文档内容
（挑战压轴）专题 1.5 勾股定理与分类讨论
【典例分析】
【类型一 等腰三角形的腰和底不明确时需分类讨论】
【例1】（2021春•南昌期末）如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝
6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接
PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ．
【变式1】（2020秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝
3cm，动点P从点B出发沿射线 BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为 t秒，当
△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
【变式2】（2021秋•永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的长；
（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的
时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【类型二 直角三角形的直角边和斜边不明确时需分类讨论】
【例2】（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边
上的高为 ．
【变式1】（2021秋•槐荫区期中）若Rt△ABC的两边a，b满足 +（b﹣4）2＝0，则
它的第三边c为（ ）
A．5 B． C． D．5或
【变式2】（2020春•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以
AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是 ．
【变式3】（2021秋•兰考县期末）已知：如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝
5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为
ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【例3】（2021秋•宽城区期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、
MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段
AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2 ，则
点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
【变式1】（2021秋•郑州期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，
MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段
AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则
点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求
BN的长．【课后巩固】
1．（2021秋•象山县期中）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC
边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 ．
2．（2021秋•平顶山期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D
为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D
运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出
t的值．
3．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．4．（2021春•饶平县校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，
若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割
点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则
点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求
BN的长．
5．（2020秋•梁园区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N
分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M的速度为1cm/s，点N的速度
为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．（挑战压轴）专题 1.5 勾股定理与分类讨论
【典例分析】
【类型一 等腰三角形的腰和底不明确时需分类讨论】
【例1】（2021春•南昌期末）如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝
6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接
PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ．
【答案】 16 或 10 或
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝ ，∴t＝ ．
综上所述：t的值为16或10或 ．
故答案为：16或10或 ．
【变式1】（2020秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝
3cm，动点P从点B出发沿射线 BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为 t秒，当
△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
【答案】 5 或 t ＝ 8 或 t ＝
【 解 答 】 解 ： 在 Rt△ ABC 中 ， BC2 ＝ AB2﹣ AC2 ＝ 52﹣ 32 ＝ 16 ，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝ ，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ ．故答案为：5或t＝8或t＝ ．
【变式2】（2021秋•永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的长；
（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的
时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【答案】 （1）13 （2）t＝5s或20s或 s或 s时，△BCP为等腰三角形
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝13，
∴AB的长为13；
（2）当点P在AC上时，CP＝CB＝5，t＝5（s）；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PM＝ BP，
∵ AC•BC＝ AB•CM，
∴CM＝ ＝ ＝ ，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝ ＝ ＝ ，∴BP＝2BM＝ ，
∴AP＝13﹣ ＝ ，
∴t＝12+ ＝ （s）；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PB＝ AB＝ ，
∴t＝12+ ＝ （s）；
综上所述，当t＝5s或20s或 s或 s时，△BCP为等腰三角形
【类型二 直角三角形的直角边和斜边不明确时需分类讨论】
【例2】（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边
上的高为 ．
【答案】 或
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，
当4是直角边时，斜边长＝ ＝5，
则 ×3×4＝ ×5×h，
解得：h＝ ，
当4是斜边时，另一条直角边长＝ ＝ ，
则 ×3× ＝ ×4×h，解得：h＝ ，
综上所述：直角三角形斜边上的高为 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式1】（2021秋•槐荫区期中）若Rt△ABC的两边a，b满足 +（b﹣4）2＝0，则
它的第三边c为（ ）
A．5 B． C． D．5或
【答案】 D
【解答】解：∵Rt△ABC的两边a，b满足 +（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0且b﹣4＝0．
∴a＝3，b＝4．
当b为直角边时，由勾股定理知：c＝ ＝ ＝5，即c＝5；
当b为斜边时，由勾股定理知：c＝ ＝ ＝ ，即c＝ ；
综上所述，c为5或 ．
故选：D．
【变式2】（2020春•南昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以
AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长可以是 ．
【答案】 2 或 2 或 3
【解答】解：（1）如图1所示，当∠ABD＝
90°，AB＝BD时，作DE⊥BC，与CB的延长 线
交于点E，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△BED和△ACB中，
，
∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，
∴CE＝2+4＝6，
∴CD＝ ；
（2）如图2所示，当∠BAD＝90°，AB＝AD时，过点D作DE⊥CA，与CA的延长线交
于点E，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠ABC＝∠DAE，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，
∴CD＝ ；
（3）如图3所示，连接CD．当AD＝BD时，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CB，与CB
的延长线交于F，
∵∠C＝∠DFC＝∠DEC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF，DE＝DF，
∵DE⊥AC，DF⊥CF，
∴∠DCE＝∠DCF＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．
∴CE＝3，
∴CD＝3 ．
综上所述，CD的长是2 或3 或2 ；
故答案为：2 或3 或2 ．
【变式3】（2021秋•兰考县期末）已知：如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝
5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为
ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【答案】 （1） 4cm （2）4s或 s
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4
（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝ ；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或 s．
【例3】（2021秋•宽城区期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、
MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段
AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2 ，则
点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求
BN的长．
【答案】 （1） M、N是线段AB的勾股分割点 （2） 或 ．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2 ）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝ ；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝ ．
综上所述BN的长为 或 ．
【变式1】（2021秋•郑州期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，
MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段
AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则
点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求
BN的长．
【答案】 （1） 是 （2）① 4.2；． ② BN＝4.2或5.8
【解答】解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10﹣x）2＝x2+16，
解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝16+（10﹣x）2，
解得x＝5.8．
综上所述，BN＝4.2或5.8．【课后巩固】
1．（2021秋•象山县期中）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC
边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 ．
【答案】 2 或
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC＝ ＝4．
若PB＝PC，连接PB，
设PA＝x，则PB＝PC＝4﹣x，
在Rt△PAB中，
∵PB2＝AP2+AB2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，∴x＝ ，即PA＝ ；
若PA＝PC，则PA＝2；
若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
综上所述，PA的长为：2或 ．
故答案是：2或 ．
2．（2021秋•平顶山期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D
为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D
运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出
t的值．
【答案】 （1）21 （2）t的值是4.5或12.5
【解答】解：（1）由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝25，
当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，
所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）△CBD能为直角三角形，
理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，∵S△ABC ＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝12，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝9，
所以t＝ ＝4.5，
②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，
t＝ ＝12.5，
∴t的值是4.5或12.5
3．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】 （1） t＝8或 （2）16或10或
【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时， （cm），①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，
BP＝BC＝8，
∴t＝8，
②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，
解得：t＝ ，
综上所述，t＝8或 ；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ＝8（cm），
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝ ，
∴t＝ ．
综上所述：t的值为16或10或 ．
4．（2021春•饶平县校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，
若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则
点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求
BN的长．
【答案】 （1）是 （2）BN＝8或10
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．
5．（2020秋•梁园区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N
分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M的速度为1cm/s，点N的速度
为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．【答案】（1）6秒 （2）①2秒 ② 或 s （3）8秒
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝ ；
如图3，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝ ．
综上所述，当t为 或 s时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以 MN为
底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
