文档内容
微专题：复数的运算
【考点梳理】
1、复数的四则运算
(1)运算法则：设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①z±z＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i .
1 2
②zz＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .
1 2
③＝ ＋ i(z≠0).
2
(2)复数加、减法的几何意义
加 复数z ＋z 是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所表
1 2
法 示的向量OZ所对应的复数
减 复数z －z 是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所
1 2
法 对应的复数
(3)复数加法的运算律：对任意z，z，z∈C，有
1 2 3
交换律 z＋z＝z ＋ z
1 2 2 1
结合律 (z＋z)＋z＝z ＋ ( z ＋ z)
1 2 3 1 2 3
(4)复数乘法的运算律：对于任意z，z，z∈C，有
1 2 3
交换律 zz＝zz
1 2 2 1
结合律 (zz)z＝z ( z z)
1 2 3 1 2 3
分配律 z(z＋z)＝zz ＋ zz
1 2 3 1 2 1 3
2. (1±i)2＝±2i；＝i，＝－i.
3. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，其中n∈N.
4. zz＝|z|2＝|z|2，|zz|＝|z||z|，＝，|zn|＝|z|n.
1 2 1 2
【题型归纳】
题型一：复数的加减运算
1．复数z满足 ，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型二：复数的乘法运算
4．若复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C．7 D．5
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数 ，其中 是虚数单位，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
题型三：复数的除法运算
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知复数 （其中i为虚数单位），则 （ ）
A．0 B．1 C． D．3
9．已知复数 （i是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．若复数 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
12．若复数 ，则 （ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
13．在复平面内，复数 （ 为虚数单位），则 对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．若复数 满足 ，则（ ）
A．
B． 是纯虚数
C．复数 在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数 在复平面内对应的点在角 的终边上，则
15．已知 是虚数单位，复数 的共轭复数为 ，下列说法正确的是（ ）
A．如果 ，则 ， 互为共轭复数
B．如果复数 ， 满足 ，则
C．如果 ，则
D．
16．已知复数 （ 为虚数单位），设 是 的共轭复数，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
17．已知复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，若 是纯虚数，则 （ ）
A．2 B． C． D．－2
18．复数 的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A． 且 B． 且
C． D．
19．已知复数z满足z 4且z |z| 0，则z2019的值为
A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．已知z= ，(i是虚数单位)的共轭复数为 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
21．已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数 +i是实数，则|z|的最小值为（ ）
A．0 B． C．5 D．
22．若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
23．计算 的值是 （ ）
A． B． C． D．
24．已知 为虚数单位，则 （ ）.
A． B．
C． D．
25．在复平面内，点 分别对应复数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．i
【高分突破】
一、单选题
26．复数 （其中 为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
27．若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
28．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
30．已知 是虚数单位，则复数 对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
31．设z=i(2+i)，则 =
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
32．若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
33．若复数z满足 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
34．已知复数 ，i为虚数单位，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知复数 ， 是 的共轭复数，则（ ）
A． B．
C．复数 在复平面内所对应的点在第一象限D．
36．下面是关于复数 的四个命题，其中的真命题为（ ）
A． B．
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
37．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 互为共轭复数，则 为实数
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．若 为虚数单位， 为正整数，则
C．复数 （ 为虚数单位， 为实数）为纯虚数，则
D．若 为实数， 为虚数单位，则“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的
充要条件
38．设 ， ， 为复数， .下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
39．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
40．若复数 ， 的共轭复数 对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为
___________.
41．若复数z满足： ，则 ______.
42．下列说法正确的序号为______．
①若复数 ，则 ；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数 ， ，若 ，则 ， 均为实数；
④复数 的虚部是1．
43．复平面上点 对应着复数 以及向量 ，对于复数 ，下列命题都成立；①
；② ；③ ；④ ；⑤若非零复数 ，满足 ，则
.则对于非零向量 仍然成立的命题的所有序号是___________.
44．已知复数 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第_____象限.
四、解答题
45．已知复数 ，其中 ，i为虚数单位．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求 的虚部．
46．已知 满足等式 ．
（1）计算 ； ； ；
（2）求证：对任意复数 ，有恒等式 ；
（3）计算： ， ．
47．已知复数 ， 满足 ， ，求 ， 值．
48．复数 满足 ，且 ．求 ．
49．已知复数 ，i为虚数单位.
（1）求 和 ；
（2）若复数z是关于x的方程 的一个根，求实数m，n的值.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由复数的加减运算化简复数，即可得出答案.
【详解】
，故虚部为 .
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的加法运算直接计算作答.
【详解】
.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
先求出复数，化成标准形式，再根据复数的几何意义来判断.
【详解】
依题意得， ，对应复平面的点是 ，在第四象限.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【详解】
解： ，
又 复数 为纯虚数，
，解得 ．
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算算出 ，然后可得答案.
【详解】
由题意得 ，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A
第 8 页6．A
【解析】
【分析】
结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
7．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算算出答案即可.
【详解】
.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
先计算 ，再计算 ， ，最后求 即可
【详解】
易知 ，
则 ， ，
所以 ，
故选：D
9．A
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算和除法运算化简复数，再由共轭复数即可得出答案.
【详解】
复数 ，
则 .
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
第 9 页设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出
复数 .
【详解】
设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
11．B
【解析】
【分析】
由复数的乘法及除法运算可得 ，然后求其模即可.
【详解】
解：由 ，
则 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题.
12．C
【解析】
先求出 ，再求出 得解.
【详解】
由题得 ，
所以 .
故选：C
13．D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以复数 所对应的点的坐标为 .
第 10 页故选:D.
14．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法求复数 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
【详解】
由题设， 且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；
由 在复平面内对应的点为 ，所以 ，D正确.
故选：D
15．D
【解析】
【分析】
对于A，举反例 ， 可判断；对于B，设 ， 代入验证可判断；对于C，举反例
可判断；对于D，设 ， ，代入可验证.
【详解】
对于A，设 ， ， ，但 ， 不互为共轭复数，故 错误；
对于B，设 （ ， ）， （ ， ）．
由 ，得 ，
则 ，而 不一定等于 ，故
错误；
对于C，当 时，有 ，故 错误；
对于D，设 ， ，则
， 正确
故选：
16．B
【解析】
【分析】
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由 ，得 ，
所以 的虚部是 ，
故选：B
17．A
【解析】
第 11 页【分析】
根据复数的几何意义，可得 ，根据复数的运算法则，即可得答案.
【详解】
由题意得： ，
所以 ，
又 是纯虚数，所以 ，
解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
18．D
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为 为实数，
所以 ，
反之，当 时，复数 的平方是一个实数，
所以复数 的平方是一个实数的充要条件是 ，
故选：D
19．D
【解析】
首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z 4和z |z| 0得出方程组，求解可得：
z ，通过计算可得： ，代入即可得解.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R），
由z 4且z |z|=0，得
，解得a=﹣1，b .
∴z ，
而 1，
.
第 12 页∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.
20．D
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算化简复数z，再得到共轭复数 和其对应的点的坐标，判断所在的象限即可.
【详解】
因为z= =2+i，
所以z的共轭复数为 =2﹣i，则 在复平面上对应的点为(2，﹣1)，位于第四象限.
故选：D.
21．D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.
【详解】
解：∵复数 是实数
故
当且仅当 时取等号
的最小值为
故选：D
22．D
【解析】
【分析】
根据共轭复数的定义及复数的除法运算求 ，进而求模即可.
【详解】
由题意， ，
∴ ．
故选：D.
23．A
第 13 页【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则可得结果.
【详解】
＝ ＝ ＝ .
故选：A
24．C
【解析】
【分析】
利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
，
故选：C.
25．D
【解析】
【分析】
根据复数几何意义，求得 ，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.
【详解】
由点 和 分别对应复数 ，
可得 ， ，
所以 .
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法则，求出复数 ，然后由虚部的定义即可求解.
【详解】
解：因为复数 ，
所以复数 的虚部为 ，
故选：A.
27．D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】
第 14 页因为 ，所以 .
故选：D
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
28．B
【解析】
【分析】
首先求 ，再求 ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.
【详解】
，复数对应的点是 ，位于第三象限，且 ，所以
.
故选：B
29．C
【解析】
【分析】
利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
，
所以|z|= .
故选：C.
30．D
【解析】
【分析】
先化简 ，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点 在第四象限，
故选：D
【点睛】
结论点睛：复数 对应的点为 ，点 在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
第 15 页31．D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据共轭复数的概念，写出 ．
【详解】
，
所以 ，选D．
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，
是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
32．D
【解析】
【分析】
先利用复数的模长和除法运算化简得到 ，再根据虚部的定义，即得解
【详解】
由 ，
得 ，
∴ 的虚部为 .
故选：D
33．D
【解析】
【分析】
由复数除法运算求得 ，再根据复数的几何意义得其对应点坐标，从而得结论．
【详解】
由题意 ，对应点坐标为 ，在第四象限．
故选：D．
34．D
【解析】
分别求解模以及其共轭复数，相加即可.
【详解】
因为 ，
所以
第 16 页.
故选：D.
【点睛】
考查复数模长的求解、共轭复数的求解.
35．ACD
【解析】
【分析】
求出 ， ，再求出 、 ，即得解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，所以复数 在复平面内所对应的点在第一象限.
，则选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：ACD
36．BD
【解析】
【分析】
化简复数 ，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，复数 ，则 ，
其中复数 的虚部为 .
故选：BD.
37．ACD
【解析】
【分析】
根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项， 互为共轭复数，则 ，即 为实数，A选项正确.
B选项， ，B选项错误.
C选项， 为纯虚数，所以 ，C正确.
D选项， 在第四象限，所以 ，所以D选项正确.
第 17 页故选：ACD
38．BC
【解析】
【分析】
对于A：取特殊值 判断A不成立；
对于B、C、D：直接利用复数的四则运算计算可得.
【详解】
对于A：取 ，满足 ，但是 不成立，故A错误；
对于B：当 时,有 ，又 ，所以 ,故B正确;
对于C：当 时,则 ,所以 ,故C正确;
对于D：当 时,则 ,可得 .
因为 ，所以 .故D错误
故选：BC
39．
【解析】
【分析】
将 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到 ，再由复数相等的充要条件得到
方程组，解得即可；
【详解】
解：将 代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即 ，即
，由复数相等的充要条件，得 解得
故 .
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
根据条件先分析 的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于 的不等式组，由此求解出结果.
【详解】
因为 对应的点在第一象限，所以 的对应点在第四象限，
所以 ，解得 ，即 ，
第 18 页故答案为： .
41．
【解析】
【分析】
设 ，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得 求a、b，写出复数 .
【详解】
设 ，原式化为 ，则 解得
∴ .
故答案为：
42．①②③
【解析】
【分析】
根据复数的概念及复数的除法即可求解.
【详解】
对于①，因为 ，
所以 ，故①正确；
对于②，复数集 实数集 虚数集，故②正确；
对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由 ，得
， 均为实数，故③正确；
对于④，复数 的虚部是 ，故④不正确.
故答案为：①②③.
43．①②③
【解析】
【分析】
①根据平面向量加法交换律判定；
②结合平面向量加法运算法则判定；
③由 判定；
④结合平面向量数量积判定；
⑤结合平面向量数量积判定.
【详解】
第 19 页解：① 成立，故①正确；
②由平面向量加法运算法则可得 ，故②正确；
③ 成立，故③正确；
④ ，故④不成立，
⑤若非零向量 ，满足 ，
则 ，则 ，
所以 不一定成立，故⑤不成立.
故答案为：①②③
44．一
【解析】
化简得到 ，得到复数对应象限.
【详解】
，复数 在复平面内对应的点的坐标为（2,1），
故复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
【点睛】
本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
45．(1)
(2)8
【解析】
【分析】
（1）由题意得 ，求解即可；
（2）先由题意求得 ，再根据复数的除法法则化简复数 ，由此可求得答案.
(1)
解：若z为实数，则 ，解得 ．
(2)
解：由题意得 解得 ，
∴ ，故 ，
∴ 的虚部为8．
第 20 页46．（1） ；0；4；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据 ，利用复数的乘方逐个求解；
（2）利用多项式公式展开，再根据 求解判断；
（3）根据 ，分当 ， ， 求解.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ；
；
；
（2） ，
，
，
，成立；
（3）当 时， ；
当 时， ，
当 时， ，
综上：
47． ， ；或 ， ．
【解析】
先设 ，再根据 求 ，最后根据 列方程组，解得结果.
【详解】
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
第 21 页∵ ，
∴ ．
解得： ， 或 ， ．
∴ ， ；或 ， ．
【点睛】
本题考查复数的模、复数加法，考查基本分析求解能力，属基础题.
48． 或
【解析】
由题意可知设复数 ,计算出 , , ,代入 中可得 可求得复数 .
【详解】
由题意可知： ,则 , , ,
∴ ,
∴ ,即 ，
若 ，则 ，由 得 ，所以 ，
若 ，则 ，得 ，
∴ 或 .
【点睛】
本题考查复数的计算，关键在于设出复数 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.
49．（1） ， ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）利用复数的运算法则求出 ，由此能求出 和 ．
（2）由复数 是关于 的方程 的一个根，得到 ，整理得 ，
由此能求出实数 ， ．
【详解】
解：（1） 复数
，
第 22 页， ．
（2） 复数 是关于 的方程 的一个根，
，
， ，
，
解得 ， ．
【点睛】
本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础
题．
第 23 页第 24 页
