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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 10 讲 指数与指数函数（精讲）
①指数幂的化简与求值
②指数函数的图像与性质
③解指数不等式
④指数型复合函数
⑤指数函数的综合应用
一、必备知识整合
一、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， ，记为 ， 称为根指数， 称为
根底数．
(2)根式的性质：
当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
当 为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 中的一个参数， 为底数， 为指数，指数位于底数的右上角，幂
运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 ；②零指数幂 ；
③负整数指数幂 ， ；④ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
① ， ， ；② ， ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
二、指数函数y y
a (1,a)
1 (1,a) 1
a
图象 O 1 x O 1 x
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性质
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
二、考点分类精讲
【题型一 指数幂的化简与求值】
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【典例1】（2024高三·全国·专题练习）化简：
(1) ；
(2)
【答案】(1)－
(2)
【详解】
(1) 原式＝( )－ ＋( )－ － ＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .
(2) 原式＝(1＋ )＋|1－ |＝1＋ ＋ －1＝ .
一、解答题
1．（2023高三·全国·专题练习）化简：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可.
（2）根据指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ．
2．（2023·山东·模拟预测）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【详解】（1）原式
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
3．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
(1)计算： ；
(2)化简（用分数指数幂表示）：
【答案】(1)99.9
(2)【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算出答案；
（2）将根式化为分数指数幂，再进行计算即可.
【详解】（1）
（2） .
【题型二 指数函数的图像与性质】
1.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满
足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.比较指数幂大小的常用方法
不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能
单调性法
够化同底的尽可能化同底
不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大
取中间值法
小，然后得出大小关系
根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助
图象法
图象比较大小
【典例1】（单选题）（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数 的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 排除D；由 排除C；由 排除B，即得答案.
【详解】解：因为 ，
， ，故排除D；
又因为 ， ，故排除C；
又因为 ，
，
所以 ，
即 ，
符合题意的只有A，故排除B.
故选：A.
【典例2】（单选题）（2024·上海宝山·二模）已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.
【详解】 ，
则 ，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
【典例3】（单选题）（23-24高三上·山东潍坊·期中）函数 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性求值域即可求解.
【详解】 函数 在 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 .
故选： .
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数 的值域是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的性质，求得 ，即可得到 的值域.
【详解】由指数函数的性质，可得 ，所以 ，即 的值域是 .
故选：A．
2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；
又 ，当 时 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，故排除B.
故选：C
3．（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中间数 比较 与 ，根据中间数 比较 与 .
【详解】因为 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：D.
4．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数 的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程
，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
【答案】B
【分析】
根据指数函数的性质求出定点 的坐标，即可得到 ，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】对于函数 ，令 ，即 时 ，
所以函数 的图象恒过定点 ，
又定点 的坐标满足方程 ，所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的最小值为 ．故选：B．
二、填空题
5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，
则点 的坐标为 .
【答案】
【分析】根据 得出指数型函数恒过定点.
【详解】令 ，得 ，则 .
所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 .
故答案为： .
6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“ ， ”是假命题，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出 的取值范围.
【详解】因为“ ， ”是假命题，
所以“ ， ”是真命题，即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递增，所以 ，
则 .
故答案为： .
三、解答题7．（2024·上海黄浦·二模）设 ，函数 .
(1)求 的值，使得 为奇函数；
(2)若 ，求满足 的实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得 ，代入解方程即可得出答案；
（2）由 ，可得 ，则 ，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由 为奇函数，可知 ，
即 ，解得 ，
当 时， 对一切非零实数 恒成立，
故 时， 为奇函数.
（2）由 ，可得 ，解得 ，
所以
解得： ，所以满足 的实数 的取值范围是 .
8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值和最小值；
(2)若 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)最大值为170，最小值为(2)
【分析】（1）换元后得到 ， ，求出最值；
（2）转化为 ，只需 ，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到
，求出答案.
【详解】（1）令 ，
故 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又 ， ，
故 的最大值为170，最小值为 ；
（2） ，即 ，
令 ，故 在 上有解，
，只需 ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .【题型三 解指数不等式】
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）解不等式 .
【答案】
【分析】将不等式变为 后，利用指数函数单调性直接求解即可.
【详解】由 得： ，
，解得： ，
不等式 的解集为 .
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先利用指数函数的单调性解集合 得： ，再利用求根式函数定义域解集合 得：
，最后利用并集求出结果即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：A.
2．（2023·陕西咸阳·二模）全集为 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】解不等式得到 ， ，结合补集和交集的概念求出答案.
【详解】由 ，故 ， ，
又 ，
故 或 ， 或 .
故选：C
二、填空题
3．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知集合 ，集合 ，则 .【答案】
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义即可得解.
【详解】 ，
而 ，
所以 .
故答案为： .
三、解答题
4．（2023高一上·全国·专题练习）（1）解不等式 ；
（2）已知 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【分析】（1）根据已知条件构造函数 ，通过函数单调性解不等式即可.
（2）根据已知条件构造函数 ，分 和 两种情况讨论，通过函数单调性解不
等式即可.
【详解】（1）因为 ，∴原不等式可以转化为 ，
因为 在 上是减函数，所以 ，所以 ，
故原不等式的解集是 ．
（2）分情况讨论：①当 时，函数 在 上是减函数，
所以有 ，即 ，
解得 或 ；
②当 时，函数 在 上是增函数，
所以 ，即 ，解得 ；
综上所述，当 时， 或 ；当 时， .
5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
(1)求函数 的值域；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质即可得解；
（2）利用因式分解，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为 的定义域为 ，
则 ，令 ，则 ，
又 ， ，开口向上，对称轴为 ，
所以当 时， ，
所以函数 的值域为 .
（2）因为 ，所以由 得 ，得 或 ，得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 .
6．（23-24高三上·福建龙岩·期中）已知函数 ．
(1)试问 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
(2)求 的解集．
【答案】(1) 为定值1
(2)
【分析】（1）求出 ，即可得解；
（2）由（1）知 ，则不等式化为 ，即可得到 ，再根据函
数解析式计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即 为定值1．
（2）由（1）知 ，
所以 可化为 ，即 ，
所以 ．又 ，所以 ，
由 ，化简得 ，解得 ，所以不等式 的解集为 ．【题型四 指数型复合函数】
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关
性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增
异减”这一性质分析判断．求参数值(范围)的方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用
其性质求解．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数 ，则函数 单调递增
区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解.
【详解】令 在 单调递增， 单调递减，
所以函数 在 单调递减， 单调递增，
故选:C.
一、单选题
1．（22-23高三·全国·对口高考）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出每个函数的值域，即可得出答案．【详解】对于A：定义域为 ，值域 ，故A错误，
对于B：定义域为 ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：定义域为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，故D错误，
故选：B．
2．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出 的单调递增区间，
再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，因此函数 的递增区间是 ，递减区间是 ，
依题意， ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
二、填空题3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数 的值域为 ，单调递增区间
为 .
【答案】 （开闭均可）
【分析】先求出函数的定义域，进而求出 的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值
域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.
【详解】令 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
即函数 的值域为 ；
令 ，
令 ，其在 上是增函数，在 上是减函数，
而函数 在定义域内为增函数，
所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
因为函数 是减函数，
所以函数 的单调递增区间为 .故答案为： ； （开闭均可）.
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
所以 的值域为 ．
故答案为： .
三、解答题
5．（23-24高一上·辽宁大连·期末）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要
条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对
称图形的充要条件是函数 为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象关于点 对称；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）若 ，要证明函数 的图象关于点 对称，则只需证明函数
是奇函数即可，结合奇函数的定义即可得证.
（2）由题意得 ，由复合函数单调性即可得 ，由
此即可得解.
【详解】（1）由题意 ，令 ，
显然函数 的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且 ，
所以函数 是奇函数，
所以函数 的图象关于点 对称.
（2）由题意 ，
而由复合函数单调性可知 单调递增，
所以 当且仅当 ，即 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围为 .
【题型五 指数函数的综合应用】
指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这
类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期
性解决问题．【典例1】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数 ，且 .
(1)求 的值；
(2)判断 在 上的单调性，并用定义证明.
(3)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2) 在 上的单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由 可求得 的值；
（2）任取 ，且 ，然后计算变形 ，再判断符号，可得结论；
（3）由 的单调性，将问题转化为 ，再令 ，可得 ，求出 的范围，从
而可求得 的范围.
【详解】（1）由 ，得 ，则 .
（2） 在 上的单调递减．证明如下：
任取 ，且 ，则
，∵ ，且 ，
，
∴ ，即 ，
在 上单调递减.
（3）由（2）可得， 在 上单调递减，而 ，
则由 可得 ，
令 ，可得 .
解得： 或 .
所以 或 .
不等式的解集为
一、填空题
1．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数 在 上单调递增，则实数 的值可以是
.（写出满足条件的一个值即可）
【答案】8（答案不唯一）
【分析】根据复合函数单调性法则知 在 上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可
求解.
【详解】因为函数 在 上单调递增，且 在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性法则知， 在 上单调递增，所以 ，所以 ，则实数 的取值范围为 ，故实数 的值可以是8.
故答案为：8（答案不唯一）
2．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数 的定义域为 的奇函数， ，对任意两个不等的
正实数 都有 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】先根据条件确定函数单调性，然后画出函数的草图，利用图象解不等式.
【详解】不妨设 ，则 等价于 ，
所以 在 上单调递增，
又函数 为奇函数，所以 在 上单调递增，
，作出 的图象如下：
结合 的图象得不等式 或
或 ，
故答案为： .
二、解答题
3．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知函数 是奇函数，且 .(1)求 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足 ，再代入 求解即可；
（2）化简可得 恒成立，令 ，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解
最大值即可.
【详解】（1） 是奇函数 ，
经检验当 时， 是奇函数符合题意，
又 或 （舍），
；
（2） ，
即 ，
又 ，故 恒成立，
令 ，因为 ，故 ，由对勾函数性质可得 在 上单调递减，
.
4．（23-24高三上·上海静安·期中）设 函数(1)求a的值，使得 为奇函数；
(2)若 对任意， 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 的定义域为R，且 为奇函数，可得 代入求参数 ,再检验即可；
（2）对参数 分类讨论，再分参处理恒成立即可.
【详解】（1）由 的定义域为R，且 为奇函数，可得 即有 解得
经检验当 时 ，为奇函数，
则 满足题意；
（2）因为 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立
即 ，
当 时， 恒成立；
当 时， ，由 可得 解得 ；
当 时， ，显然不可恒成立；
综上可得，a的取值范围是 .
5．（22-23高二下·福建福州·阶段练习）设函数 ， .
(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，若对 ， ， ，求实数a取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式求函数值域；
（2）将问题转化为 的值域为 值域的子集求解.
【详解】（1）∵ ，又∵ ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即函数 的值域为 .
（2）∵ ，
设 ，因为 ，所以 ，函数 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
设 时，函数 的值域为A.由题意知 ，
∵函数
①当 ，即 时，函数 在 上递增，
则 ，即 ，∴
②当 时，即 时，函数 在 上的最大值为 ， 中的较大者，而 且 ，不合题意，
③当 ，即 时，函数 在 上递减，
则 ，即 ，满足条件的 不存在，
综上所述，实数a取值范围为 .
【点睛】对于双变量双函数类似 ， ， 的问题转化为值域包含值域的问题.
