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微专题：数学求和—裂项相消法求和
【考点梳理】
1、常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝[－].
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)C＝C－C.
(7)n·n！＝(n＋1)！－n！.
(8)a＝S－S (n≥2).
n n n－1
2、裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数
的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. 其中等差数
列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即＝(－)，其中a≠0，d≠0. 除此之外，下面三种也比较常见.
n
指数型：＝－.
对数型：log ＝log a －log a(a>0).
n n n＋1 n n n
无理型：＝(－)(a>0，b>0).
【典例剖析】
典例1．在① ；② ；③ .这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差
数列 的前n项和为 ，且公差 ，若___________.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司典例2．已知数列 满足 （ ），且 ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， 的前 项和为 ，证明： ．
典例3．已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： ．
典例4．已知正项数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为等差数列，求证： ．
【双基达标】
5．已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：数列 的前 项和 .
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6．已知 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
7．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， ( 且 ).
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
8．已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求证： 为等差数列；
（2）求证： ．
9．设数列 的前n项和为 ，且 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
10．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，求证：数列 的前 项和 ．
11．已知正项数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和为 ，求证： ．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．已知正项数列 的前n项和为 ，满足 （ ， ）， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 的表达式.
13．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
14．设数列 的前 项和为 ，且 ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
15．已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【高分突破】
16．已知等差数列 的前n项和为 ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 为数列 的前n项和，是否存在正整数m， ，使得 ?若存在，
求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求 与 ；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
18．已知数列 的前n项和 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： .
19．在①数列 为递增的等比数列， ，且 是 和 的等差中项，② 这两个条件
中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列 的前n项和为 ，____， ，设数列 的前n项和为 ，是否存在实数k，使得 恒
成立？
20．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
21．已知数列 为等比数列， ，其中 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求数列 的前 项和 .
22．已知数列 的前 项和 满足 .
（1）求 ；
（2）已知__________，求数列 的前 项和 .
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
23．已知公差 的等差数列 ， 是 的前 项和， ， 是 和 的等比中项.
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求证 .
24．在数列 中， ，且对任意的 ，都有 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
25．已知数列 是等比数列， ， 是16与 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前10项和 ．
26．已知函数 的图象上有一点列 ，点 在 轴上的射影是 且
， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设四边形 的面积是 ，求证： ．
27．数列 中， ， ，设 ．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）若 ， 为数列 的前 项和，求不超过 的最大的整数．
28．记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）若选条件①，根据条件建立关于公差 的方程，求通项公式，若选条件②，利用等差数列前 项和公式，求
公差和首项，表示通项公式，若选条件③，利用 与 的关系，求通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得数列 的
通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】
（Ⅰ）若选①：由 ，
得
即
所以 .
若选②：设等差数列 的首项为 ，由 ，
得：
解得 ，
所以 .
若选③：当时 ；
当 时，
显然 时也满足 ，
；
（Ⅱ）由（I）知
，
则 .
2．（1）证明见解析； ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知可得 ，可得 是等比数列，从而可求出通项公式；
（2）由（1）可得 ，然后利用裂项相消求和法可求出 ，再利用放缩法可证得结论
第 8 页【详解】
证明：（1）∵ ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
数列 为首项为2，公比为2的等比数列．即 是等比数列．
∴ ，
∴ ．
（2）由题意得 ，
∴
，
∵ ，
∴ ，则 ，得证．
3．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）得到当 时， ，然后与原式联立，可得 ，然后验证 是否
满足即可.
（2）根据（1）中条件可得 ，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意： ①
当 时， ②
①－②得 ，即 ，
当 时， 满足上式，
所以 ．
（2）因为 ，
所以 ，
第 9 页所以
又 ，所以 ．
4．（1） ；（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】
（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以有 ，
由题意可知： ，化简得： ，
所以 ， ，
因此 ；
（2）由（1）可知： ， ， ，因为 为等差数列，
所以 ，因此 ，
因为 ，
因此有：
5．(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列 的
通项公式；
第 10 页（2）求得 ，利用裂项法可求得 ，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
因此， .
(2)
证明： ，
因此，
.
故原不等式得证.
6．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列 的通项公式；
（2）求得 ，利用裂项求和法可求得 .
【详解】
（1）等差数列 的前 项和 ，得 ，
因为 ，所以 ，等差数列 的公差 ，
所以， ；
（2）由（1）可知 ，
.
7．(1)
(2)
【解析】
【分析】
第 11 页（1）由 及题意可得数列 为等差数列，从而求出 ，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
(1)
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，∴ ，
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
∴数列 的通项公式为 ；
(2)
由（1）可知， ，
，
∴当 时， ．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 ，作差即可得到 ，从而得到 ，再作
差可得 ，即可得证；
（2）由（1）可得 ，从而得到 与 ，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
证明：（1）∵ ，
第 12 页∴ ，
两式做差得： ，
∴ ，
∴
∴ ，
两式做差得： ，
∴ ，
即： ，
∴ 为等差数列．
（2） 为等差数列． ， ，得 ， ，
∴
∴ ．
9．（1） ；（2） .
【解析】
（1）首先由条件判断数列是等差数列，再求公差和首项，求通项公式；（2）由（1）可知 ，利
用裂项相消法求和.
【详解】
（1）∵ ，∴
∴ 是等差数列，设 的公差为 ，
∵ ， ，∴ ，解得 ，
∴ ．
（2）
∴
．
第 13 页10．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用递推式，等比数列的定义及其通项公式即可得出答案.
(2) ,可得 ，再利用“裂项求和”即可得出.
（1）解：由已知 ，得 ． ，∴ ．
（2）证明 ．
11．(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先利用题设条件求得数列 的通项公式，进而求得数列 的通项公式；
（2）由题可得 ，利用裂项相消法可得 ，然后结合条件及不等式的性质即得.
(1)
数列 中， ，由 ，
可得 ,又 ，
则数列 是首项为1公差为2的等差数列，
所以 ，
则数列 的通项公式为 ．
(2)
第 14 页由（1）知 ，则
，
则数列 的前n项和
，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 可将题设中的递推关系转化为 ，利用等差数列的通项公式可求 的通项公
式，从而可求 的通项公式.
（2）利用裂项相消法可求 .
【详解】
（1）正项数列 的前n项和为 ，满足 （ ， ），
所以 ，
整理得： ，
由于数列为正项数列，所以 （常数），
所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，易见 也适合该式.
故 .
（2）由于 ，
所以
第 15 页.
【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项
是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；
如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法或把通项拆成一个数列连续两项的和（除了符号外）.
13．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式；
（2）利用 把 化为 ，利用裂项相消法求和.
【详解】
解析（1）设等比数列 的公比是 ，由 得 ，
解得 .
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，解得 .
∴ .
（2）∵数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴ .
∵ ，
∴ .
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
14．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用 ，得到数列 是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项 ，再利用等比数
列的通项公式求得结果；
（2）根据题意，可得 ，之后应用裂项相消法对数列 求和.
第 16 页【详解】
（Ⅰ）∵ ，∴ 是公比为 的等比数列，
又 ，解得 .
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
通项公式为 .
（Ⅱ）∵
∴
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，
裂项相消法求和，属于中档题目.
15．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.
（1）等差数列 中， ，解得 ，因 ， ， 成等比数列，即 ，设 的公差为
d，于是得 ，整理得 ，而 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）知， ，所以
.
16．（1） （2）存在，
【解析】
（1）设等差数列 的公差为d，由等差数列的通项公式与前 项和公式得 ，解得 ，从而求
出 ；
（2）由（1）得 ，由 ，利用裂项相消法得 ，若
，则 ，整理得 ，由 得 ，从而可求出答案．
第 17 页【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为d，
由 得 ，解得 ，
；
（2） ，
，
，
若 ，则 ，整理得 ，
又 ， ，整理得 ，
解得 ，
又 ， ， ，
∴存在 满足题意．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
17．（1） , （2）
【解析】
【分析】
（1）由 和 ，可求出 和 ，然后利用等差数列的性质可求出 与 ；（2）由
（1）知 ，可得 ，利用裂项相消的求和方法，可求出 的前 项和
.
【详解】
解：（1）设等差数列公差为 ， ，故 ，
，故 ，
， ，
易得 ，
第 18 页∴ ．
（2）由（1）知 ，则 ，
则 ．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础
题．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分 ，与 两种情况分析，当 是，构造 证明即可；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项求和求解 ，进而证明即可
（1）证明：当 时， ∴ 当 时， ，
∴ ∴数列 是以2为公比，首项 的等比数列
（2）由（1）知 ， ，代入 得 ∴
由 ， ，
，所以 ∴ 综上所述
19．答案见解析.
【解析】
【分析】
选①时，设数列 为公比为q，由 和等差数列的性质求得 和 ，得通项公式，然后求得 ，用裂项相消法
求得和 ，可得 的值．选①时，利用 求得通项公式，然后同选①求解．
【详解】
解：若选①时，数列 为公比为q的递增的等比数列， ，且 是 和 的等差中项，
故 ，解得 ，
整理得 ，
故 或 （舍去），
第 19 页所以 ．
所以 ．
所以 ，
当 时，使得 恒成立，
故k的最小值为1．
若选②时， ，
当 时，
所以 ，（首项符合通项），
所以 ．
所以 ，
当 时，使得 恒成立，
故k的最小值为1．
20．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，依题意得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意得 ，
解得
∴ ．
（2）由（1）得
．
【点睛】
第 20 页本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.
21．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设数列 的公比为 ，求出等比数列的 即得解；
（2）求出 ， ，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，
因为 是 和 的等差中项，所以 .
所以 化简得 ，因为公比 ，所以 ，所以 .
所以 .
（2）因为 ，所以 ， .
所以 .
即 .
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法；
（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
22．（1） ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据 求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对 分奇偶讨论，然后利用并项求和法求
和即可.
【详解】
（1）∵在数列 中， .
当 时， ，
当 时， ，
又 也满足 ，
∴
（2）选择条件① ，
第 21 页∴ ①
②
①-②得
故 .
选择条件②由（1）知： ，
∴
∴
选择条件③
，
∴当 为偶数时，
当 为奇数时，
综上所述： .
23．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
第 22 页（1）根据题意列出关于 和 的方程组，解出 和 即可求得通项公式；
（2）化简可得 ，由裂项相消法可求出 ，进而求证.
【详解】
（1） 是 和 的等比中项，
，即 ，
， ，
则可解得 ， ，
∴ ；
（2） ，
，
， .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消法求和.
24．(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 ，可得 ，根据等比数列的定义和累加法求解即可.
（2）利用分组求和和裂项相消求 .
（1）由 ，可得 又 ， ，所以 .所以 首项为 ，
公比为 的等比数列.所以 .所以
.又 满足上式，所以
（2）由（1）得 ，所以
第 23 页25．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设数列 的公比为q，由题知 ，可得 ，可求出 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）由（1），得 ，由裂项相消法即可求出答案.
（1）设数列 的公比为q，由题知 ，即 ，即 ，所以 ．
（2）由（1），得 ，所以
．
26．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 ；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）变换得到 ，确定 是以 为首项 为公比的等比数列，得到通项公式.
（Ⅱ）计算 ，根据数列单调性得到 ，代入不等式解得答案.
（Ⅲ）计算 ，放缩得到 ，根据裂项相消法求和得到答案.
【详解】
（Ⅰ）∵ ，∴ ，又 ，
∴ 是以 为首项 为公比的等比数列，∴ ，∴ .
（Ⅱ） ，∵不等式 对正整数 恒成立，
∴ ，而 ，
∴ 是一个减数列， ，
故 ，∴ 对 恒成立，
故 ，解得 或 .
第 24 页（Ⅲ）
，
∴
，
∴ .
【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，裂项相消法求和，判断数列的单调性，数列放缩思想，意在考查学生对于数列公
式方法的综合应用.
27．（1）证明见解析 ；（2） ；（3） 2021．
【解析】
【分析】
(1)将 两边都加 ，证明 是常数即可；
(2)求出 的通项，利用错位相减法求解即可；
(3)先求出 ，再求出 的表达式，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
（1）将 两边都加 ，得 ，而 ，
即有 ，又 ，则 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列；
（2）由（1）知， ，则 ，
，
，
因此， ，
所以 ；
（3）由（2）知 ，于是得 ，则 ，
第 25 页因此， ，
所以不超过 的最大的整数是2021．
28．(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的关系得到当
时， ,进而得： ，利用累乘法求得 ，检验对于 也成
立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
（1）∵ ，∴ ,∴ ,又∵ 是公差为 的等差数列，∴ ,∴ ,
∴当 时， ，∴ ,整理得： ,即
,∴ ，显然对于 也成立，∴
的通项公式 ；
（2） ∴
第 26 页第 27 页
