文档内容
微专题：椭圆的应用
【考点梳理】
圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力
【典例剖析】
1．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现
假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕
月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用 和 分别表示椭圆轨
道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．桂林山水甲天下，那里水㺯山秀，闻名世界，桂林的山奇特险峻，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来
到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的 两点处，甲站在
处唱歌时离 处有一定距离的乙在 处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个
焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点，现已知椭圆： 上
一点 ，过点 作切线 ， 两点为左右焦点， ，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则
椭圆中心 到切线 的距离为 （ ）
试卷第1页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．10 C． D．7
5．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲
线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点 、 的椭圆 与双曲线
构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又回到了点 ，历时 秒；若将装置中的 去掉，如图②，
此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时 秒；若 ，则 与 的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
试卷第2页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．设集合 ,则 的子集的个数是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
5．如图所示，
现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道
Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用 和 分别表示椭
圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：① ；②
；③ ；④ .其中正确的式子的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．已知点 是椭圆 上非顶点的动点， ， 分别是椭圆的左、右焦点， 是坐标原点，若 是
的平分线上一点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地
点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A． r+ R B． r+ R
C． r+ R D． r+ R
8．设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 ，则 （ ）
试卷第3页，共3页
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9．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为
188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短
轴长为54米，若椭圆的面积为 （其中 ， 分别为椭圆的长半轴长与短半轴长， 取3.14），已知观众区可
以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ）
A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米
10．椭圆 的焦点为 ，P为椭圆上一点，若 ，则 的面积是.
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，左，右顶点为 ， ，以线段 为直径的圆与
椭圆 有4个公共点 （ ，2，3，4），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球
飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形
轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①轨道Ⅱ的焦距为 ；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为 ；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
13．设椭圆 的右焦点为 ，且 ，方程 的两个实数根为 ， ，则
点 （ ）
A．在 圆上 B．在 圆外
C．在 圆内 D．以上都有可能
14． 年 月 日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张
近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球 和月球 都绕地月系质心 做圆周运
动， ， ，设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离 为 ，万有引力常数为 ，月球绕 做圆
周运动的角速度为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆
形，椭圆长轴上的顶点 ， 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
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16．地球轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，设太阳半径为R，轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为 ， ，
则地球轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴 的三次方跟它的
公转周期 的二次方的比值都相等，即 ， ，其中 为中心天体质量， 为引力常量，已知地球绕
以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太
阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取 ，则冥王星的公转周期约为（ ）
A．157年 B．220年 C．248年 D．256年
18．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦
点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点 处，灯丝与反射
镜的顶点A的距离 ，过焦点 且垂直于轴的弦 ，在x轴上移动电影机片门，将其放在光
线最强处，则片门应离灯丝（ ） cm.
A．10 B．11 C．12 D．13
19．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个
焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①
；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
20．过点 斜率为正的直线交椭圆 于 ， 两点. ， 是椭圆上相异的两点，满足 ， 分别
平分 ， .则 外接圆半径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
椭圆的应用
一、单选题
21．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为 ，现太阳光与地面的夹角为 ，则此椭圆
形影子的离心率为（ ）
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22．2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点
火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂
海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更
换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近
地点与地面的距离大约是 ，远地点与地面的距离大约是 ，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是
（ ）
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左焦点为 ，有一质点A从 处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射 无论经过几次反射速
率始终保持不变 ，若质点第一次回到 时，它所用的最长时间是最短时间的 倍，则椭圆的离心率e为
7
A． B． C． D．
24．我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗.中国工
程院院士､中国探月工程总设计师､巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航
天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆.已知它的
近地点(离地面最近的点) 距地面 千米，远地点(离地面最远的点) 距离地面 千米，并且 ､ ､ 在同一条直
线上，地球的半径为 千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
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C． D．
25．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线
传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 ，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经
过的路程不可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
26．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统
研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论
述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于
较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数.已知焦点在 轴上的椭圆
的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
27．设函数 的图象由方程 确定，对于函数 给出下列命题：
： ， ，恒有 成立；
： 的图象上存在一点 ，使得 到原点的距离小于 ；
：对于 ， 恒成立；
则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心） 为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点 （离
地面最近的点）距地面 千米，远地点 （离地面最远的距离）距离地面 千米，并且 ， ， 在同一条直线
上，地球的半径为 千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
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C． D．
二、多选题
29．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭
圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点 第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点
第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞
行，然后在 点处变轨进入以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在 点处变轨进入以 为圆心的圆形
轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 ，圆形轨道Ⅲ的半径为 ，则以下说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为
B．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
C．若 不变，则 越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短
D．若 不变，则 越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大
31．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25
日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由
国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点
P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的
椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 和2c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 和2a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴
1 2 1 2
长，则下列式子正确的是（ ）
A．a+c=a+c B．a-c=a-c C． D．
1 1 2 2 1 1 2 2
32．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M
处制动（俗称“踩刹车”）后，以 的速度进入距离火星表面 的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的
一个焦点），环绕周期为 ．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为 ，则（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
33．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 （离地面
最近的点）距地面 千米，远地点 （离地面最远的点）距地面 千米，并且 三点在同一直线上，地球
半径约为 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 ，则
A． B． C． D．
34．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43
分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距
离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确
的是
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
三、填空题
35．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦
点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经
过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点 的椭圆 与双曲线 构成，已知 与 的离心
率之比为 .现一光线从右焦点 发出，依次经 与 的反射，又回到了点 ，历时 秒.将装置中的 去
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司掉，如图④，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时___________.秒
36．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分
别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙
两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过
另一个焦点.现已知椭圆： 上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点， ，
由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
37．如图， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，圆 的半径为2，过点 作圆 的切线，切点为 ，在
轴的上方交椭圆于点 ，则 _______．
38．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点 ， .过椭圆上一点 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点
.由球和圆的几何性质可知， ， .已知两球半径分为别 和 ，椭圆的离心率为 ，则两球
的球心距离为_______________.
39．已知离心率为 的椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆 上，点 为
的内心，且 、 、 的面积分别为 、 、 ，若 ，
则 的值为__________．
40．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称
轴的截口 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片门位于另一个焦点 上.由椭圆一个焦点 发
出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 .已知 ， ， ，则截口 所在
椭圆的离心率为______.
试卷第14页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司41．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双
曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点 ､ 的椭圆 与双曲线
构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又回到了点 ，历时3秒；若将装置中的 去掉，如图②，
此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时t秒；已知 与 的离心率之比为2：5，则
___________.
四、解答题
42．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点 作 轴
的垂线交其“辅助圆”于点 ，当点 在点 的下方时，称点 为点 的“下辅助点”．已知椭圆
上的点 的下辅助点为 ．
试卷第15页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求椭圆 的方程；
（2）若 的面积等于 ，求下辅助点 的坐标．
43．浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪
地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点 ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星
（看作球体，其半径约为 万米）的中心 为右焦点的椭圆 . 已知地球的近木星点 （轨道上离木星表面
最近的点）到木星表面的距离为 万米，远木星点 （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为
万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆 的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由 第一次逆时针流浪到与轨道中心 的距离为 万米时（其中 分别为椭圆
的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨
（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线 ，称该直线的斜率 为“变轨系数”. 求“变轨系数” 的取
值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
44．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视
为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点
A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
试卷第16页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移
动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为 ，试确定此时鱼群P的位置（即点P
的坐标）．
45．我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心 为一个焦点的椭圆（如图），已知它的近地点 距地面的高
度为439 km，远地点 距地面的高度为2384 km并且 ， ， 三点在同一直线上，地球的半径约为6371 km，
求卫星运行轨道的方程．（精确到1 km）
46．已知地球运行的轨道是长半轴长 ，离心率 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，
求地球到太阳的最大和最小距离．
47．定义：曲线 称为椭圆 的“倒椭圆”．已知椭圆 ，它的“倒椭圆”
．
（1）写出“倒椭圆” 的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．
（2）过“倒椭圆” 上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：
直线AB与椭圆 只有一个公共点．
（3）是否存在直线l与椭圆 无公共点，且与“倒椭圆” 无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说
明理由；若不存在，请说明理由．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】由椭圆的性质判断A；由 结合不等式的性质判断BCD.
【详解】 ， ，即 ，因为 ，所以 ，即
，故A错误；
∵ ，∴ ， ，
， ，∴ ，故B错误；
由B可知， ， ，则 ，故C错误；
由B可知， ，则 ，故D正确；
故选：D
2．C
【分析】如图，过 作 处切线的垂线交 于 ，过 分别作切线的垂线交切线于点 ，利用二倍
角公式可求 ，结合椭圆的定义可求 到切线 的距离.
【详解】
如图，过 作 处切线的垂线交 于 ，过 分别作切线的垂线交切线于点 ，
由光学性质可知 平分 ， ，
则 ，
因为 ，故 ，所以 ，
，
故选：C.
3．A
第 18 页【分析】设 ，设椭圆 的长轴长为 ，双曲线 的实轴长为 ，设光速为 ，推导出 ，利用
椭圆和双曲线的定义可得出 ，由此可计算得出 与 的离心率之比.
【详解】设 ，设椭圆 的长轴长为 ，双曲线 的实轴长为 ，
在图②中， 的周长为 ，
所以， ，可得 ，
在图①中，由双曲线的定义可得 ，由椭圆的定义可得 ，
，则 ，
即 ，
由题意可知， 的周长为 ，即 ，
所以， .
因此， 与 的离心率之比为 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
4．B
【分析】画出集合 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出 元素的个数，由此求得 的子集
的个数.
【详解】画出集合 表示的图像如下图所示，由图可知 有两个元素，故有 个子集.
故选：B
【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础
第 19 页题.
5．D
【分析】根据图形关系分析 ， ，辨析为 平方处理，结合 即
可得到离心率的关系.
【详解】由图可知： 所以 ，所以①不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得： ，椭圆轨道Ⅱ中可得： ，
所以 ，所以②正确；
，同时平方得： ，
所以 ，
即 ，由图可得： ，
所以 ， ，所以③错误，④正确.
故选：D
【点睛】此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a，b，c的基本关系，涉及等价变形处理离心率
关系.
6．B
【分析】采用数形结合，通过延长 结合角平分线以及 ，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到
，然后根据 的范围，可得结果.
【详解】如图，
延长 交 的延长线于点 ，
∵ ，∴ .
又 为 的平分线，∴ ，
且 为 的中点.
∵ 为 的中点，∴ .
∵ ，
第 20 页∴ ，
∵ ，且 ，
∴ .
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.
7．A
【解析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点
离地面的距离.
【详解】由题意，椭圆的离心率 ，（c为半焦距；a为长半轴）
地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得
联立方程组 ， ，
如图所示，设卫星近地点的距离为 ，远地点的距离为 ，
所以远地点离地面的距离为 r+
故选：A．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半
焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．D
【分析】若 为坐标原点可得 ，从而可求得 ，根据 ，可得 轨迹为
圆， 为直径，从而求得结果.
【详解】若 为坐标原点，即 为 中点，则
又
在以点 为圆心的圆上，且 为直径
本题正确选项：
第 21 页【点睛】本题考查利用轨迹方程求解椭圆中的角度问题，关键是能够利用长度关系确定 点的轨迹为圆.
9．C
【分析】根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积.
【详解】由条件可得，竞技场的总面积为 平方米，表演区的面积为 ，
故观众区的面积为 平方米，故观众区每个座位所占面积为 平方米.
故选：C.
10．A
【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为 ，直接代入公式可求得面积.
【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为 ，故所求面积为 ，故选A.
【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为 ，将题目所给数据代
入公式，可求得面积.属于基础题.
11．B
【分析】依据题意可知 ，可得 范围，然后计算 ，最后根据 范围简单计算可得结果.
【详解】 ，以线段 为直径的圆与椭圆 有4个公共点，
则 ，所以 ，
设 ， ， ，
则 ，
所以 ．
故选：B
12．C
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为 ，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.
【详解】①由椭圆的性质知， ，解得 ，故正确；
②由①知 ，所以 ，
若R不变，r越大， 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误；
③由①知 ，故轨道Ⅱ的长轴长为 ，故正确；
④因为 ，若r不变，R越大，则 越小，
第 22 页所以 越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中 与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.
13．C
【解析】根据韦达定理，由题中条件，得到 ，结合椭圆的性质，求出 ，即可得出结果.
【详解】因为方程 的两个实数根为 ， ，
所以 ，
又椭圆 的右焦点为 ，且 ，
所以 ，
因此 ，
所以点 在 圆内.
故选：C.
【点睛】本题主要考查判断点与圆位置关系，考查椭圆的简单应用，属于基础题型.
14．B
【分析】根据题干中的等式结合 可求得 、 、 ，可得出合适的选项.
【详解】对于AB选项， ，由 可得 ， ，
所以， ，所以， ，A错B对；
对于C选项，由 可得 ，C错；
对于D选项，由 ， 可得 ，
所以， 得 ，D错.
故选：B.
15．C
【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为 ，高为 的
圆柱体积的一半，即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,
第 23 页因为MN平行于地面，故 ，
椭圆长轴上的顶点 ， 到容器底部的距离分别是12和18，
故 ,
在 中， ，即圆柱的底面半径为 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为 ，高为 的圆柱体积的一半，
即为 ，
故选：C.
16．A
【分析】设椭圆的实半轴长为 ，半焦距为 ，由题知 ，进而得 ，
再求离心率即可.
【详解】解：设椭圆的实半轴长为 ，半焦距为 ，
因为轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以地球轨道所在椭圆的离心力为
故选：A
17．C
【分析】利用 列方程组，化简后求得冥王星的公转周期 .
【详解】设地球椭圆轨道的半长轴为 ，公转周期 .设冥王星椭圆轨道的半长轴为 ，公转周期 .
则 ，两式相除并化简得 ，所以 年.
故选：C
【点睛】本小题主要考查椭圆的基本概念，属于基础题.
18．C
第 24 页【分析】根据题设及椭圆参数关系有 求出椭圆参数，利用椭圆的性质知片门放在光线最强处应离灯丝
.
【详解】由题设知： ，解得 ，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为 .
故选：C.
19．C
【分析】对于①，由 建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子
先变形后就可以对③④作出判断.
【详解】由 ， ，得 ，故①符合题意；
由图可知 ， ， ，故②不符合题意；
， ，
， ，
，故④不符合题意，③符合题意.
故选:C．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是 ；二是对 的变形.
20．D
【解析】分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且 ，分直线AB斜率存在及不
存在两种情况分别讨论得解．
【详解】如图，
第 25 页先固定直线AB，设 ，则 ，其中 为定值，
故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会
把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑 的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线
与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：
接下来寻求半径的表达式，
由 ，解得 ，
同理，当 时有， ，
综上， ；
当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为 ，则 ；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为 ，即 ，
与椭圆方程联立可得 ，
设 ， ，则由根与系数的关系有， ，
，
注意到 与 异号，故 ，
设 ，则 ，，当 ，即 ，此时
，故 ，
又 ，综上外接圆半径的最小值为 .
故选：D．
【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解
能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．
第 26 页21．B
【分析】利用球的对称性，作出截面图，从而判断 ，
【详解】
如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
,
过C作 交 于E,C,则 ，
在 中，
， ， , ，
，求出离心率.
那么椭圆中 ， ,
.
故选：B
【点睛】需要准确得出截面图，理解椭圆的短轴长和篮球的直径是一样的，然后借助平面图形求解，对空间想象
能力有一定的要求.
22．A
【分析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为 ，根据题意列出方程组 ，解方程组即可.
【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为 ，其中 ，
根据题意有 ， ，
第 27 页所以 ， ，
所以椭圆的离心率 ．
故选：A．
23．D
【分析】利用椭圆的性质可得 ，由此即可求得椭圆的离心率．
【详解】假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
球从 沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到 路程是 ；
球从 沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到 路程是 ；
球从 沿x轴斜向上 或向下 运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点 ，再弹到椭圆上一点B，
经 反弹后经过点 ，此时小球经过的路程是 a．
综上所述，从点 沿直线出发，经椭圆壁反射后4第一次回到点 时，
小球经过的最大路程是 a，最小路程是 ．
4
由题意可得 ，即 ，得 ．
椭圆的离心率为 ．
故选D．
【点睛】本题考查了椭圆的定义及其性质，考查了椭圆的光学性质及应用，考查了分类讨论方法，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
24．A
【分析】由已知即可求出a，c的值，进而可以求出b的值，从而可以求解．
【详解】由题意可得 ， ，
故 ，
即 ，
所以 ，
所以椭圆的短轴长为 ．
故选：A．
25．B
【分析】先根据椭圆的标准方程求出 , ,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解: 由题意可得 , , ,
所以 , .
①若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,
第 28 页则所经过的路程为 ,
②若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,
则所经过的路程为 .
③若光线从椭圆一个焦点沿非 轴方向出发,
则所经过的路程为
故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
26．A
【分析】根据题意确定 以及 ，再根据焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数
列出等式，化简即可得答案.
【详解】焦点在 轴上的椭圆 中，
，
所以 ，
由题意得 ，即 ，即 ，
解得 ，
故选:A.
27．C
【分析】分类讨论去绝对值可得函数 的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.
【详解】当 时，方程 化为 表示椭圆的一部分；
当 时，方程 化为 表示双曲线的一部分；
当 时，方程 化为 表示双曲线的一部分；
所以函数 的图象如图所示：
： ， ，恒有 成立，等价于函数 在R上为单调递减函数，由图可知，命题
第 29 页正确；
： 的图象上存在一点 ，使得 到原点的距离小于 .
根据椭圆性质可知，椭圆 短轴端点 到原点的距离最小为 ，根据双曲线的性质可知，双曲线的
顶点 到原点的距离的最小为 ，故函数 的图象上不存在一点 ，使得 到原点的距离小 ，命题
不正确；
：对于 ， 恒成立等价于对于 ， .
从图象可知，直线 的斜率大于双曲线 的渐近线 的斜率，所以直线 与曲线
有交点，故命题 不正确.
所以 、 、 不正确， 正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：分类讨论去绝对值，作出方程 所确定的图象，利用图象求解是解题关键.
28．D
【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长.
【详解】由题设条件可得 ， ，
设椭圆的半长轴长为 ，半焦距为 ，则 ， ，
故短半轴长为 ，
所以短轴长为 ，
故选：D.
29．AD
【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同 值判断A；由 ，结合不等式性质判断B；
由 变形推理判断C，D作答.
【详解】观察给定图形，由 及 得 ，A正确；
由 ，得 ，B不正确；
因 ，即 ，有 ，得 ，
令 ， ，即有 ，由给定轨道图知， ，
因此， ，D正确；而 ，C不正确.
故选：AD
30．BD
【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为 与 ，分别结合两圆的半径R和r分析选项即可
第 30 页求解.
【详解】设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 .
依题意得 ，解得 ， .
椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为 ，故A错误；
椭圆轨道Ⅱ的焦距为 ，故B正确；
椭圆轨道Ⅱ的短轴长 ，若 不变， 越大，则 越大，故C错误；
椭圆轨道Ⅱ的离心率 ，若 不变， 越小，则 越大，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：根据示意图理解并找出椭圆中 与两圆半径 的关系，是解决问题的关键.
31．BD
【分析】由题设信息可得a>a，c>c 和a-c=a-c，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计
1 2 1 2 1 1 2 2
算判断作答.
【详解】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道
Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a>a，c>c，即a+c>a+c，A不正确；
1 2 1 2 1 1 2 2
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a-c，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a-c，则有a-c=a-c，B正确；
1 1 2 2 1 1 2 2
由a-c=a-c 得a+c=a+c，则 ， ，即
1 1 2 2 1 2 2 1
，
令 ， ，其中 分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有 ，
于是有 ，即 ， ，则 ，C错误，D正确.
故选：BD
32．ABD
【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项
【详解】如图
以线段 的中点为原点， 所在直线为x轴，以 的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设轨道所在的
第 31 页椭圆的标准方程为 ，则由已知 ，
所以 ，故离心率为 ，A正确；
以 的速度进入距离火星表面 的环火星圆形轨道，环绕周期为 ，所以环绕的圆形轨道周长为 ，半
径为 ，所以火星半径为 ，所以B正确，C错误；
因为近火星点与远火星点的距离为 ，D正确．
故选：ABD．
33．ABD
【分析】根据条件数形结合可知 ，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加 ，可得 ，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点
和远地点的方程，然后变形化简.
34．AD
【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的 和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因
为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.
【详解】设该椭圆的半长轴长为 ，半焦距长为 .
依题意可得月球半径约为 ，
，
，
， ， ，
椭圆的离心率约为 ，
可得结论A、D项正确，B项错误；
第 32 页因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
综上可知，正确的为AD，
故选：AD.
【点睛】本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.
35． ##
【分析】由题意可 ，得根据椭圆的和双曲线的定义可得 ，整理得到
，从而结合路程速度时间之间的关系可得 ，求得答案.
【详解】设 ，椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ，
而 与 的离心率之比为 ，即 ，即 ，
在图③ ，
两式相减得： ，
即 .
在图④中， ，
设图④，光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时t秒，
由题意可知： ，则 ，
故 （秒），
故答案为：
36．
【分析】过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点 ， ， ，由光学性质
和几何位置关系得到 ，求出 ，利用中位线的性质、椭圆的定义
求出 .
【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点 ， ， ，由光
学性质可知MN平分 ， ，
第 33 页则 ，
因为 ，
故 ，
所以 ，
.
故答案为： .
37．
【分析】先连结 ，可得 是边长为2的等边三角形，由此求出 的方程，联立直线方程求出
点横坐标，再由圆 与直线 相切于点 ，求出直线 的方程，联立直线与椭圆方程求出 点横坐标，最后
由 即可求出结果.
【详解】
连结 ，可得 是边长为2的等边三角形，所以 ，
可得直线 的斜率 ，直线 的斜率为 ，
因此，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 ，
由 解得 ，
因为圆 与直线 相切于点 ，所以 ，因此 ，
第 34 页故直线 的斜率 ，因此直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，消去
得 ，解得 或 ，
因为直线 交椭圆于 与 点，设 ，可得 ，
由此可得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结和椭圆的性质求解，属于常考题型.
38．
【分析】设两球的球心距离为 ，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得 ；利用三角形相
似可求得 ，进而得到 ；利用椭圆离心率 可构造方程求得结果.
【详解】作出圆锥的轴截面如图所示，
圆锥面与两球 相切于 两点，则 ， ，
过 作 ，垂足为 ，连接 ， ，设 与 交于点 ，
设两球的球心距离为 ，
在 中， ， ， ；
， ，
， ，解得： ， ，
第 35 页；
由已知条件 ， 知： ，即轴截面中 ，
又 ， ，解得： ，
即两球的球心距离为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题以圆锥为载体，考查了椭圆的定义和几何性质，解题关键是能够通过作出圆锥的轴截
面，利用轴截面中的线段垂直关系、长度关系，根据椭圆离心率构造出关于球心距离的方程.
39．5
【分析】先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出 ， 求得结果.
【详解】据题意，因为离心率
，
设
点 为 的内心，设半径为r，
得
化简得 ，
设
故答案为5.
【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.
三角形的内心：角平分线的交点；
三角形的外心：垂直平分线的交点；
三角形的重心：中线的交点.
40．
【解析】取焦点在 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有 为椭圆通径，得 ，结合 及
第 36 页解出 代入离心率公式计算即可.
【详解】解：取焦点在 轴建立平面直角坐标系，由 及椭圆性质可得， 为椭圆通径，
所以 ，
又 ，解得
所以截口 所在椭圆的离心率为
故答案为：
【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：
（1）求 的值，由 直接求 ；
（2）列出含有 的齐次方程(或不等式)，借助于 消去 ，然后转化成关于 的方程(或不等式)求解．
41．10
【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得 和 的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，
即可解得答案.
【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ，
而 与 的离心率之比为2：5，即 ，即 ，
在图①中， ，
两式相减得： ，
即 .即 的周长为 ，
在图②中， 的周长为 ,
由题意可知： ，
则 ，故 （秒），
故答案为： .
42．（1） ；（2） ， 或 ， ．
【分析】（1）利用已知条件求出椭圆长半轴为 ，将点 代入椭圆方程 中，解得 ，即可得到椭
圆 的方程．
（2）设点 ， ，则点 ， ，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程，结合三角形的
面积，求解下辅助点 的坐标．
第 37 页【详解】（1） 椭圆 上的点 的下辅助点为 ，
辅助圆的半径为 ，椭圆长半轴为 ，
将点 代入椭圆方程 中，解得 ，
椭圆 的方程为 ；
（2）设点 ， ，则点 ， ，
将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，
， ，故 ，即 ，
又 ，则 ，
将 与 ， 联立可解得 或 ，
下辅助点 的坐标为 ， 或 ， ；
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
43．（1） ；（2）
【分析】（1）根据题意得 ，解方程组即可得解；
（2）设 ， ，解得 ，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径
列不等式求解即可.
【详解】（1）由条件
椭圆C的方程为
（2）设地球由近木星点 第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为 万米时所在位置为 ，则
第 38 页设
.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.
44．(1)
(2)点 的坐标为 或
【分析】（1）首先椭圆 的标准方程为 ，根据题意得到 ， ，再计算 的值即可
得到答案.
（2）根据已知条件得到 ， ，设 ，得到 ，再解方程组即可.
（1）
设椭圆 的标准方程为 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
于是椭圆 的方程为 ．
（2）
易知 ， ．
因为 ， ，
所以 ， ．
设 ，则 ，解得
所以点 的坐标为 或 ．
45． .
【分析】根据椭圆的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】设卫星运行轨道的方程为： ，由题意可知：
第 39 页，
所以卫星运行轨道的方程为： .
46．1.5288×108km，1.4712×108km
【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论．
【详解】∵椭圆的长半轴长约为 1.5×108km，离心率e＝0.0192，
∴半焦距约为 2.88×106km，
∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝
1.4712×108km．
47．（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为 ； ；
（2）证明见解析；
（3）不存在；理由见解析；
【分析】（1）根据题干中的新定义“倒椭圆”即可求解．
（2）根据新定义得 ， ，求出 ；再与 联立，通过判别式即可证明．
（3）设l上任意一点 ，Q不是l与椭圆 的公共点，则 ；Q不是l与倒椭圆 的公共点， ；
从而Q不是l与 、 的公共点，则必有 ，与 或 ，即不存在．
【详解】（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为 ；
∵ ，∴ ．
（2）设 ，其中 ，且 ，则 ， ，
于是 ，代入 ，得 ，
，
由 可得 ，从而 ，∴直线AB与椭圆 只有一个公共点．
（3）设l上任意一点 ，
若Q是l与椭圆 的公共点，则 ，
也即Q不是l与椭圆 的公共点，则必有 ；
同理，若Q是l与倒椭圆 的公共点，则 ，
也即Q不是l与倒椭圆 的公共点，则必有 ；
从而Q不是l与 、 的公共点，则必有 ，
对于l上任意一点 ， 或 ，∴不存在符合题意的直线l．
第 40 页【点睛】本题属于知识创新题，是教材中椭圆的拓展与延伸，解决此题需理解题干的定义，理解题意，考查学生
的知识迁移能力、理解能力，属于拔高题．
第 41 页第 42 页
