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（挑战压轴）专题 1.6 运用勾股定理证明线段间的平方关系
【方法点拨】
线段之间的平方和或平方差的关系，通常是将它们转换同一个直角三角形
中求解，或转换到具有公共边的直角三角形中求解。
【典例分析】
【类型一 直接运用勾股定理探究线段间的平方关系】
【例1】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
【变式 1】（2019 秋•宿州期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是中线，
MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．【变式2】（2020春•塔河县校级期末）如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求
证：BP2＝AP2+BC2．
【变式3】（2020春•海阳市期中）如图：△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：
AB2+3BC2＝4BD2．
【类型二 构造直角三角形探究线段间的平方关系】
【例2】如图，P长方形ABCD内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PB²+PD²的值。【变式】（2020秋•下城区校级期中）（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2；
②已知AB＝8，AC＝6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PD的值．
【类型三 构造全等三角形探究线段间的平方关系】
【例3】（2019春•江岸区校级期中）等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB．如图，
若△ECD也是等腰Rt△且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：
AE2+AD2＝2AC2；【变式1】（2019春•海珠区校级月考）（1）如图1，△ACB与△ECD都是等腰直角三角
形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
①已知AC＝2，求AB的长度；
②求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为线段BC上一点，连接AD．求证：
BD2+CD2＝2AD2．
【变式2】（2020•张家港市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中
点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：
BD2＝AD2+CD2．【课后巩固】
1．（2019春•双鸭山期末）已知，如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，
AD2+CD2＝2AB2，求证：AB＝BC．
2．（2019春•武昌区期中）如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE
＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，若AE＝2，AC＝2 ，点F是AD的中点，求CF的长．3．（2021秋•金牛区校级月考）如图，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，D是斜边BC
上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）若AB＝AC时，
①求证：AF＝BE；
②当BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
4．（2019秋•长兴县期中）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．
①求证：BE＝AF；
②若S△BDE ＝ S△ABC ＝2，求S△CDF ；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF．
①BE＝AF还成立吗？请利用图②说明理由；
②若S△BDE ＝ S△ABC ＝8，直接写出DF的长．（挑战压轴）专题 1.6 运用勾股定理证明线段间的平方关系
【方法点拨】
线段之间的平方和或平方差的关系，通常是将它们转换同一个直角三角形
中求解，或转换到具有公共边的直角三角形中求解。
【典例分析】
【类型一 直接运用勾股定理探究线段间的平方关系】
【例1】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
【答案】略
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
∴在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
【变式 1】（2019 秋•宿州期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是中线，
MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．【答案】略
【解答】证明：∵MN⊥AB于N，
∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2
∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2，
又∵∠C＝90°，
∴AM2＝AC2+CM2
∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2，
又∵BM＝CM，
∴BN2﹣AN2＝﹣AC2，
即AN2﹣BN2＝AC2．
【变式2】（2020春•塔河县校级期末）如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求
证：BP2＝AP2+BC2．
【答案】略
【解答】证明：连接BM，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，则AB2﹣AC2＝BC2．
又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2，
∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（AM2﹣MP2）．
又∵AM＝CM，
∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2），①
∵△APM是直角三角形，∴AM2＝AP2+MP2，则AM2﹣MP2＝AP2，②∵△BPM与△BCM都是直角三角形，
∴BM2＝BP2+MP2＝MC2+BC2，
MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③
把②③代入①，得
AB2﹣AC2+AP2＝BP2，即BP2＝AP2+BC2．
【变式3】（2020春•海阳市期中）如图：△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：
AB2+3BC2＝4BD2．
【答案】略
【解答】证明：∵D是AC中点，
∴AC＝2CD，
在Rt△BCD中，CD＝ ，
∴AC＝2 ，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
即AB2＝4BD2﹣4BC2+BC2，
∴AB2+3BC2＝4BD2．
【类型二 构造直角三角形探究线段间的平方关系】
【例2】如图，P长方形ABCD内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PB²+PD²的值。【答案】PB²+PD2=34
【解答】矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA＝3，PB＝4，PC＝5，
；
则PD2＝AE2+MD2，
又MD＝FC，
解得PD²=18.
所以PB²+PD2=16+18=34
【变式】（2020秋•下城区校级期中）（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2；
②已知AB＝8，AC＝6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PD的值．
【答案】（1） ①略 ②28（2）PD＝3
【解答】解：（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2．
②BM2＝BD2+DM2，CM2＝CD2+DM2，∴BM2﹣CM2＝BD2﹣CD2，
又CD2＝AC2﹣AD2BD2＝AB2﹣AD2，
∴BM2﹣CM2＝AB2﹣AC2＝82﹣62＝28．
（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA＝3，PB＝4，PC＝5，
；
则PD2＝AE2+MD2，
又MD＝FC，
解得PD＝3
【类型三 构造全等三角形探究线段间的平方关系】
【例3】（2019春•江岸区校级期中）等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB．如图，
若△ECD也是等腰Rt△且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：
AE2+AD2＝2AC2；
【答案】略
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，
EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴2AC2＝AB2．∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD
在△AEC和△BDC中， ，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE＝BD，∠E＝∠BDC．
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDC+∠ADC＝90°，
即∠ADB＝90°．
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝2AC2；
【变式1】（2019春•海珠区校级月考）（1）如图1，△ACB与△ECD都是等腰直角三角
形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
①已知AC＝2，求AB的长度；
②求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为线段BC上一点，连接AD．求证：
BD2+CD2＝2AD2．
【答案】（1）①2 ② AE2+AD2＝2AC2（2）BD2+CD2＝2AD2
【解答】解：（1）①在等腰直角三角形ABC中，BC＝AC＝2，
则AB＝ ＝2 ；
②∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，
∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴BD＝AE，∠BDC＝∠E，
∵∠E+∠CDE＝90°，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
即∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
∵AB2＝2AC2，
∴AE2+AD2＝2AC2；
（2）将△ADC围绕点A旋转到AEB的位置，即△ADC≌△AEB，
则∠ABE＝∠C＝45°，AD＝AE，∠EAB＝∠CAD，
∴∠EBD＝∠ABE+∠ABC＝90°，∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴ED2＝AD2+AE2＝2AE2，
则Rt△BED中，BE2+BD2＝CD2+BD2＝ED2＝2AE2，
∴BD2+CD2＝2AD2．
【变式2】（2020•张家港市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中
点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．
【答案】略
【解答】证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD＝DC
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2
∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：
BD2＝AD2+CD2．
【答案】略
【解答】解：如图，将△BCD绕点B旋转60°得到△BAE，连接DE，∴△BCD≌△BAE，∠DBE＝60°
∴BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA
∴△BED是等边三角形
∴DE＝BD
在△BDE中，∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°
∴60°+∠BEA+∠AED+∠ADE+∠BDA＝180°
∴∠AED+∠ADE+∠BCD+∠ADB＝120°
∴∠AED+∠ADE＝120°﹣∠ADC＝90°
∴∠EAD＝90°
∴DE2＝AE2+AD2，
∴BD2＝CD2+AD2．【课后巩固】
1．（2019春•双鸭山期末）已知，如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，
AD2+CD2＝2AB2，求证：AB＝BC．
【答案】略
【解答】证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∴AB2+BC2＝2AB2，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
2．（2019春•武昌区期中）如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE
＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，若AE＝2，AC＝2 ，点F是AD的中点，求CF的长．【答案】（1） 略 （2）
【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝
45°，AB2＝2AC2，
∴∠ECA＝∠DCB，
连接BD，如图1所示：
在△ECA和△DCB中， ，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝AB2，
∴AE2+AD2＝2AC2；
（2）解：如图2，过点C作CH⊥DE于H，如图2所示：
∵AC2+BC2＝2AC2，AE2+AD2＝AB2，AE＝2，AC＝2 ，
∴AD＝6，
∴DE＝AE+AD＝8，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝3，
∵△ECD都是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE＝8，
∴CH＝DH＝EH＝4，∴HF＝DH﹣DF＝1，
∴CF＝ ＝ ＝
3．（2021秋•金牛区校级月考）如图，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，D是斜边BC
上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）若AB＝AC时，
①求证：AF＝BE；
②当BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
【答案】（1）①略 ② （2）略
【解答】（1）①证明：连接AD，如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE＝CF，
∵AC＝AB，
∴AF＝BE；
②解：∵∠EAF＝90°，AF＝BE，
∴EF2＝AE2+AF2，
∴BE2+CF2＝EF2；
∵BE＝12，CF＝5，
∴EF＝ ＝ ＝13，
∵△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°．
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED2+DF2＝132，
∴DE＝DF＝ ，∴△DEF的面积S＝ ×DE×DF＝ × ＝ ；
（2）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，如图2，
∵DE＝DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分GE，
∴EF＝FG，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE＝90°，
∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，
∵CG2+CF2＝FG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
4．（2019秋•长兴县期中）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．①求证：BE＝AF；
②若S△BDE ＝ S△ABC ＝2，求S△CDF ；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF．
①BE＝AF还成立吗？请利用图②说明理由；
②若S△BDE ＝ S△ABC ＝8，直接写出DF的长．
【答案】（1）①略 ② 4 （2）① 略 ②
【解答】（1）①证明：如图①中，连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠B＝∠C＝∠DAC＝45°，
∵∠EDF＝∠BDA＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF．
②解：∵S△BDE ＝ S△ABC ＝2，
∴S△BDE ＝2，S△ABC ＝12，
∵BD＝DC，
∴S△ADC ＝ S△ABC ＝6，
∵△BDE≌△ADF，
∴S△ADF ＝S△BDE ＝2，
∴S△DFC ＝6﹣2＝4．
（2）①证明：结论成立．
理由：如图②中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠B＝∠C＝∠DAC＝45°，
∵∠EDF＝∠BDA＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF．
②解：如图②中，作DH⊥AB于H．
∵S△BDE ＝ S△ABC ＝8，
∴S△ABC ＝32，
∴ •AB2＝32，
∴AB＝AC＝8，BC＝8 ，DH＝ AB＝4，
∵BD＝DC，
∴S△ABD ＝S△ADC ，
∴S△BDE ＝ S△ADB ，
∴AB＝2BE，
∴BE＝BH＝AH＝4，
∴DE＝ ＝ ＝4
∴DF＝DE＝4 ．
