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2020年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个
是符合题目要求的）
1．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1
C． ＝2a+1 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
2．（3分）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，
并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．众数是1，平均数是2
C．中位数是2，众数是2
D．中位数是3，平均数是2.5
3．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率
是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点
G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
第 1 页 / 共 10 页5．（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC
的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
6．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，以点C为圆心画弧与斜
边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1﹣ B． C．2﹣ D．1+
7．（3分）如图，函数y ＝x+1与函数y ＝ 的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，
1 2
n）．若y ＞y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
第 2 页 / 共 10 页8．（3分）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主 ＝a2，S左 ＝a2+a，则S俯
＝（ ）
A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：3a2﹣6a+3＝ ．
10．（3分）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是
．
11．（3分）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张
卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 ．
12．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：
“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思
是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，
锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
13．（3分）如图，直线y＝ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时
针旋转90°后得到△A O B，则点A 的坐标是 ．
1 1 1
第 3 页 / 共 10 页14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为
半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径
画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝ 度．
15．（3分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，
并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ．
16．（3分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽
的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方
形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角
边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2
中最大的正方形的面积为 ．
第 4 页 / 共 10 页三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，
1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A B C ．
2 2 2
18．（6分）解不等式组： ．
第 5 页 / 共 10 页19．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a＝ ．
20．（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”
活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品
45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物
品最多购买多少件？
21．（6分）如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于
点F．求证：FA＝A▱B．
第 6 页 / 共 10 页22．（6分）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节
水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：
日用水量/m3 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5
频数 0 4 2 4 10
使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：
日用水量/m3 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4
频数 2 6 8 4
（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水
量；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的 O交
AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB． ⊙
（1）求证：AE是 O的切线；
（2）连接DE，若⊙∠A＝30°，求 ．
第 7 页 / 共 10 页24．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步
行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y
（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小丽与小明出发 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
求小丽和小明步行的速度各是多少？
①计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
②
第 8 页 / 共 10 页25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与
脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正 22 23 24 25 26 27 …
整数）
脚长（毫 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …
米）
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b 定义
n
为[b ]如表2：
n
序号n 1 2 3 4 5 6 …
鞋号a 22 23 24 25 26 27 …
n
脚长b 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …
n
脚长[b ] 160 165 170 175 180 185 …
n
定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b ]＝m，则m﹣2≤b ≤m+2．
n n
如：[b ]＝175表示175﹣2≤b ≤175+2，即173≤b ≤177．
4 4 4
（1）通过观察表2，猜想出a 与序号n之间的关系式，[b ]与序号n之间的关系式；
n n
（2）用含a 的代数式表示[b ]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
n n
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
26．（10分）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E
＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移
动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与
DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝ ，设三角板ABC移
动时间为x秒．
第 9 页 / 共 10 页（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
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