、解答题(共0分)
47．已知函数f（x）＝ax﹣2（a＞0且a≠1）．
(1)求证函数f（x+1）的图象过定点，并写出该定点；
(2)设函数g（x）＝log （x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2） ，试证明函数g（x）在x∈（1，2）上有唯一零点．
2
48．通过对数一节的学习，我们可以借助常用对数把任意一个正数写成以10为底的幂．例如， ．进而，
利用正数以a为底（常数 且 ）的对数就可以把任意一个正数转化为以a为底的幂．
(1)运用对数的概念，并借助计算器，试把0.7、0.4写成以0.84为底的幂的形式（幂指数保留两位小数）．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)利用上面的思想，并借助函数图象的平移，试在下面的平面直角坐标系中画出函数 的大致图象．
思考：一般地，函数 （ 且 ）与 （ 且 ， 且 ）的图象之间具有怎样的关
系？
49．已知函数 ，
（1）求 的值；
（2）画出函数 的图像；
（3）求函数 的单调区间，并写出函数 的值域.
50．已知函数 的图像恒过定点 ，且点 又在函数 的图像上.
（1）求实数 的值；
（2）解不等式 ；
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3） 有两个不等实根时，求 的取值范围.
51．根据函数 的图像，画出下列函数的图像．
（1） ； （2） ； （3） ．
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
讨论 时和 时，函数 的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】
当 时， 为指数函数，且递减，
为幂函数，且在 时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；
当 时， 为指数函数，且递增，
为幂函数，且在 时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断 对称性，再结合 的符号，即可确定图象.
【详解】
由 ，
所以 的定义域是 ，
又 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，且 .
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
将原函数变形为分段函数，根据 及 时的函数值即可得解.
【详解】
，
时， 时， .
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
由函数的单调性得到 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到 的范围.
【详解】
第 13 页由函数 的图像可知，函数 在定义域上单调递减， ，排除AB选项；
分析可知：
函数 图像是由 向左平移所得， ， .故D选项正确.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
作出函数 和函数 的图象，在 轴右侧， 的图象上存在点在 图象下方，由此可
得参数范围．
【详解】
作出函数 和函数 的示意图，其中 的图象是过点 的直线， 是直线的斜率，
的图象与 轴交于点 ，
，
题意说明在 轴右侧， 的图象上存在点在 图象下方，
由图象可知只要 ，即可满足题意．
故选：B．
6．C
第 14 页【解析】
【分析】
由题意只需 对一切 恒成立，作出 与 的图象，数形结合即可求解．
【详解】
只需 对一切 恒成立，作出 与 的图象如下：
由图象可得：当 时， ，解得 .
当 时， ，解得
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
由题知 ,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】
解:令 得 ,故定点 为 ,
所以由三角函数定义得 ，
所以
故选：D
8．D
【解析】
【分析】
第 15 页根据解析式，结合指数的性质易知 过定点 ，结合已知即可求 .
【详解】
由解析式知： ，故 过定点 .
∴ ，则 .
故选：D
9．A
【解析】
令 ，可得点 ，设 ，把 代入可得 ，从而可得 的值.
【详解】
∵ ，令 ，得 ，
∴ ，
∴ 的图象恒过点 ，
设 ，把 代入得 ，
∴ ，∴ ，∴ .
故选：A
10．A
【解析】
【分析】
先化简，再根据 可分别看作直线 和 ， ， 的图象的交点的横坐标，数形结合
分析即可
【详解】
由已知条件可得 ， ， . 可分别看作直线 和 ， ，
的图象的交点的横坐标，画出直线 和 ， ， 的大致图象，如图所示，由图
象可知 .
第 16 页故选：A
11．B
【解析】
【分析】
画出函数图象并分别求出 和 两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围.
【详解】
设过原点与 相切的于点 ，
，则斜率为 ，此切线方程为 ，
将原点带入得 ，即斜率为 ，当斜率 时函数 与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与 相切的于点 ，
，则斜率为 ，此切线方程为 ，
将原点带入得 ，即斜率为 ，
当斜率 时函数 与过原点的直线有两个公共点，
故选：B.
12．D
【解析】
【分析】
函数 有两个不同的零点，可转化为函数 与直线 有两个交点，作出函数图象，数形结
合可得实数 的取值范围.
【详解】
函数 有两个不同的零点，
即为函数 与直线 有两个交点，
第 17 页函数 图象如图所示：
所以 ，
故选：D.
13．C
【解析】
【分析】
由已知可得 ．再由由点 在圆 内部或圆上可得
．由此可解得点 在以 和 为端点的线段上运动．由 表示以 和 为端点
的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．
【详解】
函数 恒过定点 ．将点 代入直线 可得 ，即
．
由点 在圆 内部或圆上可得 ，
即 ． 或 ．所以点 在以 和 为端点的线段上
运动．
表示以 和 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以 ，
．所以 ．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出 所满足的可行域，以及明确 所表示的几何意义.
第 18 页14．A
【解析】
【分析】
由不等式可知， 或 ，结合图象，分析可得 的取值范围.
【详解】
当 时， ，得 ， ，不能满足 都有解；
当 时， ，得 或 ，
如图，当 或 时，只需满足 或 ，满足条件.
所以 ， 时，满足条件.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据不等式成立，求参数的取值范围，本题的关键是利用数形结合理解，分析 ，
.
15．C
【解析】
【分析】
由二次函数图象过点特殊点 ，排除AD，再根据二次函数图象的对称轴和指数函数的单调性分类讨论判断．
【详解】
两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线 ，当 时，指数函数递减， ，C符合题意；
当 时，指数函数递增， ，B不符合题意．
故选：C．
16．A
第 19 页【解析】
【分析】
根据指数函数的图象恒过定点 ，即求得 的图象所过的定点，得到答案．
【详解】
由题意，函数 且 ，
令 ，解得 ，
，
的图象过定点 ．
故选：A
17．B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．
【详解】
当 ， ，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
故选：B.
18．B
【解析】
利用函数 是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数 的图象是正确的，从
而可得 的范围，进而可得指数函数 的图象
【详解】
解：对于A，C，由于函数 是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；
对于B，若函数 的图象是正确的，则 ，所以 ，所以函数 是正确的，所以B正确；
对于D，若函数 的图象是正确的，则 ，所以 ，所以函数 是增函数，所以D错误，
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的图象与性质，作出函数的图象，然后比较可得．
【详解】
很显然 均大于1；
与 的交点在 与 的交点上方，
第 20 页故 ，综上所述: .
故选:C.
【点睛】
本题考查指数函数的图象与性质，掌握指数函数是解题关键．在同一坐标系中作出两个函数的图象，然后分析比
较即可得．
20．A
【解析】
【分析】
根据条件先得出函数 的周期性和对称性，然后再利用函数 与函数 的图像交点研究问题即可.
【详解】
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即当 时，
由已知 ，
，
，故 是 周期函数，且对称轴为 ，
又 ，即 ，
所以函数 关于 对称
如图函数 和函数 在 上的图像
在区间 上，包含了函数 中的 个周期再加上 个周期，
第 21 页在区间 上，包含了函数 中的 个周期再加上 个周期，
所以函数 和函数 在 和 上都有 个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为 .
故选：A.
21．A
【解析】
【分析】
根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.
【详解】
为幂函数， 为指数函数
A. 过定点 ，可知 ， ， 的图象符合，故可能.
B. 过定点 ，可知 ， ， 的图象不符合，故不可能.
C. 过定点 ，可知 ， ， 的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
【点睛】
本题考查了幂函数和指数函数的图象，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
22．C
【解析】
根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.
【详解】
∵a>1，∴0< <1，
∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.
23．D
【解析】
【分析】
根据已知求出 ，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.
【详解】
解：因为 是定义在R上的奇函数，所以 .
所以当 时， .
第 22 页因为 ，则 关于 对称，
因为 关于 对称， 有6个不相同的根，
∴ 在 有三个不同的根，
表示过定点 的直线系，
.
作出 在 上的图象,如图所示，
时， ，又 ,
则 ；
时， ;
时，显然不满足题意.
∴m的取值范围 .
故选：D．
24．D
【解析】
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案
【详解】
由 为偶函数可排除A，C；
当 时， 图象高于 图象，即 ，排除B；
故选：D．
【点睛】
识图常用的方法：
（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问
题；
第 23 页（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
25．D
【解析】
利用已知条件得到 求出 的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.
【详解】
由题意得：
或 ，
又函数 在 上单调递增，
则 ，
则 ，
当 时，
，
则 过定点 .
故选：D.
26．D
【解析】
根据函数图象，以及解析式，得到 ，结合函数对称轴，即可判断出结果.
【详解】
由图可知， ，故 ，故 ，故排除A B；
又函数 关于 对称，由图象可知， ，故C错，D正确；
故选：D.
27．D
【解析】
【分析】
根据题意可知， 的图象与 的图象的交点的横坐标依次为 ，作图可求解.
【详解】
依题意可得， 的图象与 的图象交点的横坐标为 ，
作出图象如图：
第 24 页由图象可知， ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.
28．D
【解析】
【分析】
结合 图象化简 ，由此确定正确选项.
【详解】
画出 图象如下图所示，
由于 ，
所以 或 ，这两个不等式组无解，
所以满足 成立的 的取值范围是空集.
故选：D
29．C
【解析】
第 25 页【分析】
根据指数函数过定点(0，1)可求解.
【详解】
∵ 且 ，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数 是指数函数，过定点(0，1)，则 过定点
(0，5).
故选：C.
30．C
【解析】
【分析】
分 和 两种情况，然后根据指数函数图像和对称性进行判断.
【详解】
解：令 ，则
当 时， 在第一象限内的图像一样；
当 时，其图像与 的图像关于 轴对称；
故选：C
31．B
【解析】
【分析】
首先根据指数函数的性质求定点，即得函数 的解析式，再判断函数的图象经过的象限.
【详解】
且 恒过定点 则函数 恒过定点
且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：B
32．B
【解析】
【分析】
将问题转化为函数 与函数 的图像交点个数，画出图像即可观察出答案.
【详解】
由已知 在区间 上的零点的个数即为函数 与函数 的图像交点个数，
两个函数在同一坐标系下的图像如下：
第 26 页明显函数 与函数 的图像在 上有2个交点
故选：B.
33．AB
【解析】
【分析】
作出函数图象，得 关系，对每个选项逐一判断
【详解】
作出函数 的图象如图所示：
存在实数 使得 ，
由图可知： ，即 ，A正确；
函数 在 上为增函数，则 ，
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：AB．
34．ABCD
【解析】
【分析】
在同一坐标系中画出 （ ）的图象，并画出直线 的图象，根据图象可判断 的大
小
第 27 页【详解】
在同一坐标系中画出 （ ）的图象，如图所示
的关系有四种情况 ： ，
所以AB正确，
的关系有四种情况： ，
所以CD正确，
故选：ABCD
35．BD
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】
当 时， 在 单调递增且其图象恒过点 ，
在 单调递增且其图象恒过点 ，
则选项B符合要求；
当 时， 在 单调递减且其图象恒过点 ，
在 单调递减且其图象恒过点 ，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
36．CD
【解析】
【分析】
分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．
【详解】
由题意，直线 与函数 ，且 的图象有两个公共点，
第 28 页当 时， 的图象如图（1）所示，
由已知得 ， ；
当 时， 的图象如图（2）所示，
由已知可得 ，
，结合 可得 无解．
综上可知 的取值范围为 ．
故选： ．
37．ABC
【解析】
【分析】
先判断函数 图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可.
【详解】
令 ，得 ，即函数 的图象恒过点 ．
选项A中，函数 ，令 ，得 ，此时函数图象过点 ，满足题意；
选项B中，函数 ，令 ，得 ，此时函数图象过点 ，满足题意；
选项C中，函数 ，令 ，得 ，此时函数图象过点 ，满足题意；
选项D中，函数 ，令 ，得 ，此时函数图象不过点 ，不满足题意．
故选:ABC．
38．AC
【解析】
对a进行讨论，结合指数函数，对数函数的性质即可判断；
【详解】
由函数 ，
第 29 页当a＞1时，可得 是递减函数，图象恒过（0，1）点，
函数 ，是递增函数，图象恒过 ，
当1＞a＞0时，可得 是递增函数，图象恒过（0，1）点，
函数 ，是递减函数，图象恒过 ；
∴满足要求的图象为：A，C
故选：AC
【点睛】
本小题主要考查指数函数、对数函数图象与性质.
39．（1,3）
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，即可得答案.
【详解】
令 ，可得 ，
所以 ，即 图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
40．
【解析】
【分析】
将函数变形为 ，由恒等式 可得.
【详解】
因为 ， 恒成立，所以恒过定点 ．
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
作出函数 的图像，进而可得 ，然后利用图像解不等式即可
【详解】
函数 的图像如图中的“实线”所示.
第 30 页从而 的图像如图中的“实线”所示，为解不等式 ，需观察图像，易解得 与
的交点为 和 .
故不等式 的解集为 ，即 .
故答案为：
42．
【解析】
【分析】
首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解；
【详解】
解：函数 ，令 ，即 时， ，即原函数过定点 ，则其反函数
过定点
故答案为：
43． .
【解析】
根据 和 两种情况讨论，令 ，得出不等式，即可求解.
【详解】
当 时，令 ，可得 ，此时不等式的解集为空集，（舍去）；
当 时，令 ，可得 ，即 ，即实数 的取值范围 ，
第 31 页综上可得，实数 的取值范围 .
故答案为： .
44．
【解析】
结合指数函数和幂函数的性质求解．
【详解】
时， ，所以函数图象恒过定点 ．
故答案为： ．
45．2
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象所过定点求解．
【详解】
由 ，得m＝2.
故答案为：2
46．(3，3)
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质a0＝1，令 x－3＝0，即得解
【详解】
由a0＝1知，当x－3＝0，即x＝3时，f（3）＝3，
即图像必过定点(3，3)．
故答案为：(3，3)
47．(1)证明见解析，（﹣1，﹣1）
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由指数函数的图象恒过定点（0，1），令x+1＝0，即可得到所求定点；
（2）由已知条件，解方程可得a，判断g（x）的单调性，求得g（1），g（2）的符号，由函数零点存在定理，即
可得证．
(1)
函数f（x）＝ax﹣2（a＞0且a≠1），可得y＝f（x+1）＝ax+1﹣2，
由x+1＝0，可得x＝﹣1，y＝1﹣2＝﹣1，可得函数f（x+1）的图象过定点，
该定点为（﹣1，﹣1）；
(2)
设函数g（x）＝log （x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2） ，
2
第 32 页可得g（x）＝log （x+2）﹣ax﹣1﹣1，又g（2）＝log 4﹣a﹣1 ，
2 2
解得a ，则g（x）＝log （x+2）﹣（ ）x﹣1﹣1，
2
由y＝log （x+2）和y＝﹣（ ）x﹣1﹣1在（1，2）递增，
2
可得g（x）在（1，2）递增，又g（1）＝log 3﹣1﹣1＜0，g（2）＝log 4 1 0，即g（1）g（2）＜0，由
2 2
函数零点存在定理可得，函数g（x）在x∈（1，2）上有唯一零点．
48．(1) ，
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）直接书写即可.
（2）依据 ，以及平移的知识可得图象，然后根据 ，最后依据平移知
识简单判断即可.
(1)
， ；
(2)
由 ，将函数 的图象向左平移4个单位可得
如图
一般地，指数函数 的图象与函数 的图象之间总是差一个平移变换．
由 ，若记 ，则有 ，
因此函数 的图象可视作由函数 的图象平移 个单位所得
（ 时向左， 时向右）．
49．（1） ；（2）图象见解析；（3） 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
，值域是 .
第 33 页【解析】
（1）根据分段函数 ，先求 ，再求 即可.
（2）根据指数函数和二次函数的图象和性质画出函数的图象.
（3）由（2）中函数的图象，写出单调区间和值域即可.
【详解】
（1）因为函数 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
（2）画函数图象如图所示：
（3）由图象知：函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
函数 的值域是 .
50．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入 即可求得 的值；
(2)根据 在定义域上单调递增即可求得不等式解集；
(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围
【详解】
解：（1）函数 的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)
第 34 页又因为A点在 上，则：
（2）由题意知：
而 在定义域上单调递增，知
，即
∴不等式的解集为
（3）由 知： ，方程有两个不等实根
若令 ， 有它们的函数图像有两个交点，如下图示
由图像可知： ，故b的取值范围为
【点睛】
本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数
图象求参数范围
51．见解析
【解析】
【分析】
根据各个函数与函数 的图像的对称性，即可画出图像.
【详解】
（1）函数 的图像与 的图像关于 轴对称
（2）函数 的图像与 的图像关于直线 对称
第 35 页（3）将 的图像位于 轴左侧的图像去掉，
再将 轴右侧的图像对称过来，
第 36 页第 37 页
