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【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（陕西专用）
黄金卷 7
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）−2的相反数是( )
1 1
A．−2 B．2 C． D．−
2 2
【答案】B
【分析】根据相反数的定义即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为
另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】解：−2的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·统考中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）计算a2 ⋅a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am ⋅an=am+n解答．
【详解】解：a2 ⋅a3=a2+3=a5．
故选：C
【点睛】此题考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，
使点B落在B'上，连接DB'．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠ADB'的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【分析】由翻折的性质知∠BAE=∠B'AE=50°，AB'=AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°，AB'=AD，最后
利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，
∴∠BAE=∠B'AE=50°，AB'=AB，
∴∠BAB' =100°，AB' =AD，
∴∠DAB' =20°，
∴∠AB'D=∠ADB' =（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出∠DAB' =20°是解题
的关键．
5．（2022·广东韶关·统考一模）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得
到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学
小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2
【答案】C
【分析】在Rt△ABE中，先根据勾股定理求出AE的长，再根据4个直角三角形是全等的，得出
AH=BE=5，从而得到小正方形的边长，进一步求出面积．
【详解】解：在Rt△ABE中，
AE=√AB2−BE2=√132−52=12，
∵4个直角三角形是全等的，
∴AH=BE=5，
∴小正方形的边长=AE−AH=12−5=7，
∴阴影部分的面积=72=49(cm2 )，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、正方形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和
等于斜边的平方．
6．（2022·贵州遵义·统考中考真题）若一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能
是（ ）
3 1
A．2 B． C．− D．−4
2 2
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得k+3<0，即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随x的增大而减小，∴k+3<0．
解得k<−3．
观察各选项，只有D选项的数字符合
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，
过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当
MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【详解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
¿，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
8．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点
P(x ,y )是该函数图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤−3，则m的取值范围是（ ）
p p p p
A．m≥1或m<0 B．m≥1
C．m≤−1或m>0 D．m≤−1
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数
的性质求得m的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，
∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,−3)，
∵点P(x ,y )是该函数图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤−3，
p p p p
∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，
此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2 ⋅4−3≤−3，
解得m≥1；
②当m<0时，对称轴x=2m<0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤x ≤4时，y ≤−3恒成立；
p p
综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
9．（2022·辽宁·统考中考真题）分解因式：3x2y﹣3y＝_______．
【答案】3y(x+1)(x﹣1)
【分析】先提取公因式3y，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题主要考查了运用提取公因式、公式法进行因式分解，灵活应用相关因式分解的方法成为解答
本题的关键．
10．（2022·四川成都·校考模拟预测）边长为3的正六边形中，较短的那条对角线的长为______．
【答案】3√3
【分析】画出图形，连接AE，过F作FH⊥AE于H，根据正多边形性质和内角和公式，得出AF=EF，
∠AFE=120°，再根据等边对等角和三角形的内角和定理，得到∠FAH=30°，解直角三角形即可得到
答案．
【详解】解：如图，连接AE，过F作FH⊥AE于H，
∵AF=EF，∠AFE=120°，
∴∠FAH=30°，
∵AF=3，
AH AH √3
∵cos∠FAH= = = ，
AF 3 2
3√3
∴AH= ，
2
∴AE=2AH=3√3，
∴较短的那条对角线的长为3√3．
故答案为：3√3
【点睛】本题考查了多边形的对角线、正六边形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、解直角三角
形，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2022·湖北随州·统考三模）n阶幻方是由前n2个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对
角线上所含的n个数字和都相等，小明也找了九个数字做成一个三阶幻方，如图所示是这个幻方的一部分，
则a﹣b＝_____．【答案】-4
【分析】因为三阶幻方每行、每列及每条对角线的数字之和均为15，由此即可得到含有a、b的等式，再
由等式的性质即可得到a-b的值．
【详解】解：由题意知b+7＝a+11，
∴7-11=a-b，
即a﹣b＝7-11＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查观察、归纳能力及等式的性质，通过阅读掌握“三阶幻方每行、每列及每条对角线的数
字之和均为15”的事实是解题关键．
k
12．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）已知反比例函数y= (k≠0)，当
x
1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k=________．
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
13．（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，
AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为
圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __．
15
【答案】 <PC≤4或PC=3
4
【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P'与圆E内切，切点为
Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：
∴PM⊥AD，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=PC=3，
PC最大值为圆P'与圆E内切，切点为Q，
∴P'C=P'Q=P'E+EQ=3+1=4，
当PC=PA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意，
设PC=PA=x，则BP=BC−PC=6−x,AB=3，∴(6−x) 2+9=x2，
15
∴x= ，
4
15
则PC长度的取值范围是 <PC≤4或PC=3．
4
15
故答案为： <PC≤4或PC=3．
4
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与
圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.（5分）（2022·浙江台州·校考二模）计算：(−1) 2022+√8−4sin45°．
【答案】1
【分析】先计算有理数的乘方，化最简二次根式，特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：(−1) 2022+√8−4sin45°
√2
=1+2√2−4×
2
=1+2√2−2√2
=1．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．涉及有理数的乘方，化最简二次根式，特殊角的三角函数值．掌
握二次根式的混合运算法则是解题关键．
15.（5分）（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）解不等式组：¿将解集在数轴上表示出来，
并写出x的非负整数解．
5
【答案】− <x≤1，x的非负整数解为0,1，数轴见解析
2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集，在数轴上表示出不等式的解集，进而求得非负整数解．
【详解】解：¿
5
解不等式①得：x>−
2解不等式②得：x≤1
在数轴上表示不等式的解集，如图，
5
∴不等式组的解集为：− <x≤1，
2
∴x的非负整数解为0,1．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
2 1−x
16.（5分）（2022·江苏连云港·校考三模）解分式方程： +3=
x−2 2−x
【答案】x=1.5
【分析】将分式方程去分母，化为整式方程求解，再检验即可．
2 1−x
【详解】解： +3= ，
x−2 2−x
等号两边同时乘(x−2)，得：2+3(x−2)=−(1−x)，
去括号，得：2+3x−6=−1+x，
移项、合并同类项，得：2x=3，
系数化为1，得：x=1.5，
经检验x=1.5是原分式方程的解，
∴该方程的解为x=1.5．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意验算．
17．（5分）（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边
CD上求作一点P，使∠PBC=15°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析【分析】作线段AB的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，以B为圆心，BC为半径作弧交EF于点G，
作BH平分∠GBC交CD于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．（5分）（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)求证AC∥DE
(2)若BF=18，EC=6，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）利用SAS可证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB=∠DEF，便可证得AC∥DE；
（2）根据全等三角形的性质可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：在△ABC和△DEF中，¿，
∴△ABC≌△DFE(SAS)
∴∠ACB=∠DEF
∴AC∥DE
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BE=CF，∵BF=18，EC=6，
∴BE+CF=BF−EC=12，
∴BE=CF=6，
∴BC=BE+EC=6+6=12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全
等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题．
19．（5分）（2022·陕西西安·西安市西光中学校考二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多
学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场
得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【分析】设该队获胜x场，则平(11−x)场，利用总得分=3× 获胜场次数+1× 打平场次数，即可得出一
元一次方程，解方程即可求得答案．
【详解】设该队获胜x场，则平(11−x)场，
依题意得：3x+(11−x)=25，解得：x=7．
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．（5分）（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有
很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排
队等候．
(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
4
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：王明被安排到A小区进行服务的概率是 ，
41
故答案为： ；
4
（2）列表如下：A，B，C，D表示四个小区，
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
4 1
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为 = ．
16 4
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
21．（6分）（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个
坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为
180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立
柱AB的高度．
【答案】(170+60√3)cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定
义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
1 √3
则DF= CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180× =90√3（cm），
2 2
DF 60 90 60
由题意得： = ，即 = ，
EF 90 EF 90
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90√3+135=(255+90√3)cm，
AB 60
则 = ，
255+90√3 90
解得：AB=170+60√3，
答：立柱AB的高度为(170+60√3)cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确
作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
22．（7分）（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近
两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组
（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共抽样调查了 名学生．
(2)求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．
(3)将条形统计图补充完整．
(4)若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【答案】(1)50
(2)14.4°
(3)答案见解析
(4)720
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数；
（2）用360°乘以D组人数所占比例即可；
（3）根据总人数求出A组人数，从而补全图形；
（4）用总人数乘以睡眠时长大于或等于9h人数所占比例即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名），
故答案为：50；
2
（2）解：表示D组的扇形圆心角的度数为360°× ＝14.4°；
50
（3）解：A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名），
补全图形如下：28+2
（4）解：1200× ＝720（名）．
50
答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
23．（7分）（2022·吉林长春·统考中考真题）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙
两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与
乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后
停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
(1)m=_______，n=_______；
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【答案】(1)2.6
(2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式y=60x+80（2≤x≤6）
(3)300千米【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n
的值；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可；
（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．
【详解】（1）根据题意得，m=200÷100=2（时）
n=m+4=2+4=6（时）
故答案为：2.6；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为y=kx+b
则有：¿，
解得，¿
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式y=60x+80（2≤x≤6）
（3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米，
∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时）
11
∴乙车行完全程用时为：440÷120= （时）
3
11
∵ >2
3
11 11
∴当x= 时，y=60× +80=300千米，
3 3
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．
24．（8分）（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点
D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；
2
(2)若HA=3,cosB= ，求CG的长．
5
【答案】(1)见解析
6
(2)
5
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得OD∥BC，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出∠HBG=∠HOD，设OD=OA=OB=r，再通过解直角三角形求出半径
长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【详解】（1）连接OD，
∵DG⊥BC，
∴∠BGH=90°，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴OD∥BC，
∴∠BGH=∠ODH=90°，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）由（1）得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，
2
∵cos∠HBG= ，
5
2
∴cos∠HOD= ，
5
设OD=OA=OB=r，
∵HA=3，
∴OH=3+r，
在Rt△HOD中，∠HDO=90°，
OD r 2
∴cos∠HOD= = = ，
OH 3+r 5
解得r=2，
∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴BC=2OD=4，
∵∠BGH=∠ODH=90°，
∴△ODH∼△BGH，
OH OD 5 2
∴ = ，即 = ，
BH BG 7 BG
14
∴BG= ，
5
14 6
∴CG=BC−BG=4− = ．
5 5
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质
及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
25.（8分）（2022·山东·统考三模）如图，是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三
个点，且AO=2，在ON上方有五个台阶T ~T （各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，
1 5
台阶T 到x轴距离OK=10．从点A处向右上方沿抛物线L:y=−x2+4x+12发出一个带光的点P．
1(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线
C的表达式．
【答案】(1)点A的横坐标为−2；作图见解析；点P会落在台阶T 上
4
(2)y=−x2+14x−38
【分析】（1）由题意台阶T 的左边端点(4.5,7)，右边端点的坐标(6,7)，求出x=4.5，6时的y的值，即
4
可判断；
（2）由题意抛物线C:y=−x2+bx+c，经过R(5,7)，最高点的纵坐标为11，构建方程组求出b，c，可
得结论．
（1）
解：图形如图所示，由题意台阶T 左边的端点坐标(4.5,7)，右边的端点(6,7)，
4
对于抛物线y=−x2+4x+12，
令y=0，x2−4x−12=0，解得x=−2或6，
∴A(−2,0)，
∴点A的横坐标为−2，
当x=4.5时，y=9.75>7，
当x=6时，y=0<7，
当y=7时，7=−x2+4x+12，
解得x=−1或5，
∴抛物线与台阶T 有交点，设交点为R(5,7)，
4
∴点P会落在台阶T 上；
4
（2）
解：由题意抛物线C:y=−x2+bx+c，经过R(5,7)，最高点的纵坐标为11，
−4c−b2
=11
∴ { −4 ，
−25+5b+c=7
b=14 b=6
解得{ 或{ （舍弃），
c=−38 c=2
∴抛物线C的解析式为y=−x2+14x−38．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找
特殊点解决问题，属于中考压轴题．
26.（10分）（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，
1
AD=AE，∠ADE= ∠BAC，延长BA至点F，连结EF．求证：∠DAC=∠EAF．
2
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
1
“如图2，连结BE交AC于G，若∠AGE=∠GEF，AB=AF，求证AG= CD．”
2
问题解决：（3）数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，对此题进行变式，
提出新的问题，请你解答．
3 3
“如图3，在△ABC中，AB= AC．点D在BC边上，点F在△ABC内．AD= AF，
2 2
AE
∠DAF=∠ADC，∠ADB=∠BAC，连结BF交AD于点E，求 的值”．
CD
6
【答案】独立思考：见解析；实践探究：见解析；问题解决：
13
【分析】（1）说明∠DAE=∠CAF即可证明结论；
（2）首先利用SAS证明△ADC≌△AEF，得DC=EF，取BE的中点H，连接AH，可知AH为△BEF的
1
中位线，由∠AHG=∠AGH，则AG=AH= EF，即可证明结论；
2
3
（3）延长BA至点M，使AC= AM，连接FM，利用两边成比例且夹角相等得△ADC∽△AFM，从而
2
4
说明AD∥FM，得△ABE∽△MBF，设AB=3a，AC=2a，AM= a，进而解决问题．
3
【详解】解：（1）证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∴∠DAE=180°−2∠ADE，
1
∵∠ADE= ∠BAC，
2
∴∠DAE=180°−∠BAC=∠CAF，
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAF，
∴∠DAC=∠EAF；
（2）证明：∵AB=AF，AB=AC，
∴AF=AC，
又∵∠DAC=∠EAF，AD=AE，
∴△ADC≌△AEF(SAS)，
∴DC=EF，
如图2，取BE的中点H，连接AH，
∵AB=AF，
∴A为BF的中点，
∴AH为△BEF的中位线，
1
∴AH∥EF，AH= EF，
2
∴∠AHB=∠GEF，
∵∠GEF=∠AGE，
∴∠AHB=∠AGE，
∴∠AHG=∠AGH，
1
∴AG=AH= EF，
2
∵EF=CD，
1
∴AG= CD；
23
（3）如图3，延长BA至点M，使AC= AM，连接FM，
2
AD AC 3
∴ = = ，
AF AM 2
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB=∠BAC，
∴∠ADC+∠BAC=180°，
∵∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠ADC=∠CAM，
∵∠ADC=∠DAF，
∴∠DAF=∠CAM，
∴∠DAC=∠FAM，
∴△ADC∽△AFM，
∴∠ADC=∠AFM，
∵∠ADC=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFM，
∴AD∥FM，
∴△ABE∽△MBF，
AE AB
∴ = ，
MF BM
3 3
∵AB= AC，AC= AM，
2 2
4
∴设AB=3a，AC=2a，AM= a，
3
4 13
∴BM=AB+AM=3a+ a= a，
3 3
AE 3a 9
= =
∴ MF 13 13，
a
3
9
∴AE= MF，
13
又∵△ADC∽△AFM，
DC AD 3
∴ = = ，
MF AF 2
3
∴DC= MF，
29
MF
AE 13 6
∴ = = ．
CD 3 13
MF
2
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形
中位线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
