文档内容
微专题：平面向量基本定理及其应用
【考点梳理】
1. 平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ ，λ ，
1 2 1 2
使 a ＝ λ e ＋ λe. 我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
1 1 2 2 1 2
2. 平面向量的正交分解
平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量. 选定基底后，通过向
量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.
4、平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λe＋λe，b＝λe＋λe(λ，λ，λ，λ∈R)，且e，e 不共线，若a＝b，则λ＝λ 且λ＝λ.
1 1 2 2 3 1 4 2 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件
是：存在实数t，使得OP＝(1－t)OA＋tOB. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点.
②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得OP＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝
1.
【题型归纳】
题型一：基底的概念及辨析
1．下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．如图，点O是正六边形 的中心，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．向量 与 能构成一组基底
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．已知 ， 是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
题型二：用基底表示向量
4．在 中，点 在边 上， ，记 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且 ．记 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量基本定理的应用
7．如图，在等腰 中，已知 ， ，E，F分别是边AB，AC上的点，且 ，
，其中 ， ，且 ，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则 的最小值是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
8．在 中，点D在边AB的延长线上， ， 则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则 等于
（ ）
A．1 B． C． D．
【双基达标】
10．如图，等腰梯形 中， ，点 为线段 上靠近 的三等分点，点 为线段 的
中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知 ， 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
① ， ；② ， ；
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③ ， ．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．在 中，若点 满足 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
13．若 是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量 (λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使 ＝ ，则λ＝μ＝0
C．若 不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若 不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
14．在 中，点 是 的三等分点， ，过点 的直线分别交直线 于点 ，且
，若 的最小值为 ，则正数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为 ，且
相邻的圆都相切， 、 、 、 是其中四个圆的圆心，则 （ ）．
A．
B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．
D．
16．在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）.
A． B． C． D．
17．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
18．如图所示的 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
19．如图，在△ 中，点M是 上的点且满足 ，N是 上的点且满足 ， 与 交于
P点，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
20．设 分别是 的三边 上的点，且 ，则 与
（ ）
A．反向平行 B．同向平行
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
21．在 中， ，点 在边 上，且 ，设 ，则当 取最大值时，
（ ）
A． B．
C． D．
22．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足 ， ．若 ，则实数 ＋ 的
值为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，用向量 ， ，表示向量 为（ ）
A． B． C． D．
24．在菱形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 （ ）
A．0 B． C．4 D．
25．已知等边△ 的边长为 ，点 ， 分别为 ， 的中点，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
26．已知 ､ ､ 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
27．已知点P是 所在平面内一点，若 ，则 与 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
28．过 的中线 的中点 作直线 分别交 ､ 于 ､ 两点，若 ，则
（ ）
A．4 B． C．3 D．1
29．在长方形ABCD中，E为CD的中点，设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
30．.如图，在 中， ， 是线段 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B．
C．2 D．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司31．在 中，内角所 对的边分别为 ，若 则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
32．如图，在梯形 中， 且 ，点 为线段 的靠近点 的一个四等分点，点 为线段
的中点， 与 交于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
33．在 中， ， ，点 是边 的中点，则 的值为（ ）
A． B．6 C． D．8
34．在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 ，则点集
所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知 是 内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若 ，则
的值可能为（ ）
A． B． C． D．
36．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形
的八角窗，若 是正八边形 的中心，且 ，则（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 与 能构成一组基底 B．
C． D．
37．下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底 中， ， 一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若 ，则 .
C．若单位向量 ､ 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量是 .
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
38．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且 ，F为AE的
中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
39．在 中，点 满足 ，当 点在线段 上移动时，若 ，则 的最
小值是________．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40．在 中，点 是 的三等分点， ，过点 的直线分别交直线 于点 ，且
， ，若 的最小值为 ，则正数 的值为___________
41．如图，在 中， 为 的中点， ，若 ，则 ______.
42．设向量 ，若用 表示 ，则 ________.
43．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若 ， ，则 的值为
________．
44．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 边上的中线长的取值范围是
______．
四、解答题
45．如图，平行四边形 中， ， 为线段 的中点， 为线段 上的点且 .
（1）若 ，求 的值；
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）延长 、 交于点 ， 在线段 上（包含端点），若 ，求 的取值范围.
46．如图，平面四边形 中， ，对角线 相交于 ．设 ，且
，
(1)用向量 表示向量 ；
(2)若 ，记 ，求 的解析式．
47．如图所示， 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一点，且 ， 的延长线
与 的交点为 .
(1)用向量 ， 表示 ；
(2)用向量 ， 表示 ，并求出 和 的值.
48．如图所示，△ 中， ， ， .线段 相交于点 .
(1)用向量 与 表示 及 ；
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若 ，试求实数 的值.
49．如图，在△ 中， 为中线 上一点，且 ，过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， .
(1)用向量 ， 表示 ；
(2)设向量 ， ，求 的值.
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.
【详解】
解：对于A，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于B，因为 ，所以 ，所以两向量不能作为一组基底；
对于C，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于D，因为两向量不共线，所以能作为一组基底.
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
由正六边形性质及向量加法的线性运算可判断每一个选项.
【详解】
对于A，由正六边形的性质可知 ，所以 ，故A正确；
对于B，由正六边形的性质可知 ，从而可知 与 不可能共线，故B不正确；
对于C， ，故C不正确；
对于D，由正六边形的性质可知 与 平行，故向量 与 不能构成一组基底，故D不正确.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据共线定理判断两个向量是否共线即可.
【详解】
A选项：令 ，因为 ， 不共线，所以 ，无实数解，所以 与 不共线，故可以作为平面
向量基底；
B选项：令 ，因为 ， 不共线，所以 ，无实数解，所以 与 不共线，故可以作为平
面向量基底；
C选项：令 ，因为 ， 不共线，所以 ，无实数解，所以 与 不共线，故可以
作为平面向量基底；
D选项：易知 ，即 与 共线，不能作为平面向量基底.
故选：D
4．D
第 13 页【解析】
【分析】
由平面向量基本定理可知 可以用 和 表示出来，
从而得到 ，即可得到
【详解】
由题意可知：
所以
即
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
由向量加法法则，把 分别表示为 ， ，然后由已知条件得 ，
，两者结合可得结论．
【详解】
由 ， 得 ， ，
又 ， ，
，
所以 ．
故选：B．
6．D
【解析】
【分析】
由题， ， ，结合向量加法法则即可求得
【详解】
，
第 14 页故选：D
7．B
【解析】
【分析】
根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得 ，又 ，
，可得 关于 的函数关系式，由二次函数的性质即可求 的最小值.
【详解】
在等腰 中，已知 则 ，因为 分别是边 的点，
所以 ，而 ，左右两
边平方得
，
又因为 ，
所以 ，
所以当 时， 的最小值为 ，
即 的最小值为 .
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】
因为点D在边AB的延长线上， ，所以 ，即 ,
所以 .
又 ，由平面向量基本定理可得：
， .
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.
第 15 页【详解】
由题意知 ，
因为 ，所以 ， ， .
故选：B.
10．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】
由题可得：
．
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
根据平面向量共线定理得到，对于① ，故两向量共线；对于② ，故两向量共线；对于③不存在实数
满足 ，故不共线.
【详解】
对于① ， ， ，故两向量共线；
对于② ， ， ，故两向量共线；
对于③ ， ，
假设存在
，因为 ， 是不共线向量，
故得到 无解.
故选：A.
12．A
【解析】
利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
第 16 页【详解】
.
故选：A
13．D
【解析】
【分析】
根据空间向量共面定理判断．
【详解】
当 与 共线时，A项不正确；当 与 是相反向量，λ＝μ≠0时， ＝ ，故B项不正确；
若 与 不共线，则与 、 共面的任意向量可以用 ， 表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
14．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算法则求得 ，可得 ，则 ，展开后利
用基本不等式可得 的最小值为 ，结合 的最小值为 列方程求解即可.
【详解】
因为点 是 的三等分点， 则
，
又由点 三点共线，则 ，
第 17 页，
当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，则有 ,
解可得 或 (舍），故 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要
正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积
是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等
时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
15．B
【解析】
【分析】
如图所示，取 、 为一组基底的基向量，其中 且 、 的夹角为60°，将 和 化为基向量，利
用平面向量的数量积的运算律可得结果.
【详解】
如图所示，建立以 、 为一组基底的基向量，
其中 且 、 的夹角为60°，
∴ ， ，
∴ .
故选：B．
16．D
【解析】
【分析】
根据向量共线转化为 ，利用三点共线求实数 的取值.
【详解】
，又因为 ，
第 18 页所以 ，即 ，
所以 ，
因为点 三点共线，所以 ，
解得： .
故选：D
【点睛】
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
17．D
【解析】
【分析】
选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】
记 ，
因为 ，
所以 .
故选：D
18．B
【解析】
【分析】
根据向量的加法减法运算即可求解.
【详解】
依题意， ，
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
根据三点共线有 ，使 、 ，由平面向量基本定理列方程组求参数，
即可确定答案.
第 19 页【详解】
， ，
由 ，P，M共线，存在 ，使 ①，
由N，P，B共线，存在 ，使得 ②，
由①② ，故 .
故选：B.
20．A
【解析】
【分析】
首先根据平面向量基本定理表示 ， ， ，然后三式相
加得到答案.
【详解】
同理： ， ，
所以
,
所以 与 反向平行.
故选：A
【点睛】
本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.
21．B
【解析】
【分析】
根据 ，利用两角和与差的正弦公式化简得到 ，进而求得A，根据点 在边
上，且 ，得到 ，再由余弦定理结合 两边平方，得到
，令 ，得到 ，用导数法求得最大值时a，b，c
的关系，再利用正弦定理求解.
第 20 页【详解】
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
因为点 在边 上，且 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
令 ，得 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，此时 ，
所以 ，解得 ，
第 21 页在 中，由正弦定理得 ，解得 ，
即 .
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到 ，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向
量表示AD而得解.
22．B
【解析】
设 ，由 ， ，得到 ，结合平面向量的基本定理，化简
得到 ，即可求解.
【详解】
由题意，设 ，则在平行四边形ABCD中，
因为 ， ，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，所以 。
故选：B.
【点睛】
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
第 22 页23．C
【解析】
【分析】
根据图示即可求出．
【详解】
如图所示： ，
．
故选：C．
24．B
【解析】
【分析】
以 为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设 ,则 .
，
故选：B.
25．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量 用向量 和 表示，结合 可求得 的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：
第 23 页,
解得 .
故选： .
26．C
【解析】
【分析】
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有 ，则 ， ， 共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 ， ， 共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为 ，所以 ， ， 共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设 （ 为不同时为0的实数），解得 与题意不符，所以 ， ，
不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
27．D
【解析】
【分析】
过 作 ，根据平面向量基本定理求得 ，即可求得 与 的面积之比.
【详解】
点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
第 24 页由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
28．A
【解析】
【分析】
由 为 的中点得到 ，设 ，结合 ，得到 ，
再由 ，得到 ，然后利用 与 不共线求得m，n即可.
【详解】
解：由 为 的中点可知， ，
，
设 ，
则 ，
，
，
，
，
与 不共线，
，解得 ，
故选： .
29．C
第 25 页【解析】
【分析】
根据给定条件，利用向量加法法则及共线向量，列式求解作答.
【详解】
在长方形ABCD中，E为CD的中点，则 ，而 ， ，
所以 .
故选：C
30．A
【解析】
【分析】
设 ，由向量的运算法则得到 ，又由 ，列出方程组，即可求解.
【详解】
设 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
31．B
【解析】
【分析】
利用向量的减法及平面向量基本定理即得.
【详解】
因为 ，
所以
所以 ，
所以
故 为等边三角形.
故选：B.
32．C
【解析】
【分析】
第 26 页由向量的线性运算法则化简得到 和 ，结合 三点共线和
三点共线，得出 和 ，联立方程组，即可求解.
【详解】
根据向量的线性运算法则，可得
，
因为 三点共线，可得 ，即 ；
又由 ，
因为 三点共线，可得 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ，所以 .
故选：C.
33．A
【解析】
【分析】
将 作为基底表示出 ，然后求其数量积即可
【详解】
解：因为在 中，点 是边 的中点，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以
故选：A
34．D
【解析】
【分析】
由两定点 满足 ，说明 三点构成边长为2的等边三角形，设出两定点的坐标，再
设出点 的坐标，由平面向量基本定理，把点 的坐标用 的坐标及 表示，把不等式 去绝对值后
可得线性约束条件，画出可行域可求出点 所表示区域的面积
【详解】
由两定点 满足 ，而 ，则 ，
所以 ，则 三点构成边长为2的等边三角形，不妨设 ，设 ，
第 27 页由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得
，或 ，或 ，或 ，
可行域如图中矩形 及其内部区域，则区域面积为 ，
故选：D
35．ABC
【解析】
【分析】
根据 可知O为 的重心；根据点M在 内，判断出当M与O重合时， 最小；当
M与C重合时， 的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】
因为 是 内一点，且
所以O为 的重心
在 内（不含边界），且当M与O重合时， 最小，此时
所以 ，即
当M与C重合时， 最大，此时
第 28 页所以 ，即
因为 在 内且不含边界
所以取开区间，即 ，
结合选项可知ABC符合，D不符合
故选：ABC
36．BD
【解析】
【分析】
连接BG，CF，由正八边形的性质可知， ， ，可判断选项A；从而可得 ，
可判断选项B；连结 交 于点 ，可判断选项C；先判断出 ，结合向量的加法和数量积的运算性质
可判断选项D .
【详解】
连接BG，CF，由正八边形的性质可知， ， ，
所以 ，所以AH与CF是共线向量，所以 与 不能构成一组基底，A项错误；
又 ，所以 ．所以 ，B项正确；
由上过程可知 ，连结 交 于点 ,
在直角三角形 中， 为 的中点，则 ,
又 ，所以 ，C项错误；
又正八边形的每一个内角为： ，
延长 ,相交于点 ，则 所以 ，故 ，
所以 ，D项正确．
故选:BD.
37．ABC
【解析】
第 29 页【分析】
由平面向量基本定理，依次判定即可
【详解】
选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此 ， 一定都是非零向量，故A正确；
选项B： ，由在同一基底下向量分解的唯一性，有 ，故B正确；
选项C： 在 方向上的投影向量为： ，故C正确；
选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误
故选：ABC
38．ABC
【解析】
利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．
【详解】
解：∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ，B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．
39． ##0.9
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用 表示出 ，再设 ， ；用 分别表示出求出 与 ，再将其代
入 ，可得 ，然后利用二次函数的性质即可求 的最小值．
【详解】
如图所示，
第 30 页中， ，
∴ ，
又点 点在线段 上移动，设 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取到最小值，最小值为 .
故答案为： ．
40．
【解析】
【分析】
由平面向量线性运算可得 ，结合已知条件以及 三点可得 ，根据 的代换由基
本不等式即可求最小值，列方程即可求解.
【详解】
因为点 是 的三等分点， 则
，
第 31 页又由点 三点共线，所以 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，则有 ，
即 ，所以 ，因为 ，
所以 ，
故答案为： .
41．
【解析】
【分析】
先用 表示 ，再用 表示 ，即可得到答案.
【详解】
，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查向量的分解、线性运算.
42．
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】
设 ，则有 ，
第 32 页得 ，所以 ，
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理分别把向量 ， 用基底{ ， }表示出，结合 得到含有系数
， 的 的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的 的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解
唯一性，即可求出 ， 的关系，进而求得结论．
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
且 ， 不共线，所以 ，
两式相加得 ，
显然 ,所以 ，
故答案为： ．
44．
【解析】
【分析】
设 是 中点，用向量表示 ，平方转化为数量积求中线长，然后由 求出 取值范围，
即可得结论．
【详解】
第 33 页设 是 中点，则 ，
，
又 ，所以 ，当且仅当 时等号成立．
所以 ， ．
故答案为： ．
45．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ， ，进而可得结果.
（2）设 ，则 ，则 ， ，由 ，即可得出结
果.
【详解】
（1）∵ ∴
∴
由已知
∴ ，∴ ， ∴
（2）∵ ，N为 的中点，
易证 与 全等，则 ，
设 ，则
∵
第 34 页∵ ∴
∴
46．(1) ；
(2) ， .
【解析】
【分析】
（1）根据平面各对应边的关系，结合向量加减、数乘的几何意义可得 ，整理即可得到
表示 的线性表达式.
（2）由向量数量积的定义可得 ，结合（1）的结论，应用向量数量积的运算律可得
，整理即可得 关于t的函数.
(1)
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ .
(2)
∵ ， ，
∴ ，
又 且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ， .
47．(1)
(2) ，7，6
【解析】
【分析】
第 35 页（1）由已知得 ， ， 为 的中点，可得答案；
（2）设 ，得 ，设 ，可得 ，即 ，由 ， 不共
线和平面向量基本定理求得 、 ，可得答案.
(1)
根据题意因为： ，所以 ，
所以 ，
为 的中点， ， ，所以 ， .
(2)
因为 ， ， 三点共线，设 ，所以 ，
即 ，
， ， 三点共线，设 ，
由（1）可知 ，即 ，
， 不共线，由平面向量基本定理，所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
则 的值为7， 的值为6.
48．(1) ， ；
(2) ， .
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将 、 用 表示即可.
（2）由题图知 ， ，结合已知条件求得 ，根据平面向量的基本定理可得
的值.
(1)
由题设， ， .
(2)
第 36 页设 ，
所以 ， 且 ，
所以 ，则 ，可得 ，
所以 ，故 ， .
49．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据 ，结合向量的线性运算，再用 ， 表达 即可；
（2）用 ， 表达 ，结合 三点共线即可求得 .
(1)
∵ 为中线 上一点，且 ，
∴
；
(2)
∵ ， ， ，
∴ ，又 ， ， 三点共线，
∴ ，解得 ，故 的值为 .
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